第一章.邏輯的元素 演繹方法

一、論變項的用法

1.常項與變項

確定的語句：（被斷定的）命題

證明：建立語句的正確性

定理：被證明過的語句

常項：有確定意義且意義，且在使用過程中意義保持不變，如1 2 3 + —

變項：本身沒有意義，如x y z

2.包含變項的表達式——語句函項和指示函項

x是一正整數(shù)

這樣的一個表達式，我們把它稱作語句函項

注意：在不引起誤解的情況下，我們簡稱語句函項為語句

當(dāng)語句函項中的變項被常項代替時，該語句函項就變成了一個語句

                             2x+1

這樣的一個表達式，我們把它稱作指示函項（摹狀函項）

當(dāng)指示函項中的變項被常項取代時，我們就得到了一個指示詞（摹狀詞）

注意：我們有時將x y z或由此構(gòu)成的指示函項，直接稱作為指示詞，但只是一種省略的說法

3.應(yīng)用變項形成語句——全稱語句和存在語句

使函項形成語句的方法：

1.單稱語句：用常項替代函項，使得該語句不含有任何變量

    3+2=3+2

2.全稱語句

    對于任何x y，x+y=y+x成立

這種語句斷定在某個范疇之內(nèi)的任何事物都具有如此如此的性質(zhì)

3.存在語句

    有數(shù)x y ，使得x＞y+1

這種語句表示具有某種性質(zhì)的事物存在

注意：這三種分類并沒有窮盡所有的語句，例如

對于任意數(shù)x y 存在z 使得

     x=y+z

4.全稱量詞與存在量詞：自由變項與約束變項

1.全稱量詞

    對于任何x y…..

我們用符號A來表示全稱量詞

2.存在量詞

    有x y 使得….

我們用符號E來表示存在量詞

注意：我們也稱量詞為運算子，但有些作為運算子的表達式卻不是量詞      

當(dāng)我們把一個函項前加上一些運算子，而且這些運算子包含了該函項的所有變項，那么這個語句函項便自動成為了一個語句，如果沒有包含所有變項，那么它依舊是一個語句函項。

3.自由變項（真變項）

它的存在是肯定這個表達式是一個語句函項而不是語句的決定性因素。

如果要把這個語句函項變成語句，就必須把它轉(zhuǎn)換為常項，或加上包含它的運算子

4.約束變項（假變項）

在語句函項轉(zhuǎn)換為一個語句的過程中意義是不變的

舉例分析下面這個語句函項

    對于任何數(shù)x 如果x=0或y≠0 那么 有一個數(shù)z 使得x=y·z

分析x： x出現(xiàn)了三次：

（1）對于任何數(shù)x

（2）x=0

   (3）x=y·z

 在他出現(xiàn)的任何位置上都是一個約束變項，同理z也如此

唯有y沒有被量詞包括,所以它是自由變項

注意：量詞能夠約束（使語句函項中的自由函項變?yōu)榧s束函項）變項，這是它最本質(zhì)的性質(zhì)

           運算子是一個一般名詞，用來表示一切具有這類性質(zhì)（使語句函項中的自由函項變?yōu)榧s束函項）的表達式

二、論語句驗算

1.語句演算：語句的否定，合取式與析取式

語句演算，又稱作命題演算，是邏輯最初步基礎(chǔ)的工作

1.否定

借助“不”這個字，我們可以形成語句的否定

兩個語句如果其中的一個語句是另一個語句的否定，這兩個語句就是互相矛盾的語句

也就是說，這個語句和其否定的真假性相反

例如：1是一個正整數(shù)

           1不是一個正整數(shù)

2.合取式（邏輯積）

借助“而且”這個詞，我們可以形成語句的合取

構(gòu)成合取式的語句叫做合取式的元素或者邏輯積的因子

在多個語句組成的合取式中，如果有一個語句是假的，那么這個合取式便是假的

例如：2是一個正整數(shù)，而且2＜3

3.析取式（邏輯和）

借助“或”這個詞，我們可以形成語句的析取

注意：在邏輯和數(shù)學(xué)中，或的意義是可兼的，并列2的元素可以同時為真

           例如：學(xué)生或老師可以享受降價優(yōu)惠

           當(dāng)我們想表達不可兼的情況時，我們常用“或者......或者.......”

