如今，全國眾多公共場所都在不間斷地測量過往人群的體溫。然而，什么是溫度？一個(gè)體系有沒有溫度？溫度計(jì)到底測量了什么？這些問題即便在專業(yè)的物理教科書和雜志上也是語焉不詳。本刊特發(fā)此文，供參考。

撰文 ∣?曹則賢（中科院物理研究所研究員）

飲水魚心知冷暖，濯纓人足識(shí)炎涼。
－［唐］羅隱（1）
溫度測量的歷史是科學(xué)發(fā)展史的組成部分……
-Thomas D. McGee

提要：感知冷熱是生命必備的能力，因此冷熱概念的出現(xiàn)遠(yuǎn)遠(yuǎn)早于熱力學(xué)這門學(xué)科，也就難免糾纏不清。熱、冷、火在英文物理文獻(xiàn)中都有多重表述，而溫度也是非常不易正確理解的物理學(xué)基本概念之一。

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世事總關(guān)炎涼

茫茫宇宙中一粒微不足道的塵?！厍颉险Q生了生命。注意到地球的平均溫度約為15°C，生命的物質(zhì)基礎(chǔ)之一是水而水的凝固點(diǎn)為0°C，以及生命作為一個(gè)遠(yuǎn)離平衡態(tài)的耗散體系需要不斷獲得能量而地球的能源是來自太陽的輻照等幾個(gè)事實(shí)，就可以多少理解生命所選擇的溫度窗口（必須處于環(huán)境溫區(qū)的高端）以及對(duì)冷暖的敏感（2）。可以說一切生命最重要的感覺能力是對(duì)冷暖的感知（對(duì)許多高級(jí)動(dòng)物來說，視覺或者聽覺是備選項(xiàng)），過去中國人甚至將知冷知熱看作是一個(gè)人作為好的配偶所必備的品格。在中文語境里，溫和、溫暖、溫柔等貼近我們體溫的詞匯都讓人感到非常溫馨，在其它文化中大概也應(yīng)如此，畢竟“環(huán)球同此涼熱”（3）。

冷熱的概念在人體發(fā)育的早期就應(yīng)該建立起來了。給嬰幼兒喂奶喂飯，一開始由大人掌握冷熱，而后就要教孩子自己明白冷熱。舒適的溫度，應(yīng)該是體溫附近不大的范圍，它首先是生理的需要，其后慢慢成了心理的需求。我們一個(gè)人一生中最需要理解的現(xiàn)象也許就是世態(tài)炎涼，人情冷暖！人類自愚昧中走過來，在其科學(xué)努力中自然會(huì)將很大的精力放在理解冷暖現(xiàn)象上。于是，我們發(fā)展了熱學(xué)、熱力學(xué)，而這其中要理解和量化的一個(gè)重要概念是冷熱程度，即溫度。

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混亂的字面

冷熱是我們身體的感覺，因此我們關(guān)于冷熱現(xiàn)象相關(guān)的詞匯一定比熱力學(xué)這門科學(xué)出現(xiàn)得早，也就容易想象存在某些概念上的夾雜不清。再考慮到英語的復(fù)雜來源，以及熱力學(xué)在德、法、英幾乎同時(shí)發(fā)展的歷史現(xiàn)實(shí)，可以想見英文科技文獻(xiàn)中與熱有關(guān)的詞匯會(huì)有許多不同的面目。首先，熱力學(xué)關(guān)注的基本量是熱量（liàng），是能量的一種特殊形式。中文里熱如今既是具體的名詞（溶解熱），也是抽象名詞代表“熱的”這種感覺、這件事（旅游熱），也是形容詞（熱心腸）；相應(yīng)地，德語里“熱的”是heiβ，而具體名詞熱，die W?rme，對(duì)應(yīng)的形容詞卻是溫暖，warm；英語里“熱的”一詞，hot，來自德語heiβ，但是詞形變化豐富：“熱的”這種感覺、這件事為hotness，熱量則是heat。德語形容詞warm傳入英語后，其對(duì)應(yīng)的名詞warmness，是溫暖的感覺，卻沒有熱量的意思。漢語科技名詞中涉及熱的還有熱解（裂解）的說法，是對(duì)pyrolysis 的翻譯。Pyros 來自希臘語π?ρо?，是火的意思。同樣與火同源的字還有fever (發(fā)熱、發(fā)燒) ，德語為 das Fieber。如果知道中文的“熱”字，從火，是形聲詞，這一點(diǎn)就很好理解。

熱學(xué)作為一門學(xué)科在德語里為W?rmetheorie，英文為heat theory，此為熱力學(xué)的前身。熱力學(xué)，thermodynamics （thermo+dynamic），來自希臘語。但是，希臘語θερμ??(thermos) 的意思恰恰是“溫的”，形容詞“熱的”是καντ?? （kantos）和ζεστ??(zestos)。說到熱量，英文中也用calorie (漢語直接音譯卡路里，或干脆“卡”)，談?wù)摖I養(yǎng)保健、運(yùn)動(dòng)塑身的人喜歡用“卡路里”代表熱量。Calorie這個(gè)詞來自拉丁語calere，意思是 to be warm， glow，glow with heat。Glow with heat （熱而發(fā)光） 就是白熾燈的原理，后文我們會(huì)看到這個(gè)問題在近代物理學(xué)中舉足輕重的地位。Calorie在希臘語中也是“熱的”意思，比如熱輻射體（radiator），希臘文就是σ?μα καλоριφ?ρ (caloric body)。在羅曼語族的語言中，“熱的”一詞都和calorie相仿佛，如這句西班牙語“Latemperatura?es una magnitud referida a las nociones comunes de?calor?o?frío（溫度是度量熱或冷的量）”中的calor。

