本文編譯自+Plus網(wǎng)站

原文作者：Marianne Freiberger 、 Rachel Thomas

編譯作者：Math001

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度米尼爾-柯平(Hugo Duminil-Copin)是2022年菲爾茲獎得主之一。菲爾茲獎每四年頒發(fā)一次，只頒發(fā)給40歲以下的數(shù)學家，被譽為數(shù)學界的最高榮譽之一。

相變和普適性

度米尼爾-柯平因為在統(tǒng)計物理中對相變的數(shù)學理論的工作而受到數(shù)學界的認可。在日常生活中，我們經(jīng)?？匆娤嘧儼l(fā)生：比如低于零度的時候水會結冰。相變是一個復雜的系統(tǒng)，就拿水分子來說，在一些特定的臨界溫度附近，分子行為會發(fā)生非常劇烈變化。

“作為數(shù)學家，我們做的事情是通過對這些物理現(xiàn)象建立數(shù)學模型，去理解相變是怎么發(fā)生的”，度米尼爾-柯平說到。比如規(guī)則晶格模型通過對分子排布的描述來理解這些現(xiàn)象。實際上液態(tài)水分子的位置并沒有那么規(guī)整，在現(xiàn)實中，他們不會像晶格描述的那樣排布在空間中。但為了對這種系統(tǒng)進行研究，通常會簡化的認為分子按這種非常規(guī)整的方式排布。

雖然這個假設不完全符合事實，但度米尼爾-柯平說用這種方式研究的系統(tǒng)卻可以解釋現(xiàn)實中發(fā)生的現(xiàn)象。"這就和一個深刻的理論有關系了，叫做普適性(universality)。我試圖用數(shù)學的方式去理解它"

普適性就像一種夢幻的場景：一些情況下，數(shù)學模型中的瑣碎細節(jié)并不影響全局行為。原因是如果一個系統(tǒng)涉及多個不同的隨機過程，那么底層機制的一些細節(jié)就和全局無關了，比如水分子的運動。在水結冰的過程中，無論你把水分子的排布看成怎么樣晶格排列，你研究的相變的性質(zhì)都是相同的。

"這讓數(shù)學家和物理學家都安心，因為很多系統(tǒng)都具有相同的行為表現(xiàn)。那么你只需要選擇最簡單的情況來研究，就是那種規(guī)整的規(guī)則晶格。"從數(shù)學上來說，您可以從這種更為簡單的問題描述中得到更多信息。數(shù)學模型不一定就是物理現(xiàn)實，但由于普遍性，你的結果都是相同的，和初始假設用精確的物理描述結果是一樣的。

漂亮的問題

統(tǒng)計物理中有很多問題受到度米尼爾-柯平青睞：很多是看似簡單但需要新數(shù)學方法來攻克的問題。一個例子是他在做博士后時做的第一個猜想。

“想象一下，你現(xiàn)在在一個蜂窩面前，”度米尼爾-柯平說，蜂箱的形成了平面上的六邊形平鋪，蜂箱壁的擋板和擋板轉(zhuǎn)角標記成為六邊形(蜂窩格子)的點和邊。你選擇一個點作為起點，然后在六邊形的邊界上行走，但有一點，你不能回到任何之前走過的地方，邊和點都不行。這個規(guī)則叫做自規(guī)避行走。

現(xiàn)在的問題是，有多少種自規(guī)避行走的走法？就如他所說，規(guī)則非常簡單，小孩子都能玩。如果讓你走一步，那么有三種走法，如果讓你走兩步，就有6種走法，如果讓你走三步，就有12種走法。如果走的步數(shù)越多，情況就會越來越復雜。而且為了不走重復路線，你去數(shù)這些走法的數(shù)量就越來越困難?！澳愫芸炀蜁l(fā)現(xiàn)到你無法準確計算出走法的數(shù)量，這是一個很難把控的數(shù)。”下圖是走5、6、7步時候的走法示意。

1980年統(tǒng)計物理學家尼恩胡斯(Bernard Nienhuis)給出了一個驚人的猜想，他說這個數(shù)不僅能把控，而且有一個對數(shù)量級的精確限制。他猜想，如果走n步，那么自規(guī)避行走數(shù)量的增長速度是(√(2+√2))^n(先根號2，再加上2，然后整體再開根號，再n次方)。

“我發(fā)覺有一個答案真是太棒了，這是一個非?？岬臄?shù)字！”度米尼爾-柯平說?！拔以诖T士課上第一次了解到這個猜想。這很有趣，因為當時看起來這個猜想似乎沒有希望被證明?！?但是通過使用看似不相關的數(shù)學領域的工作，的確完成了它。“這是在我們的領域的問題的一個典型例子，你會受到許多其他數(shù)學和物理領域的啟發(fā)。它讓你處于許多領域的交匯點，這是我非常喜歡的事情。

這個問題不止數(shù)學家關心。上世紀40年代，保羅·弗洛里(Paul Flory, 1974諾貝爾化學獎得主)和奧爾(W.J.C. Orr)引入了自規(guī)避行走來研究長鏈分子(聚合物)，以及去理解聚合物的行為?！斑@與物理關系密切，例如如果試圖理解 DNA 分子的行為。這些聚合物會自規(guī)避行走，原因是顯然：它們是分子組成的一個長序列，不會在同一個地方重合?！?/p>

度米尼爾-柯平認為菲爾茲獎是對他所在領域的所有工作人員以及他們共同研究的工作的認可。當 ICM 宣布獎項時，他迫不及待地想與他的同事分享這一認可?！皵?shù)學研究是一項社交性極強的活動，互動交流比普通人想象的要多得多，”他說?！坝幸恍?shù)學家是孤勇者的形象，但就我而言，這不是我的數(shù)學環(huán)境以及做數(shù)學的方式。如果沒有與其他人的這種互動，我的就不可能有這成績?！?

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