構(gòu)成析取式的語句叫做析取式的元素或者邏輯和的被加項

在多個語句構(gòu)成的析取式中，如果有一個語句是真的，那么這個合取式就是真的

注意：這里的組成析取式的語句，互相可以毫無實際聯(lián)系，

           例如：2+2=5或中國的首都是北京

2.蘊含式和條件語句；實質(zhì)蘊含

1.蘊含式（條件語句）

借助“如果……那么……”，我們可以形成條件語句

前件：由”如果“引導(dǎo)的子句

后件：由”那么“引導(dǎo)的子句

當(dāng)我們斷定一個蘊含式時，我們就是斷定：不存在前件真而后件假的情況

也就是說，在：（1）前件真 后件真

                         （2）前件假 后件真

                         （3）前件假 后件假

這三種情況時，這個蘊含式為真

在前件真 后件假時 整個蘊含式為假

2.實質(zhì)蘊涵和形式蘊涵

實質(zhì)蘊涵：即使一個蘊含式的前件和后件沒有任何聯(lián)系，仍把這個蘊含式看做一個有意義的語句，也就是說，該蘊涵式的真假完全取決于前后件的真假。

形式蘊涵：在滿足實質(zhì)蘊涵的前提下，保證前件和后件有某種形式上的聯(lián)系

3.等值式

借助“如果….而且當(dāng)且僅當(dāng)”，我們可以形成等值式

等值式的兩個語句，分別叫做等值式的左方和右方

如果等值式的左方和右方真假性相同，那么這個等值式為真，反之為假

在條件語句中，當(dāng)我們把前件和后件互換，那么這個新的語句，叫做原語句的逆語句（或者說是原語句的逆換式）

當(dāng)原語句和逆語句都是真的，那么我們可以用“當(dāng)且僅當(dāng)”連接這兩個語句

※利用等值式進行定義

定義：如果一個表達式在某門科學(xué)中第一次出現(xiàn)，而我們對這個表達式又不能有直觀的了解時，我們就要做出一個約定，來確定這個表達式的意義

例如：我們說x≤y，當(dāng)且僅當(dāng)不是，x＞y

等值式的定義規(guī)則：等值式的第一部分——被定義者，文法比較簡單的語句函項

                                等值式的第二部分——定義者，具有任意結(jié)構(gòu)的語句函項，其中的常項的意義            要么是直接明白的，要么是已經(jīng)被解釋過的。

循環(huán)定義：被定義的常項，以及任何借助于這個常量的表達式，都不能出現(xiàn)在定義者中。否則這個定義就是循環(huán)定義

4.語句驗算的定律

我們用p q這兩個符號，來表示一個整個的語句，這種變項我們叫做語句變項

有些語句的真，完全不依賴于語句的意義，而依賴于“且”“如果”“那么”這些語詞的意義

例如：如果1是一個正數(shù)，而且1＜2，那么，1是一個正數(shù)

我們用p q來替換語句，便得到以下的語句函項

如果p而且q，那么，p

用任意語句取代換p q，得到的語句總為真，我們給這個語句函項加上運算子使之成為命題（語句）

對于任意p q 如果p而且q，那么，p

這個定律叫做邏輯乘法的簡化定律

同理，我們還可以得到類似的語句演算定律

如果p，那么p ——同一律

如果p，那么p或q ——邏輯加法的簡化定律

如果p蘊涵q，而且q蘊涵r，那么，p蘊涵r ——假言三段論定律

5.真值函項和真值表

首先，我們用一些符號來代替語詞

否：~

而且：∧

或者：∨

如果…那么…：→

當(dāng)且僅當(dāng)： ?