為了表征冷熱的程度（degree of hotness or coldness），人們引入了temperature的概念。冷熱的程度不是熱度也不是冷度，而是溫度，如temperature的本意。Temperature的同源動(dòng)詞temper為調(diào)和的意思，如 to temper critism with reason （批評(píng)中加入說理），to temper paint with oil（用油調(diào)漆）。形容詞temperate的意思是溫和的，如a temperate reply （溫和的答復(fù)），a temperate climate (溫和的氣候），等等。Temperate若指冷熱程度，其近義詞有 tepid、mild 和lukewarm （舒適、愜意）。莎士比亞最著名的十四行詩“Shall I compare thee to a summer's day?”的起始兩句：

Shall I compare thee to a summer's day?
Thou art more lovely and more temperate.（4）

其中的temperate 指的就是好脾氣、溫順、溫婉的意思。此外，拉丁文temperaturae本意有不過分的意思，比如關(guān)于美之標(biāo)準(zhǔn)的冷冰冰的嚴(yán)格對(duì)稱性與其說是要達(dá)到的標(biāo)準(zhǔn)，勿寧說是一種在其基礎(chǔ)上要偏離的標(biāo)準(zhǔn)：“但這偏離不可過分（temperaturae），所謂在絕對(duì)的對(duì)稱性中有目的地、偷偷地塞入一些細(xì)微的變化”[1]。

熱的反義詞是冷。關(guān)于冷，雖然英文的冷，cold、coldness，也在英文物理文獻(xiàn)中時(shí)常見到，但很多時(shí)候用到的是其它形式的詞。比如refrigerator（冰箱）、refrigerating machine（制冷機(jī)），這里的冷，fri，來自拉丁語系，法語形容詞為 froid，西班牙語為frío。相應(yīng)地，冷在希臘語中為κρ?о?（cryos），是極寒冷（chilly）的意思，但是在現(xiàn)代物理學(xué)文獻(xiàn)中極寒冷也不足以說清楚它是多么的冷了。Cryo 出現(xiàn)在cryostat（低溫恒溫器）、cryopump (冷凝泵) 等詞匯中，這里的冷可是由液氮或液氦維持的，cryogenic refrigerator里的溫度遠(yuǎn)比家中冰箱里的更低。有時(shí)為了有所區(qū)別，人們在表達(dá)“冷的”概念時(shí)會(huì)選擇不同詞源的詞，如冷原子物理英文為ultracold atomic physics，低溫物理則寫成low-temperature physics，《低溫物理》雜志因?yàn)橐@得很有學(xué)問，還要寫成拉丁文 physica?temperaturae?humilis。

在量熱設(shè)備上，文字也是比較混亂。Thermos是“溫的”，thermometer 是量溫的器材，漢譯溫度計(jì)；但還有一個(gè)詞為thermoscope，按說也是溫度計(jì)，但有人為了以示區(qū)別將之譯為量溫器、測溫器。其實(shí)，這里的區(qū)別是，meter的本意是測量，強(qiáng)調(diào)刻度；scope的本意是看，帶scope的測量器材強(qiáng)調(diào)的是觀察，可能并不要求一定落實(shí)到一個(gè)數(shù)值。當(dāng)然這話也不對(duì)，如今遍布各地防流感的數(shù)字式紅外thermoscope就是簡單地蹦出一個(gè)數(shù)字。顯然，人類制造的第一個(gè)量溫器材只能是thermoscope，因?yàn)樗€沒有刻度。關(guān)于meter與scope，以及metry 與scopy之間的細(xì)微差別，請參閱筆者此前的討論[2]。此外，還有一類近似地利用黑體輻射性質(zhì)的溫度計(jì)pyrometer，有人將之翻譯成高溫計(jì)。這個(gè)翻譯有點(diǎn)過，因?yàn)橛行﹑yrometer也只是用來監(jiān)視人類的體溫變化（見下文）。測量熱量的設(shè)備是calorimeter，漢譯量熱計(jì)，用于測定化學(xué)反應(yīng)、狀態(tài)變化或溶解過程所產(chǎn)生的熱量。

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溫度的物理

溫度是物理學(xué)中七個(gè)基本量之一，單位為 Kelvin，以英國物理學(xué)家 William Thomson的官爵，即 Lord Kelvin，命名。在許多物理學(xué)生的頭腦里，溫度是個(gè)最基本的物理量，一個(gè)可測量量。1994年夏季一個(gè)無聊的下午，筆者在德國Kaiserslautern大學(xué)物理系圖書館翻閱一本名為《Heat Transfer》的書時(shí)，忽然明白溫度是不可測量的。它的所謂測量都要依賴一個(gè)我們未明說的、有時(shí)甚至是根本不知道的某個(gè)物理學(xué)定律，且測量的是其它的可測量物理量。而即便不知道那個(gè)定律我們依然能夠制造溫度計(jì)并籍此逐步地建立起熱力學(xué)，則是在筆者為中國科學(xué)院研究生院準(zhǔn)備2009暑期課程時(shí)才認(rèn)識(shí)到這一點(diǎn)的，此時(shí)筆者在大學(xué)和研究所已經(jīng)混了27個(gè)年頭。由于溫度是對(duì)大粒子數(shù)體系的平衡態(tài)演生（emergent）性質(zhì)作統(tǒng)計(jì)描述時(shí)才能引進(jìn)來的一個(gè)量，筆者有時(shí)甚至想說溫度就不是個(gè)物理的量；研究少體問題的物理學(xué)家基本上是發(fā)燒的時(shí)候才從護(hù)士的嘴里聽到這個(gè)詞的。而熱力學(xué)之晦澀難懂，多半是因?yàn)檫@些應(yīng)該明確指出而又鮮有人指出的事實(shí)。誠如McGee指出的那樣，“溫度是最難清晰定義的物質(zhì)的一般性質(zhì)（The concept of temperature has been the most difficult of the common properties of matter to define clearly）”[3]。

