Riemann-Stieltjes積分

2022-02-26 12:31 作者:子瞻Louis 0人讀過 | 我要投稿

17世紀(jì)時，牛頓與萊布尼茲分別獨(dú)自發(fā)明了一個十分強(qiáng)力的工具——微積分，從此真正意義上的高等數(shù)學(xué)時代開始了。當(dāng)時的時代大部分都只運(yùn)用初等數(shù)學(xué)的工具，因此產(chǎn)生了許許多多無法解決的問題，例如瞬時速度問題、曲線的切線問題等等。而這個偉大的工具正可以用來解決這些問題。

然而，實際上由他們定義的積分其實是不完善的，是過了很久之后，才由Riemann給出了嚴(yán)格定義，而后來由他定義的積分也就被稱為Riemann積分。不過是它其實還是有些缺陷，于是再后來對它改進(jìn)后的Riemann-Stieltjes積分和Lebesgue積分補(bǔ)足了其中的一些缺陷

本期的內(nèi)容正是改進(jìn)后的一種積分——Riemann-Siteltjes積分（簡稱R-S積分）

Riemann積分

為了引出R-S積分，先來回憶一下傳統(tǒng)的Riemann積分吧，它的嚴(yán)格定義依賴于區(qū)間的分割

$K%3D%5C%7Ba%3Dx_0%3Cx_1%3C%E2%80%A6%3Cx_n%3Db%5C%7D$

它稱為閉區(qū)間[a,b]的一個分割，將這個閉區(qū)間分割為了n個小的閉區(qū)間，這些小的閉區(qū)間就稱為分割區(qū)間，第k個分割區(qū)間為 $%5Bx_k%2Cx_%7Bk-1%7D%5D$ ，記

$%5Clambda(K)%3D%5Cmax_%7B0%5Cle%20k%5Cle%20n%7Dx_k-x_%7Bk-1%7D$

為分割區(qū)間的最大長度

在每個區(qū)間上選一個標(biāo)記點(diǎn) $%5Cxi_k%5Cin%5Bx_%7Bk-1%7D%2Cx_k%5D$ ，這樣的分割稱為標(biāo)記分割，記為

$(K%2C%5Cxi)%3D%5C%7Ba%3Dx_0%3C%5Cxi_1%3Cx_1%3C%E2%80%A6%3Cx_%7Bn-1%7D%3C%5Cxi_n%3Cx_n%3Db%5C%7D$

于是我們引出Riemann?sum：

$%5Csigma(f%3BK%2C%5Cxi)%3D%5Csum_%7Bk%3D1%7D%5Enf(%5Cxi_k)%5CDelta%20x_k$

其中 $f(x)$ 是在[a,b]上有定義的， $%5CDelta%20x_k%3Dx_k-x_%7Bk-1%7D$

下面正式給出Riemann積分的嚴(yán)格定義：

如果對任意 $%5Cepsilon%3E0$ ，在 $%5Clambda(K)%3C%5Cepsilon$ 時，都存在 $%5Cdelta%3E0$ ，使得一個值 $I$ 滿足

$%5Cleft%7C%5Csigma(f%3BK%2C%5Cxi)-I%5Cright%7C%3C%5Cdelta$

則此時 $f(x)$ 稱為[a,b]上Riemann可積的， $I$ 為它的Riemann積分值，記為

$I%3D%5Cint_a%5Ebf(x)%5Cmathrm%20dx$

用極限的語言來說，其實就是

$%5Cint_a%5Ebf(x)%5Cmathrm%20dx%3D%5Clim_%7B%5Clambda(P)%5Cto0%5E%2B%7D%5Csum_%7Bk%3D1%7D%5Enf(%5Cxi_k)%5CDelta%20x_k$

用通俗的語音來說，Riemann積分就是在將區(qū)間分割得很小很小的時候，把每個區(qū)間上的面積相加得到的

容易驗證函數(shù)Riemann可積的必要條件是該函數(shù)有界

Riemann-Stieltjes積分

因為它是Riemann積分的推廣，所以這里沿用上面的記號

設(shè) $f%2Cg$ 是[a,b]上有定義的函數(shù)，定義Riemann-Stieltjes?sum為

$%5Csigma(f%2Cg%3BK%2C%5Cxi)%3D%5Csum_%7Bk%3D1%7D%5Enf(%5Cxi_k)%5CDelta%20g(x_k)$

其中 $%5CDelta%20g(x_k)%3Dg(x_k)-g(x_%7Bk-1%7D)$ ，如果對任意 $%5Cepsilon%3E0$ ，在 $%5Clambda(K)%3C%5Cepsilon$ 時，都存在 $%5Cdelta%3E0$ 使得一個值 $S$ 滿足