真值函項：凡用語句去代換這個語句函項的各變項而得出的任何語句，它的真假完全依據(jù)于被代換進去的語句的真假。

真值表：暫略 （麻煩諸位百度了）

6.共軛語句

反語句：將原語句的前件后件分別換成其否定式

逆反語句：將反語句的前件后件互換

共軛語句：原語句 反語句 逆語句 逆反語句的合稱

易位定律（逆反定律）：一個蘊含式為真，則它的逆反語句也為真

7.推論的規(guī)則

代入規(guī)則：在一個由全稱量詞與一個語句函項構(gòu)成的語句，我們將量詞省略，并用其他變項或者表達式去代換被全稱量詞約束的變項。

例如：對于任意X 有一個數(shù)y 使得x+y=5

           有一個數(shù)y，使得3+y=5

或者    對于任意數(shù)z，有一個數(shù)y 使得z2+y=5

注意：當(dāng)我們用表達式來代換x時，這個表達式不能含y

例如：用（3-y）去代換x

分離規(guī)則：若有兩個語句為真，一個為蘊含式，另一個為蘊含式的前件，那么作為蘊含式的后件的那個語句，也為真。

三.同一理論

1.基本定律

同一理論：不同于語句驗算的邏輯概念，研究同一或相等這一重要概念的理論

萊布尼茲定律：x=y 當(dāng)且僅當(dāng)，y具有的每個性質(zhì)，x都具有，同時，x具有的每個性質(zhì)，y都具有

注意：下面要推出的三個定律，都是僅有萊布尼茲定律作為出發(fā)點推理的，萊布尼茲定律也可以看做對于邏輯中’=’符號的定義，請拋開自己關(guān)于數(shù)學(xué)“=”符號的常識性認知。

自反定律：x=x

證明：x=x，當(dāng)且僅當(dāng)，x具有的每個性質(zhì)，x都具有，同時，x具有的每個性質(zhì)，x都具有

           根據(jù)（p∧p ?p重言定律）我們可以把后面的兩句話合并

變成     x=x，當(dāng)且僅當(dāng)，x具有的每個性質(zhì)，x都具有

            根據(jù)同一律（p→p）我們可以知道等值式的右方為真

因此，等值式的左方也應(yīng)為真，即x=x 證畢

對稱定律：如果x=y，那么y=x

證明：y=x 當(dāng)且僅當(dāng)，y具有的每個性質(zhì)，x都具有，同時，x具有的每個性質(zhì)，y都具有

將該式與萊布尼茲定律相比較，該等值式的左方僅與萊布尼茲定律的左方順序不同，又因為邏輯乘法的交換律，可得出，這兩個左方是等值的，

變成 y=x，當(dāng)且僅當(dāng)，x=y 證畢

傳遞定律：如果x=y，而且y=z，那么x=z

證明：x=y y=x

根據(jù)萊布尼茲定律，一切y具有的性質(zhì)，x都具有

所以 x=z

2.事物間的同一與指示詞之間的同一；引號的用法

語言有效運用的一個基本原則：

任何時候，我們用一個語句去斷定某個事物，我們將這個事物的名稱或者指示詞放在這個語句之中，而不是把事物本身放在語句之中。

例如：這塊寶石是藍色的

           我們用這塊寶石這個名稱來代替實際的寶石，而不是在這個句子中真的放一塊寶石。我們稱之為形式的指謂

可在對象為一個字或者一個符號時，這個原則就會被違反

例如：好是由六筆構(gòu)成的

           瑪麗是一個專有名詞

這是我們就沒有用名稱去指代實際的事物 我們稱之為實質(zhì)的指謂

如何明確表達這種實質(zhì)的指謂呢，我們在表達式的外面加上引號，

例如：“好”是由六筆構(gòu)成的

3.數(shù)的量詞

與存在量詞嗯哼全稱量詞相同，也屬于運算子

例如：至少有一個，至多有一個

四、類的理論（一般集合論）

1.類與它的元素

一級類：由個體構(gòu)成

二級類：由一級類構(gòu)成

我們常用英文的小寫字母表示個體，用大寫字母表示類

x是K中的一個元素

用符號表示：x∈K

2.類與包含一個自由變項的語句變項

我們在x＞0這個包含一個自由變項的語句函項前加上

這個由所有數(shù)x構(gòu)成的集合，使得x＞0

這個函項就與 x∈P  等值

對于每個只包含一個自由變項的語句函項，恰恰有一個相應(yīng)的類。

那么，’這個由所有x構(gòu)成的類，使得....“ 

我們可以用C【下面寫上x這個自由變項】表示

上面這句話，也是一種運算子

我們常說，包含一個自由變項的語句函項，是表示某一種性質(zhì)。 相當(dāng)于這個函項的類，包含，且只包含具有這個性質(zhì)的一切事物作為它的元素。

注意：這也正是著名的羅素悖論在這個問題下指明的矛盾

設(shè)性質(zhì)P為：不包含自己  類A與之對應(yīng) ，產(chǎn)生矛盾，說明這樣的類不存在。然而這又與一種性質(zhì)對應(yīng)一種類矛盾。

3.全類和空類

全類：包含一切個體作為元素 用符號 V 表示

空類：沒有任何事物滿足第二個函項 用符號 Λ 表示

論域：在數(shù)學(xué)理論中，什么是這個理論的個體，由這些個體所構(gòu)成的類可以用“V”表示，稱之為論域

4.5章節(jié)

都為簡單集合概念，高中數(shù)學(xué)課本內(nèi)容相似，省略

6章節(jié)