當(dāng)我們憑借身體感知冷熱從而對(duì)環(huán)境的溫度做出判斷時(shí)，我們更多的是在談?wù)撘粋€(gè)傳熱學(xué)的問題。熱流流向我們的身體，我們感覺是熱的，我們就斷言外界溫度高；熱流自我們身體流出，我們感覺是冷的，我們就斷言外界溫度低。不過這個(gè)感覺不足以要求外界有物理上嚴(yán)格定義的溫度，且熱流的強(qiáng)度必須被限制在一個(gè)很小的范圍，過大的注入和流出的熱流都可能損壞我們的感覺器官，從而得出混亂的判斷。當(dāng)人體，比如腳，被凍得非常厲害時(shí)，也會(huì)有熱的感覺，確切地說是麻癢的感覺，且那種麻癢的感覺不是整體性的，而是如同第二類超導(dǎo)體內(nèi)的磁通渦旋，或者半導(dǎo)體晶體里的位錯(cuò)線那樣的分布。有時(shí)，即便是處于同一環(huán)境中的兩個(gè)物體，假設(shè)都比我們的手冷，其中吸收熱量快的物體，比如金屬，也會(huì)給我們更冷的感覺。也就是說我們的手這樣的溫度計(jì)是依靠熱流方向甚或熱流的速率來判斷冷暖的。一切感知溫度的器件，都可能存在類似的問題，至少它不能幫助測量者斷言待測體系有完好定義的溫度。

熱力學(xué)告訴我們，針對(duì)一個(gè)處于平衡態(tài)的體系，我們才能定義其溫度為

，即溫度是由體系在粒子數(shù)、體積以及其它廣延量都保持不變的前提下的熵－內(nèi)能關(guān)系決定的。自統(tǒng)計(jì)力學(xué)的觀點(diǎn)看來，這個(gè)關(guān)系是基本（fundamental）的。雖然，溫度可以作為物體冷熱程度的度量（temperature is the degree of hotness or coldness of a body），但冷熱（熱流的方向和速率）卻是更基本的，且不保證一個(gè)完好定義的溫度的存在。

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溫度測量的邏輯基礎(chǔ)

溫度測量涉及復(fù)雜的物理現(xiàn)象。如何測量溫度，雖然未得到充分強(qiáng)調(diào)，也算是一門學(xué)問（thermometry），而且是一門復(fù)雜的、困難的學(xué)問。任何嘗試測量溫度的人都應(yīng)該清楚地了解測溫的原理以及滿足特定目的所采用之具體測溫方法[3]。

溫度測量的邏輯基礎(chǔ)是熱力學(xué)第零定律: “若體系A(chǔ)和B分別同體系C處于熱平衡，則A和B之間也處于熱平衡?！?據(jù)說該定律是1920年由R. H. Fowler提出的，從時(shí)間上看，第零定律出現(xiàn)晚一些，算是對(duì)熱力學(xué)三大定律的補(bǔ)充。既然是補(bǔ)充，說明有其必要，并不是如字面上那樣看起來幾乎是廢話。所謂的熱平衡，我的理解是即兩體系間單位時(shí)間內(nèi)、且不管多長時(shí)間間隔內(nèi)的凈交換熱量為零。兩個(gè)體系分別同第三個(gè)體系處于熱平衡，細(xì)節(jié)上卻可以是以不同的傳熱方式，以不同的單向能流交換著熱能（圖1）。這樣，熱平衡如果用熱量交換的詞匯來描述的話，就太不經(jīng)濟(jì)了。熱力學(xué)第零定律首先表明此問題可以進(jìn)一步引向深入，定義一個(gè)新的表征熱平衡的物理量，這就是溫度（5）。這才是第零定律的關(guān)鍵。有了這個(gè)邏輯基礎(chǔ)，溫度概念的引入就顯得順理成章了，溫度計(jì)的使用就得到了原理上的保障（一個(gè)測溫物質(zhì)同待測體系建立了熱平衡，假設(shè)此過程交換的熱量與待測體系的總熱量相比可忽略不計(jì)，則根據(jù)測量測溫物質(zhì)某個(gè)物理量所換算得到的溫度值可看作是待測體系的溫度。當(dāng)然，有些溫度計(jì)不需要和待測體系建立熱平衡），而且對(duì)兩個(gè)獨(dú)立的熱力學(xué)體系，可以通過測溫過程建立起溫度的比較而無需要求它們之間建立熱的交流。熱力學(xué)第零定律同其它第零定律一樣注重的都是為該學(xué)科打下堅(jiān)實(shí)的邏輯基礎(chǔ)。

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溫度計(jì)與溫標(biāo)

