今天化學(xué)課我偷偷看丘維聲的《解析幾何》，接著之前看到的射影幾何部分，突然想到這個(gè)玩意；我有點(diǎn)懷疑人生，因?yàn)槲抑熬尤粵]想到這么算直線方程最簡單......這是我最納悶的地方，大概我確實(shí)學(xué)傻了。

省流：已知兩點(diǎn)M(x?,y?),N(x?,y?)，直線MN的方程為Ax+By+C=0

取向量(x?,y?,1),(x?,y?,1)進(jìn)行叉乘，叉乘結(jié)果就是一組(A,B,C)

這樣就求出直線方程了。

原理：三個(gè)向量混合積為0，則它們共面。

已知平面坐標(biāo)系內(nèi)的兩點(diǎn)A(x?,y?),B(x?,y?)（仿射坐標(biāo)都行），下面是求一般方程的傻瓜式操作：

首先改寫兩點(diǎn)坐標(biāo)，增加第三個(gè)坐標(biāo)："1"

即A(x?,y?,1),B(x?,y?,1)

把A和B的坐標(biāo)橫著寫兩遍，并豎著對齊排列：

再去掉首列和尾列

輸出三組數(shù)的交叉相乘結(jié)果，寫成三維坐標(biāo)

讓它和向量(x,y,1)點(diǎn)乘，輸出結(jié)果即為所求

最后輸出的結(jié)果和普通方法求的當(dāng)然是一樣的了，字母運(yùn)算看不出什么，重要的是這樣求具體直線的時(shí)候速度很快，給個(gè)示例，這坐標(biāo)是我隨便給的：

如果按照傳統(tǒng)的設(shè)y=kx+b然后算的話，最后再改寫成一般式，挺麻煩的。

反正我從來沒那樣設(shè)斜截式算過，我以前的算法是這樣的：

直線的一般式方程為Ax+By+C=0，其中(A,B)就是此直線的一個(gè)法向量

那么和這個(gè)法向量模相等的方向向量就是(-B,A)和(B,-A)

在已知兩點(diǎn)坐標(biāo)的情況下，先確定方向向量并且化到最簡，然后再直接得到法向量

（例：如果那么得到直線MN的最簡方向向量是(1,2)，法向量取用(2,-1)即可）

此時(shí)待求的只有C，直線方程寫成(A,B)·(x,y)+C=0

隨便找一個(gè)已知點(diǎn)代入到(x,y)的位置

C就求出來了。

不過我今天寫的這個(gè)算法要更快一些。

現(xiàn)在解釋原理：

對于xOy平面內(nèi)的直線MN，和直線上一點(diǎn)P(x,y)

當(dāng)MN和P被投影到三維坐標(biāo)系的平面z=1時(shí)，記成M'(x?,y?,1),N'(x?,y?,1)，P'(x,y,1)

現(xiàn)在考慮向量的混合積

因?yàn)樗鼈兪枪裁娴?，所以混合積為0

按照混合積公式有

展開之后其實(shí)就是結(jié)果。

當(dāng)然這里的行列式求值把叉乘求值包括進(jìn)去了，我建議是叉乘單獨(dú)算，不用幾秒就能算出來，而不是列個(gè)三階行列式再展開。