在Shader的學習中，我們可能需要一些數(shù)學知識，我也是學習了一段時間，之前數(shù)學的知識都忘了，重新來一遍吧，我把學習的點分享一下。

向量：

點乘：
向量A·向量B = A向量的模 * B向量的模 * cosθ
一般用來計算向量夾角cosθ，這里可以看下Lambert （蘭伯特）光照模型這篇文章來感受下在Shader中的向量計算

叉乘： 計算兩個向量構成平面的法向量

矩陣：

矩陣相乘必須要滿足一個規(guī)則：第一個矩陣的列數(shù)要與第二個矩陣的行數(shù)相同。
而得到的結果一定為：行數(shù)為第一個矩陣的行數(shù)，列數(shù)為第二個矩陣的列數(shù)。
一個m行n列的向量A與一個n行r列的向量B相乘，得到m行r列的向量C。

例如矩陣A的維度是3×2，矩陣B的維度是2×4，那么AB的維度就是3×4。如下

另外還有一個計算技巧：
C23的值是從哪計算得來呢？可以看C23的下標，是由第一個矩陣的第2行 乘以 第二個矩陣的第3列得來

矩陣乘法的一些性質

• 性質一：矩陣乘法不滿足交換律。
  也就是說，通常情況下：AB≠BA

• 性質二：矩陣乘法滿足結合律。
  (AB)C=A(BC)
  矩陣乘法的結合律可以擴展到更多矩陣的相乘。例如，ABCD=((A(BC))D)=(AB)(CD)

向量與矩陣相乘

一個向量可以用（x,y,z）表示，現(xiàn)在我們讓向量與矩陣相乘。
行向量與矩陣相乘：

列向量與矩陣相乘

注意：在Unity中，矩陣與向量運算，通常采用列向量右乘

特殊的矩陣

1、方塊矩陣

簡稱方陣，是指那些行和列數(shù)目相等的矩陣。在三維渲染里，最常使用的就是3×3和4×4的方陣

2、單位矩陣

一個特殊的對角矩陣是單位矩陣（identity matrix），任何矩陣與它相乘還是原來的矩陣。

3、轉置矩陣

直接舉例：如下圖

4、逆矩陣

不是所有的矩陣都有逆矩陣，該矩陣必須是個方陣。
逆矩陣幾何意義：我們可以通過一個矩陣表示一個變換，如何把矩陣還原呢？可以使用逆矩陣來還原這個變換。
例如：

矩陣變換

線性變換：

滿足下面條件的可以稱之為線性變換

f(x)+f(y)=f(x+y) kf(x)=f(kx)

在 Unity 中，旋轉、縮放為線性變換
對于線性變換來說，對一個三維的矢量進行變換，使用3×3的矩陣就可以表示所有的線性變換

非線性變換：

當然是不滿足上面條件了，平移變換屬于非線性變換
而對于非線性變換，3x3的矩陣已無法滿足，既然三維空間無法滿足，那么我用更高緯度的空間，4維空間來實現(xiàn)非線性變換。
使用4x4的矩陣來做非線性變換，我們稱之為仿射變換（affine transform）。
把原來的三維矢量轉換成四維矢量，這就是我們所說的齊次坐標（homogeneous coordinate）。
齊次坐標：

對于一個點w 補1，因為點會受到平移變換的影響
對應一個方向向量 w 補0，因為向量不會受平移的影響，不管怎么平移向量是不會變的。

平移矩陣變換。

下面我們來實現(xiàn)平移矩陣變換，來感受一下

假設現(xiàn)在有一個點為(1,2,4)，把該點平移（2,1,3）,最后的結果是(3,3,7)，那么通過矩陣是怎么運算的呢？我們使用齊次坐標空間，由于此處是點的平移那么 w 處補0

如果現(xiàn)在改為方向向量(1,2,4)，平移后方向向量是不變的，還是（1，2，4），此處w補0

縮放矩陣

旋轉矩陣

沿x軸旋轉

沿y軸旋轉

沿z軸旋轉

復合變換舉例

我們把上面的平移縮放旋轉來進行復合變換，說的再多，舉一個例子可能更直觀點。
點A（2,3,4）,繞z軸旋轉30度，縮放（1，2，3），平移（6，7，8），我們用矩陣來計算下

矩陣從右往乘，先旋轉，再縮放，再平移。由于矩陣相乘滿足結合律，我們可以把前面的三個矩陣相乘后得到一個變換矩陣，再于坐標點相乘

實際應用

在這里我們可以看Unity Shader的一個例子：
在Unity中需要一系列的矩陣變換才能被看到，我們來看看Unity的空間變換。

坐標空間

• 模型空間：物體的原始數(shù)據(jù)存儲在模型空間下，點是相對于模型空間。
  當一個模型導入到Unity中后，我們可以在頂點著色器中訪問到模型的頂點信息，其中包含了每個頂點的坐標。這些坐標都是相對于模型空間中的原點（通常位于模型的重心）定義的。
  在模型空間下我們看不到物體，我們需要把物體先轉換到世界空間

• 世界空間：游戲運行時，把物體加載到場景中，會把點轉換到世界空間下

• 觀察空間：攝像機空間，觀察空間的原點在攝像機處，把世界空間下的點轉換到攝像機的視角空間下。

• 裁剪空間：到了觀察空間，我們依然無法正常顯示物體，需要進行下一步變換到裁剪空間，把攝像機外的物體裁剪掉，只有位于攝像機內(nèi)的物體才會顯示。

• 屏幕空間：在完成上面的操作后，我們需要把點投影到屏幕上，而屏幕時二維空間的顯示器，把點投影到屏幕空間中，計算屏幕坐標，顯示器才能正常顯示。

Shader中相對于的矩陣

1:模型空間 2:世界空間 3:觀察空間 4:裁剪空間

• UNITY_MATRIX_M：從模型空間，轉換到世界空間

• UNITY_MATRIX_V：從世界空間，轉換到觀察空間

• UNITY_MATRIX_P：從觀察空間，轉換到裁剪空間

• UNITY_MATRIX_MV：從模型空間，到觀察空間

• UNITY_MATRIX_VP：從世界空間，到裁剪空間

• UNITY_MATRIX_MVP：從模型空間，轉換到裁剪空間

直接上圖，看的比較清楚

在頂點著色器中，需要對頂點進行空間變換。假如模型空間下的點A=(2,2,3)，向量可以用列矩陣表示。需要把該點轉為世界空間下的點，再轉為視圖空間（我理解的是攝像機的空間），再轉為裁剪空間。
UNITY_MATRIX_M x A = 世界空間下的坐標
UNITY_MATRIX_V x 世界空間下的坐標 = 觀察空間下的坐標
UNITY_MATRIX_P x 觀察空間下的坐標 = 裁剪空間下的坐標

由于矩陣時滿足結合律的，上面的空間變換我們可以用一個矩陣來表示UNITY_MATRIX_MVP，UNITY_MATRIX_MVP x A把該點從模型空間轉為世界空間

在Unity中提供了相應的方法UnityObjectToClipPos，來進行坐標變換

一個簡單的Shader代碼