我們有冷熱的感覺，有將冷熱量化的需求，問題是如何將溫度量化，注意冷熱是感覺而非視覺上的判斷。如果要將冷熱量化為可以言說的事物，就需要一個(gè)將冷熱轉(zhuǎn)換成視覺效果的物件，即溫度計(jì)。1594年，伽利略讀到了Hero的手稿“Penumatics” （成書于公元前一世紀(jì)），從而發(fā)明了利用氣體壓力（體積）隨溫度改變的原理、由一種液體的升降來顯示冷熱程度的thermoscope（圖2）。如今市面上的玩具愛情溫度計(jì)就是利用的這個(gè)原理。另有文獻(xiàn)說伽利略1600年左右發(fā)明的thermoscope是這樣的裝置：密封的玻璃管內(nèi)注入一定量的透明液體，其中浸泡著比重不同的小物件。當(dāng)溫度升高（下降）時(shí)，液體的密度會(huì)減?。ㄔ黾樱?，小物件的懸浮位置就有變動(dòng) （圖2）。

僅有視覺上的沖擊是不夠的，只有實(shí)現(xiàn)了對(duì)溫度的粗略測量以后，溫度的概念才能夠被定義（……Only after crude methods of temperature measurement were developed could the concept of temperature really be defined!）[3]。這是科學(xué)發(fā)展的一個(gè)有趣范例，印證了關(guān)于科學(xué)是一艘行駛在大海上的船、而我們只能在這艘船上對(duì)它進(jìn)行修補(bǔ)的比喻。在正確地理解溫度之前，我們已經(jīng)有了量化溫度的努力和實(shí)踐。要得到量化的溫度，就要解決如何量化以及為什么可以這樣量化的問題，雖然理解后一點(diǎn)是“馬后炮”式的。

在熱力學(xué)史上，測溫是從測量離我們的體溫不太遠(yuǎn)的溫度開始的， 且都是采用線性溫標(biāo)，即假設(shè)測量依賴的物理量（或現(xiàn)象），如氣、液、固體的熱脹冷縮（6），隨溫度在感興趣的范圍內(nèi)是線性變化的。這樣對(duì)兩個(gè)參考點(diǎn)賦值就足以確定一套溫標(biāo)和溫度計(jì)。從1744年到1954年，0°C（7）被選為水的凝固點(diǎn)，而100°C 是水的沸點(diǎn)（習(xí)慣性的百分制思維，所以深度科學(xué)性欠缺一點(diǎn)），當(dāng)然是在一個(gè)大氣壓（注意，是奧地利維也納的大氣壓?。┫碌哪厅c(diǎn)和沸點(diǎn)（圖3）。

與攝氏溫標(biāo)類似的溫標(biāo)還有一些。問題是，在我們能定義和理解溫度之前確立的這些溫度測量的方法學(xué)（thermometry），其正確性有保證嗎？如果有，又是如何得到保證的？注意到，溫度測量利用某個(gè)可測量量x對(duì)溫度T的依賴關(guān)系 x=f(T)，而這個(gè)關(guān)系先前我們是不知道的。但是，只要該物理性質(zhì)對(duì)溫度的依賴 是“乖的”（8），則總可以利用逆關(guān)系

在某個(gè)參考點(diǎn) x0?附近采用物理量x，配合關(guān)系式 T= T0 + α(x- x0)，來測量溫度。此線性關(guān)系近似的正確性是由依賴關(guān)系x=f(T)的“乖”而不是由其具體形式?jīng)Q定的，這就是為什么在我們弄懂溫度的物理之前就能有不錯(cuò)的溫度計(jì)的原因。注意到公式T= T0 + α(x- x0) 中的參數(shù) α 是通過選擇參考點(diǎn)的溫度值確定的， 因此這樣的溫標(biāo)是有隨意性的。

溫度是冷熱程度的表征，而物體之間冷熱程度的差別體現(xiàn)在熱接觸時(shí)的能流收益，因此相比于溫度值所表示的關(guān)系，熱流才是更基本的。若我們將相互之間熱平衡的系統(tǒng)歸為一個(gè)類，處于不同的系統(tǒng)類按熱接觸時(shí)發(fā)生能量流的方向排序，能量流的方向指向溫度低的體系。此時(shí)，任何能正確地給出系統(tǒng)類順序的溫度標(biāo)簽都是物理上好的溫標(biāo) (temperature scale)（圖4）。當(dāng)然，同上述我們采用的只適合于局部溫區(qū)的有限溫標(biāo) (temperature standard) 不同，我們這里討論的是對(duì)溫度全局上的標(biāo)度問題。對(duì)于溫標(biāo)的選擇來說，給出正確的系統(tǒng)類序列（能流方向）是第一位的，而確立具體的數(shù)值是第二位的。要做到后一點(diǎn)還需要依賴其它的物理事實(shí)或規(guī)律；且根據(jù)不同規(guī)律定出的溫標(biāo)（scale，請不要混同于討論攝氏溫標(biāo)同華氏溫標(biāo)不同時(shí)所涉及的溫度standards），相互之間的變換關(guān)系一般是非線性的。這樣的溫標(biāo)很多，但我們期望一個(gè)具有某種“絕對(duì)”意義的溫標(biāo)，方便、或者說利于物理學(xué)獲得一個(gè)自洽的面貌是我們對(duì)這樣的溫標(biāo)的期待[4]。這樣的溫標(biāo)應(yīng)是基本（fundamental）的，即測量溫度時(shí)所選取的測量量對(duì)溫度的依賴關(guān)系只涉及基本物理常數(shù)而不包含任意的校準(zhǔn)常數(shù)[3]。