$%5Cleft%7C%5Csigma(f%2Cg%3BK%2C%5Cxi)-S%5Cright%7C%3C%5Cdelta$

則稱S為f在[a,b]上對g的Riemann-Stieltjes積分，記為

$S%3D%5Cint_a%5Ebf(x)%5Cmathrm%20dg(x)$

同樣可以用極限的語言來說就是

$%5Cint_a%5Ebf(x)%5Cmathrm%20dg(x)%3D%5Clim_%7B%5Clambda(K)%5Cto0%5E%2B%7D%5Csum_%7Bk%3D1%7D%5Enf(%5Cxi_k)%5CDelta%20g(x_k)$

特別地取 $g(x)%3Dx$ 時就回到Riemann積分的標(biāo)準(zhǔn)定義

實際上，若g是光滑函數(shù)，f在[a,b]是Riemann可積的，則根據(jù)Lagrange微分中值定理可知存在 $%5Ceta_k%5Cin%5Bx_%7Bk-1%7D%2Cx_k%5D$

$%5Cbegin%7Baligned%7D%5Csigma(f%2Cg%3BK%2C%5Cxi)%26%3D%5Csum_%7Bk%3D1%7D%5Enf(%5Cxi_k)(g(x_k)-g(x_%7Bk-1%7D))%5C%5C%26%3D%5Csum_%7Bk%3D1%7D%5Enf(%5Cxi_k)g'(%5Ceta_k)(x_k-x_%7Bk-1%7D)%5C%5C%26%3D%5Csum_%7Bk%3D1%7D%5Enf(%5Cxi_k)g'(%5Cxi_k)%5CDelta%20x_k%2B%5Csum_%7Bk%3D1%7D%5Enf(%5Cxi_k)(g'(%5Ceta_k)-g'(%5Cxi_k))%5CDelta%20x_k%5Cend%7Baligned%7D$

由g是光滑函數(shù)，f在[a,b]是Riemann可積的，可知在 $%5Clambda(K)%5Cto0%5E%2B$ 時，最后一個和式趨于零，又根據(jù)假設(shè) $fg'$ 在[a,b]上是Riemann可積的，于是得到

$%5Cint_a%5Ebf(x)%5Cmathrm%20dg(x)%3D%5Cint_a%5Ebf(x)g'(x)%5Cmathrm%20dx$

上式給出了R-S積分與Riemann積分的聯(lián)系

Riemann-Stieltjes積分與部分和

但在之前的一期專欄里我們扯到過下面這樣的等式：

$%5Csum_%7Ba%3Cn%5Cle%20b%7Df(n)g(n)%3D%5Cint_a%5Ebf(x)%5Cmathrm%20dG(x)$

其中f是[a,b]上的連續(xù)函數(shù)，g是數(shù)論函數(shù)， $G(x)%3A%3D%5Csum_%7Bn%5Cle%20x%7Dg(n)$

顯然，這并不是Riemann意義上的積分，并且也無法將它直接轉(zhuǎn)化為Riemann積分，但是我們不妨利用R-S積分的嚴(yán)格定義來討論這個積分，首先取一個標(biāo)記分割

$(%5CPi%2C%5Cxi)%3A%3D%20%5C%7Ba%3Dx_0%3C%5Cxi_1%3Cx_1%3C%E2%80%A6%3Cx_n%3Db%5C%7D$

則f 對G的R-S的R-S?sum就是

$%5Csigma(f%2CG%3B%5CPi%2C%5Cxi)%3D%5Csum_%7Bk%3D1%7D%5En%20f(%5Cxi_k)%5CDelta%20G(x_k)$

下面將對 $%5CPi$ 分割出的n個區(qū)間分為兩部分：

$%5CPi%3D%5Cleft(%5Cbigcup_%7Bh%5Cin%20H%7D%5Bx_%7Bh-1%7D%2Cx_h%5D%20%5Cright)%5Ccup%5Cleft(%5Cbigcup_%7Bl%5Cin%20L%7D%5Bx_%7Bl-1%7D%2Cx_l%5D%5Cright)$

其中H是使得 $%5Bx_%7Bk-1%7D%2Cx_k%5D$ 中包含某個整數(shù)的角標(biāo)集合，而另一部分則是使得其中不包含整數(shù)角標(biāo)集合，則

$%5Csigma(f%2CG%3B%5CPi%2C%5Cxi)%3D%5Csum_%7Bh%5Cin%20H%7D%20f(%5Cxi_h)%5CDelta%20G(x_h)%2B%5Csum_%7Bl%5Cin%20L%7Df(%5Cxi_l)%5CDelta%20G(x_l)$

注意到

$%5Cforall%20l%5Cin%20L%2C%5Bx_l%5D%3D%5Bx_%7Bl-1%7D%5D%5CRightarrow%5CDelta%20G(x_l)%3DG(%5Bx_l%5D)-G(%5Bx_%7Bl-1%7D%5D)%3D0$