說明近代邏輯在數(shù)學(xué)上的重大意義

五、關(guān)系的理論

1.關(guān)系理論術(shù)語和與有兩個自由變項的語句函項

我們用“R””S”….來表示關(guān)系

我們將：

事物x與事物y有R關(guān)系

寫成：xRy

事物x與事物y沒有R關(guān)系

寫成：~（xRy）

前繼：任何一個與某一事物y有R關(guān)系的事物（即x）

后繼：任何一個與某一事物x有R關(guān)系的事物（即y）

前域：由所有R關(guān)系前繼構(gòu)成的類

后域：由所有R關(guān)系后繼構(gòu)成的類

與類的理論相似，我們也區(qū)分不同級的關(guān)系

第一級關(guān)系：個體之間的關(guān)系

第二級關(guān)系：由第一級關(guān)系和第一季關(guān)系之間的關(guān)系

對于每一個具有兩個自由變項x與y的語句函項，相應(yīng)的，有一種存在于事物x與y之間的關(guān)系，當(dāng)且僅當(dāng)x與y滿足這個語句函項

xRy也就可以看作是包含兩個自由變項的的語句函項的普遍形式

2.關(guān)系的運算

關(guān)系的運算和類的運算相似

全關(guān)系：任何兩個事物都有的關(guān)系 用符號 V 表示

空關(guān)系：任何兩個事物都沒有的關(guān)系 用符號 Λ 表示

包含關(guān)系：如果任何時候兩個事物有關(guān)系R，這兩個事物就有關(guān)系S。那么我們就說，關(guān)系R包含于關(guān)系S；用符號表示：?

關(guān)系之和 用符號：R∪S 表示 兩個事物之間有R或S其中一種的關(guān)系

關(guān)系之（絕對）積 用符號：R∩S 表示 兩個事物之間有R而且S的關(guān)系

關(guān)系的否定：用符號R’表示，一個關(guān)系不存在與兩個事物之間（與~（xRy）等值）

同一關(guān)系：用符號I表示 而不用=來表示

相異關(guān)系：用符號D表示 而不用≠來表示

關(guān)系的相對積：用符號R/S表示 x y有關(guān)系R/S，當(dāng)且僅當(dāng)有一個z使得xRz而且zS

逆關(guān)系：在關(guān)系符號R上加一個︺ 它存在與x和y之間但且僅當(dāng)R存在云y和x之間

3.自反的，對稱的，傳遞的關(guān)系

自反的：如果K類中的每個元素都與他自己有關(guān)系R，我們就說關(guān)系R在K類中是自反的，即xRx

反之，如果K類中的每個元素都不與他自己有關(guān)系R，我們就說關(guān)系R在K類中是不自反的

對稱的：如果對于K類的任意的兩個元素，公式xRy 蘊涵 公式 yRx

反之，如果對于K類的任意的兩個元素，公式xRy 蘊涵 公式~（ yRx），即是不自反

傳遞的：如果對于K類的任意三個元素x y z 有xRy yRz 蘊涵 xRz

連通的：對于K類中的任意兩個元素x y xRy yRx 其中有一為真

我們可以把每一個同時具有自反的 對稱的 傳遞的關(guān)系看做某一種相等

如“相似”這個關(guān)系，它是自反 對稱 傳遞的，當(dāng)且僅當(dāng)，其具有相同的外形

4.其他重要的關(guān)系

序列關(guān)系：能將一個K類中的元素排出一個序列，如”小于“

這個關(guān)系是不自反 不對稱 傳遞的

一多關(guān)系（函項關(guān)系）：對于每一個事物y，至多有一個x，使得xRy

x就叫做這個關(guān)系的主目值，y叫做函項值

我們用x=R(y）來代替上面的式子

就等同于我們用”x是和那y的父親同一的“去代替”x是那y的父親“

注意：這就是函數(shù)??！

一一關(guān)系：x對y是一多關(guān)系，同時，y對x也是一多關(guān)系的關(guān)系

一一對應(yīng)：將一一關(guān)系f的所有x組成的一個類K，所有y組成的一個類L。那么，我么就說，函項f建立了K的元素和L的元素之間的一一對應(yīng)。

等數(shù)類：如果有一個函項，它在K類和L類中建立了一一對應(yīng)的關(guān)系，那么K類和L類就是等數(shù)的。

任何無窮集合都具有其全集和它的一部分等數(shù)，而一個有窮集合和它的任何真正子集不是等數(shù)的。