圖4 平衡態(tài)體系之間熱接觸時(shí)能流的方向與溫標(biāo)的設(shè)定[4]。體系（θ1，θ2，… θn…）和體系（

）都正確地給出了平衡態(tài)體系熱接觸時(shí)的能量方向，因此都是好的溫標(biāo)。它們兩者之間應(yīng)有相同的拓?fù)?，但兩者之間值的換算一般是非線性的。

此時(shí)，討論一下時(shí)間和溫度的一個(gè)共通的側(cè)面是有趣的。在擁有一個(gè)可接受的溫度理論之前，我們的溫標(biāo)和溫度計(jì)是混亂的；在我們能建立起可接受的時(shí)間理論之前，也沒有具有基本時(shí)標(biāo)的計(jì)時(shí)器。在討論他的廣義相對(duì)論時(shí)，愛因斯坦用實(shí)在的、經(jīng)典的“米尺”、“時(shí)鐘”和“觀察者”等概念，這是他囿于常識(shí)的地方。這樣的表述有歷史的因由，卻是誤導(dǎo)性的（許多人的相對(duì)論水平永遠(yuǎn)地被定格在“米尺”、“時(shí)鐘”等概念上了），故為人所詬病[5]。

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絕對(duì)溫度與絕對(duì)溫標(biāo)

所謂的溫度測量，一直是用某種物質(zhì)體系的某個(gè)物理量，比如水銀溫度計(jì)中水銀柱的高度，來表征溫度的，其前提條件是該物理量在給定的溫區(qū)內(nèi)隨溫度單調(diào)地變化 （不存在能測量所有溫度的溫度計(jì)）。但單調(diào)性不足以確定對(duì)變化的定量描述，故歷史上曾出現(xiàn)多種依賴不同物質(zhì)的不同物理性質(zhì)的針對(duì)不同溫區(qū)的溫度計(jì)，曾引入不同的經(jīng)驗(yàn)溫標(biāo)[3]。紛亂的溫標(biāo)反映的是對(duì)溫度紛亂的認(rèn)識(shí)和定義，這說明關(guān)于溫度一定有某些深刻的物理我們還沒有把握。熱力學(xué)發(fā)展史上引入的經(jīng)驗(yàn)溫標(biāo)雖然都滿足了所采用的物理量在工作范圍內(nèi)隨溫度單調(diào)變化的要求，但物理量隨溫度變化的定量關(guān)系的確立顯然應(yīng)服務(wù)于建立一個(gè)自洽的熱力學(xué)體系；哪怕僅是為了測溫的統(tǒng)一， 也需要一個(gè)獨(dú)立于具體物理量的溫標(biāo)，使得不同的溫度計(jì)可相對(duì)于一個(gè)統(tǒng)一的、最好是適用于所有可能出現(xiàn)溫度值的物理體系（原理）加以校準(zhǔn)。

1703年，法國人阿蒙東（Guillaume Amontons）?發(fā)現(xiàn)降低溫度時(shí)，瓶子里的氣體壓力也下降。溫度越低，壓力越低。但氣壓不可能為負(fù)，則按照理想氣體的狀態(tài)方程，（按照理想氣體方程定義的）溫度降到零也就不能降了。阿蒙東推測這個(gè)溫度在－240℃ 。這是絕對(duì)溫度的早期概念。后來，開爾文爵士引入了絕對(duì)溫標(biāo)，即體系所處的溫度應(yīng)這樣取值，使得工作在 T2 和 T2 上的理想熱機(jī)，其效率為

。注意，是我們選擇了

這樣的簡單形式的效率公式，通過對(duì)能量（流）的測量，決定了所謂的絕對(duì)溫度。這個(gè)公式注定了 T>0。理想氣體定義的絕對(duì)溫標(biāo)，和開爾文的絕對(duì)溫標(biāo)有相同的拓樸，且可以證明它們之間只差一個(gè)比例因子；理想氣體定義的絕對(duì)溫標(biāo)在測度上有任意性，反映在狀態(tài)方程 存在待定常數(shù)k 的事實(shí)上。值得注意的是，開爾文絕對(duì)溫標(biāo)是物理學(xué)家的選擇而不是物理的選擇，詳細(xì)討論見文獻(xiàn)[4]。絕對(duì)溫標(biāo)暗示了絕對(duì)零度不能達(dá)到，因此衡量極低溫技術(shù)水平就表現(xiàn)為一個(gè)不斷趨近于零的數(shù)字，利用激光冷卻技術(shù)如今人們已經(jīng)能把原子氣體冷卻到 nK的水平了。

1900年，普朗克通過猜測的熵與內(nèi)能的關(guān)系，給出了（理想的?。┖隗w輻射公式，即能量譜密度對(duì)溫度的依賴關(guān)系，

[6]。這個(gè)公式當(dāng)然是嚴(yán)格的數(shù)學(xué)表達(dá)，對(duì)應(yīng)一個(gè)溫度的不再簡單地是個(gè)數(shù)值，而是一個(gè)分布函數(shù)。同上述絕對(duì)溫度定義一樣，這里溫度的確定還是通過能量測量實(shí)現(xiàn)的。對(duì)于具體的一個(gè)輻射體，比如宇宙（9），它的輻射能量密度譜估計(jì)不是像這個(gè)數(shù)學(xué)公式那么完美，但重要的特征（features）卻不會(huì)有太大的偏離（圖6）。這樣，我們只要將 曲線美化成符合上述公式的形式，就能定義一個(gè)絕對(duì)溫度。宇宙背景輻射、星體溫度就是這樣確定的。對(duì)黑體輻射公式的近似定義了絕對(duì)溫度，或者說黑體輻射理論為我們提供了一個(gè)絕對(duì)溫度計(jì)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，測量黑體輻射譜的設(shè)備就成了普適的溫度計(jì)，且這種絕對(duì)溫度計(jì)是遠(yuǎn)程的。利用此原理的絕對(duì)溫度計(jì)之一，大型射電天文望遠(yuǎn)鏡 (圖6)，為天體物理、宇宙學(xué)、引力理論的研究提供了巨大的幫助。