$%5CRightarrow%20%5Csigma(f%2CG%3B%5CPi%2C%5Cxi)%3D%5Csum_%7Bh%5Cin%20H%7Df(%5Cxi_h)%5CDelta%20G(x_h)$

設(shè) $n%5Cin%5Bx_%7Bh-1%7D%2Cx_h%5D$ ，當(dāng) $%5Clambda(%5CPi)%3C1$ 時該n是唯一的，于是 $%5CDelta%20G(x_h)%3Dg(n)$ ，又因為f連續(xù)可導(dǎo)，于是存在 $%5Cdelta$ 使得

$%7Cf(%5Cxi_h)-f(n)%7C%5Cle%5Cdelta$

因此

$%5Cleft%7C%5Csum_%7Bh%5Cin%20H%7Df(%5Cxi_h)%5CDelta%20G(x_h)-%5Csum_%7Ba%3Cn%5Cle%20b%7Df(n)g(n)%5Cright%7C%5Cle%5Cdelta%20(G(b)-G(a))$

$%5Cbegin%7Baligned%7D%5CRightarrow%5Cint_a%5Ebf(x)%5Cmathrm%20dG(x)%26%3D%5Clim_%7B%5Clambda(%5CPi)%5Crightarrow%2B0%7D%5Csum_%7Bh%5Cin%20H%7Df(%5Cxi_h)%5CDelta%20G(x_h)%5C%5C%26%3D%5Csum_%7Ba%3Cn%5Cle%20b%7Df(n)g(n)%5Cend%7Baligned%7D$

除此之外，Able求和公式：

$%5Cint_a%5Ebf(x)%5Cmathrm%20dG(x)%3Df(b)G(b)-f(a)G(a)-%5Cint_a%5EbG(x)%5Cmathrm%20df(x)$

指出了R-S積分具有與Riemann積分完全一樣的分部積分公式

一個漸進(jìn)公式

我們（除某江方士）都知道，調(diào)和級數(shù)是發(fā)散的，而利用R-S積分可以輕易證明這一定理

$%5Cbegin%7Baligned%7D%5Csum_%7Bn%5Cle%20x%7D%5Cfrac1n%26%3D%5Cint_%7B1-%5Cdelta%7D%5Ex%5Cfrac%7B%5Cmathrm%20d%5Bt%5D%7D%7Bt%7D%5C%5C%26%3D%5Cfrac%7B%5Bx%5D%7Dx%2B%5Cint_%7B1-%5Cdelta%7D%5Ex%5Cfrac%7B%5Bt%5D%7D%7Bt%5E2%7D%5Cmathrm%20dt%5C%5C%26%3D%5Cfrac%7Bx-%5C%7Bx%5C%7D%7Dx%2B%5Cint_%7B1-%5Cdelta%7D%5Ex%5Cfrac%7Bt-%5C%7Bt%5C%7D%7D%7Bt%5E2%7D%5Cmathrm%20dt%5C%5C%26%3D%5Cln%20x%2B1-%5Cint_1%5Ex%5Cfrac%7B%5C%7Bt%5C%7D%7D%7Bt%5E2%7D%5Cmathrm%20dt-%5Cfrac%7B%5C%7Bx%5C%7D%7Dx%5Cend%7Baligned%7D$

$%5CRightarrow%5Csum_%7Bn%5Cle%20x%7D%5Cfrac1n-%5Cln%20x%3D1-%5Cint_1%5Ex%5Cfrac%7B%5C%7Bt%5C%7D%7D%7Bt%5E2%7D%5Cmathrm%20dt-%5Cfrac%7B%5C%7Bx%5C%7D%7Dx$

令 $x%5Cto%5Cinfty$ ，此時右式是收斂的，而左式剛好是Euler常數(shù)，于是可以得到

$%5Cgamma%3D1-%5Cint_1%5E%5Cinfty%5Cfrac%7B%5C%7Bt%5C%7D%7D%7Bt%5E2%7D%5Cmathrm%20dt$

往回代入，可得：

$%5Csum_%7Bn%5Cle%20x%7D%5Cfrac1n%3D%5Cln%20x%2B%5Cgamma%2B%5Cint_x%5E%5Cinfty%5Cfrac%7B%5C%7Bt%5C%7D%7D%7Bt%5E2%7D%5Cmathrm%20dt-%5Cfrac%7B%5C%7Bx%5C%7D%7Dx$

$%5Csum_%7Bn%5Cle%20x%7D%5Cfrac1n%3D%5Cln%20x%2B%5Cgamma%2B%5Cmathcal%20O%5Cleft(%5Cfrac1x%5Cright)$

標(biāo)簽：

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Riemann-Stieltjes積分與部分和

一個漸進(jìn)公式