大型射電天文望遠(yuǎn)鏡這樣的絕對(duì)溫度計(jì)太昂貴了，目前已有多種不太嚴(yán)格的—只測很窄范圍內(nèi)的波譜，或者其依賴的判據(jù)或計(jì)算也不嚴(yán)格—絕對(duì)溫度計(jì)供實(shí)驗(yàn)室和日常生活中使用。這類溫度計(jì)英文為pyrometer。例如，有一種燈絲消失光學(xué)測溫儀（the disappearing filament optical pyrometer）：通過一個(gè)紅色（幾乎單色）的濾光窗口將待測的白熾光源和儀器內(nèi)置的燈絲（校準(zhǔn)過的）發(fā)出的輻射一起比較，當(dāng)輻射源的強(qiáng)度和燈絲的強(qiáng)度一樣時(shí)，燈絲的像消失了，由此可以判斷輻射源的溫度就是內(nèi)置燈絲的當(dāng)前溫度。這類溫度計(jì)一般用于接近1000°C的高溫測量，誤差較大。還有一類測量紅外波段發(fā)射譜或發(fā)射率（emissivity）的紅外測溫儀，英文為infrared thermometer或infrared radiation pyrometer 或 radiometer，由于其輸出是蹦出一個(gè)表示溫度的數(shù)字，因此也叫infrared thermoscope （圖7）。由于emissivity 依賴于物體的溫度，也依賴于物體表面的狀況，因此這類溫度計(jì)需要嚴(yán)格校準(zhǔn)。

7

溫度測量的假象

前述我已經(jīng)闡明，溫度作為一個(gè)統(tǒng)計(jì)性質(zhì)的強(qiáng)度量，是不可以被直接測量的。所謂的溫度測量，是通過對(duì)其它（廣延）物理量（受熱影響）的測量得以實(shí)現(xiàn)的。其它的物理現(xiàn)象被當(dāng)作溫度的指標(biāo)，所得的溫度值可能會(huì)因?yàn)槟承┦鹿实玫讲痪_的、甚至錯(cuò)誤的結(jié)果。首先要注意的一點(diǎn)是，物質(zhì)體系受擾動(dòng)后達(dá)到新的溫度狀態(tài)可能是需要某個(gè)特征時(shí)間的，而一個(gè)反應(yīng)很快的測溫裝置，比如電阻溫度計(jì)（resistor thermometer），會(huì)瞬間就給出一個(gè)溫度值而不管體系是處于什么狀態(tài)。許多研究相變的文章給出的結(jié)果之所以出入較大，我懷疑與測溫有關(guān)。其它的錯(cuò)誤根源包括測溫點(diǎn)同溫度計(jì)（比如熱偶溫度計(jì)）的探頭所在地并不是原來設(shè)定的地點(diǎn)，或者轉(zhuǎn)換或顯示部分的電路出了問題（比如熱水器顯示溫度的電路因?yàn)樗高^早地亮燈指示水開了），等等。如果認(rèn)定油鍋冒氣泡就代表高溫的話還有受騙的可能（此時(shí)人的常識(shí)扮演了溫度計(jì)的角色），因?yàn)榧尤氲蜏胤纸鈿饣奈镔|(zhì)，比如硼砂，很容易在低溫下就讓油鍋翻騰不已。舊社會(huì)流氓斗狠，就有人用過這招表演下油鍋。

8

負(fù)溫度

“語不驚人死不休”并不是詩人特有的態(tài)度。物理學(xué)家們?yōu)榱瞬┤〔恍嗟拿暎?在提出新概念的時(shí)候一樣是出語驚人。比如熱力學(xué)定律強(qiáng)調(diào)了絕對(duì)溫度零度是不可能達(dá)到的，但如果愣達(dá)到了呢，又或者讓您誤以為比它還低呢，那該是多么轟動(dòng)呀?！柏?fù)溫度”就是這樣的一個(gè)概念。配上像這樣的句子“負(fù)溫度的體系比任何?正溫度體系都熱（Rather, a system with a negative temperature is hotter than?any?system with a positive temperature）”，簡直太后現(xiàn)代了。

其實(shí)，所謂的負(fù)溫度涉及的是激光工作介質(zhì)或者磁場中分裂的核自旋這樣的僅有幾個(gè)能級(jí)（實(shí)際上是兩個(gè)）的體系，因?yàn)橥庠诒闷郑╬umping）的原因，體系中的高能級(jí)以較大的比例被占據(jù)，即出現(xiàn)粒子數(shù)反轉(zhuǎn)（population inversion）。所以，如果硬要用玻爾茲曼分布之類的描述，即認(rèn)定密度算符ρ由式

給出的話，H 是體系的哈密爾頓算符，則T應(yīng)取負(fù)值。注意到粒子數(shù)反轉(zhuǎn)是由外界的泵浦和能級(jí)的性質(zhì)，比如能級(jí)間的衰變速率，所共同決定的，假設(shè)體系有三個(gè)能級(jí)的話，按照上述定義甚至能得到三個(gè)不同的負(fù)溫度。這當(dāng)然有點(diǎn)尷尬。而若將負(fù)溫度限定在兩能級(jí)體系的話，直接用占據(jù)狀態(tài)描述就行了，引入一個(gè)溫度參數(shù)除了新聞效應(yīng)以外還能有什么益處？類似負(fù)溫度之類的概念物理學(xué)上還有一些，讀者諸君遇到時(shí)不妨一笑置之。

9

多單元熱力學(xué)體系的溫度

若一個(gè)體系雖然其整體上不是處于熱平衡態(tài)，自然用單一溫度參數(shù)描述是不恰當(dāng)?shù)?，但組成它的子系統(tǒng)卻是各自近似地處于平衡態(tài)，則對(duì)這樣的體系可以針對(duì)子系統(tǒng)定義出一組溫度來表征其熱力學(xué)特性。平衡態(tài)的等離子體，如果不是太嚴(yán)格的話，還有鴛鴦火鍋 （圖8），就是這樣的熱力學(xué)體系。對(duì)平衡態(tài)等離子體，可以根據(jù)離子能量分布和電子能量分布分別定義離子溫度和電子溫度。如果也用Kelvin溫標(biāo)的話，一般氣體的離子溫度，近似地可看作是主導(dǎo)等離子體同環(huán)境交換熱量的參數(shù)，并不比室溫高多少。但是，電子溫度要高得多，一般在105K以上，這樣的等離子體被稱為non-thermal plasma；若是等離子體內(nèi)電子和離子是處于熱平衡 的，則是thermal-plasma。Non-thermal plasma 有人將之翻譯為非熱等離子體，有人則隨手使用低溫等離子體這個(gè)譯名。利用激光等更具選擇性的離化工具可以使得氣體中中性原子和離子的溫度保持很低，比如維持在1K溫度的水平，這樣的等離子體被稱為cold plasma 或ultra-cold plasma.

圖8 鴛鴦火鍋和氣體放電，典型的具有兩個(gè)近似熱平衡子系統(tǒng)的熱力學(xué)體系。

10

結(jié) 束 語

溫度作為一個(gè)統(tǒng)計(jì)參數(shù)，它與其定義所依賴的統(tǒng)計(jì)一起才構(gòu)成對(duì)體系大體上的科學(xué)描述?？吹揭粋€(gè)溫度值，要把它同關(guān)聯(lián)的物理量的分布聯(lián)系起來，這也是電子溫度常常用能量單位給出的道理。對(duì)于整體上嚴(yán)重分化的、非平衡的體系，簡單地給出依賴某個(gè)整體性質(zhì) (熱輻射的強(qiáng)度；某個(gè)電阻置身其中所表現(xiàn)的電阻值) 錯(cuò)誤地?fù)Q算出來的溫度值其實(shí)是誤導(dǎo)性的。這正如對(duì)貧富嚴(yán)重分化的社會(huì)，“算術(shù)平均”后的工資水平或消費(fèi)增長速度只會(huì)掩蓋社會(huì)的真實(shí)，這種學(xué)問的出現(xiàn)既可能是因?yàn)槟愁悓W(xué)者學(xué)術(shù)功底之不足，更可能是因?yàn)樵擃悓W(xué)者獻(xiàn)身熱情之過頭。

本文關(guān)于溫度的討論基本上是技術(shù)層面的，此時(shí)我特別想重溫以前的一句話，即關(guān)于任何一個(gè)物理學(xué)概念都有太多我不懂的內(nèi)容。其實(shí)溫度是物理學(xué)最關(guān)鍵的基本概念之一，在量子場論、抽象代數(shù)的層次上討論溫度或可觸及溫度內(nèi)涵的皮毛。比如，絕對(duì)零度是不可達(dá)到的，但絕對(duì)零度的狀態(tài)卻被假設(shè)是存在的，且是量子場論處理固體以及其它物理問題時(shí)的起點(diǎn)，被當(dāng)成某種意義上的真空態(tài)。這個(gè)處理方式引起的不僅僅是哲學(xué)的爭論，還涉及一些基本物理量的深層聯(lián)系。這個(gè)話題水太深，遠(yuǎn)超筆者能力之外。為免讀者諸君以為我故弄玄虛，特摘抄一句供欣賞：“Temperature is the only fundamental way of getting around the problem of relativity of motion (溫度是解決運(yùn)動(dòng)相對(duì)性難題的唯一的根本出路)。”怎么樣，令人驚詫乎？

補(bǔ)綴

1. 關(guān)于此文，劉寄星老師發(fā)來幾句評(píng)論，照錄如下：

這篇文章有趣，使我想起一件往事。記得1959年北京大學(xué)物理系理論物理教研室曾響應(yīng)黨的號(hào)召開展了對(duì)王竹溪所著《熱力學(xué)》的批判，批判該書“宣揚(yáng)唯心主義”，“理論脫離實(shí)際”等等。批判王先生“宣揚(yáng)唯心主義”的證據(jù)之一是他在該書序論中的第一段話：“熱學(xué)這一門科學(xué)起源于人類對(duì)于熱與冷現(xiàn)象的本質(zhì)的追求。由于在有史之前人類已經(jīng)發(fā)明了火，我們可以想象到，追求熱與冷的本質(zhì)的企圖可能是人類最初對(duì)自然界法則的追求之一。”令人敬佩的是，王竹溪先生并未在這種批判面前后退，在1960年1月出版的該書第二版中，雖然增補(bǔ)、修訂了不少內(nèi)容，上引的那段話竟一字未改，照樣放在序論第一段。曹則賢可能不知此事（那時(shí)他可能還沒有出生吧？），但這篇文章體現(xiàn)了王先生這段話的精神，所以我覺得有趣，真理看來是批不倒的。

文中對(duì)于 “負(fù)溫度”提法的諷刺挖苦，可能太過，估計(jì)當(dāng)時(shí)Purcell等人提出這個(gè)概念時(shí)，并非要“語不驚人死不休”，而是Boltzmann分布指數(shù)上取了負(fù)號(hào)，逼得他們說出“負(fù)溫度比正溫度更熱”的話來。但曹氏之說也有些道理，別有風(fēng)格，留待引起討論也好。

作者注：如果只討論兩個(gè)能級(jí)上的占據(jù)數(shù)，就沒有什么分布的問題 Boltzmann分布這種作為高溫近似的分布函數(shù)，其涉及的能級(jí)數(shù)目應(yīng)該是宏觀大數(shù)目的。而對(duì)于略高于絕對(duì)溫度零度的費(fèi)米子體系（玻色子體系），則在費(fèi)米能級(jí)（最低能級(jí)）之上只有少數(shù)幾個(gè)能級(jí)被占據(jù)，恐怕不足以給出一個(gè)可信的分布函數(shù)。反過來，對(duì)應(yīng)少數(shù)幾個(gè)粒子占據(jù)零星的幾個(gè)能級(jí)，則依據(jù)費(fèi)米統(tǒng)計(jì)或玻色統(tǒng)計(jì)給出的所謂溫度，本人愚見，怕也是可疑的。

注釋

（1）羅隱可算深知人間冷暖， 一句“我未成名君未嫁，算來都是不如人”道出古今多少人的椎心之痛。－筆者注

（2）許多動(dòng)物為了找尋溫度合適的外部環(huán)境不得不每年都作長距離的遷徙。人類的策略是發(fā)展出了取暖和乘涼的科學(xué)與技術(shù)。熱力學(xué)和電動(dòng)力學(xué)能很好地解釋趨炎附勢現(xiàn)象，因此也應(yīng)該是社會(huì)學(xué)的理論基礎(chǔ)。－筆者注

（3）語出毛澤東《念奴嬌. 昆侖》，作于1935年。－筆者注

（4）大意是：可否將你比作晴朗的夏日？你卻是更加秀麗、溫婉！此詩流傳的漢譯被稱為再創(chuàng)作，已與翻譯無關(guān)。－筆者注。

（5）為了給中學(xué)生講清楚熱力學(xué)第零定律是重要的定律而不是廢話，我舉了這樣一個(gè)例子：若你同兩個(gè)同學(xué)分別在交往中在財(cái)物方面基本上是有來有往的（財(cái)物往來可以表現(xiàn)為送小禮品、借錢、請客等等不同方式）， 即一段時(shí)間內(nèi)往來的財(cái)物若都換算成錢的話誰也不虧欠誰， 那么我們可以不管具體交往的細(xì)節(jié)而引入一個(gè)新的概念，家境，來描述大家的家庭經(jīng)濟(jì)情況。我們會(huì)說，若你的家境和那兩個(gè)同學(xué)的家境差不多，則那兩個(gè)同學(xué)的家境相比起來也差不多。用家境概念所作的描述比羅列小朋友之間交往的細(xì)節(jié)更經(jīng)濟(jì)、更有表現(xiàn)力、更能抓住問題的實(shí)質(zhì)。這就是熱力學(xué)第零定律這類看似廢話的定律之威力所在。－筆者注。

（6）有少數(shù)物質(zhì)體系在某些溫度范圍內(nèi)是熱縮冷脹的。－筆者注

（7）符號(hào)°C來自瑞典人Anders Celsius 姓的首字母C。Celsius于1742年建議了這套溫度標(biāo)準(zhǔn)?！鉉在漢語中讀作“攝氏溫度”。另有一套在航班上常聽到的溫標(biāo)是華氏（Fahrenheit）溫標(biāo). －筆者注

（8）“乖的”，英文為well-behaved. 相變點(diǎn)或臨界點(diǎn)附近某些物理量對(duì)溫度的依賴關(guān)系就是不乖的。典型的例子有液氦在λ－點(diǎn)的比熱隨溫度的變化。－筆者注。

（9）宇宙的背景輻射為什么可以看作是黑體輻射，我可不懂。－筆者注。

參考文獻(xiàn)

[1] Thomas Mann, Magic Mountain, Knopf , New York 1939.

[2] 曹則賢，物理學(xué)咬文嚼字005：譜學(xué)：看的魔幻藝術(shù)，《物理》36卷11期，886-887(2007）.

[3] Thomas D. McGee, Principles and Methods of Temperature Measurement, John Wiley & Sons (1988).

[4] 汪克林，曹則賢，時(shí)間標(biāo)度與甚早期宇宙疑難問題，《物理》38卷，11期，769－778(2009).

[5] Philip Anderson in L. M. Brown, A. Pais, B. Pippard (Eds.), Twentieth Century Physics，IOP Publishing, 1995）pp.2017.

[6] 曹則賢，物理學(xué)咬文嚼字027: 熵非商－the myth of entropy, 《物理》，38卷9期，675－680（2009）.

注：本文為曹則賢著 《物理學(xué)咬文嚼字》第28篇，原題為《溫度：閱盡冷暖說炎涼》