眾所周知，數(shù)學(xué)分為代數(shù)與幾何，而在解析幾何出現(xiàn)前，二者幾乎是分開(kāi)的，這也是解釋幾何的意義。我們?cè)诟咧袝r(shí)，也知道立體幾何題往往有多種解法，可以用幾何法（通常要作輔助線），也可以建立坐標(biāo)系，用解析幾何法。前者考驗(yàn)空間想象力和幾何天賦，后者則是用大量運(yùn)算代替對(duì)空間想象力的要求。 現(xiàn)在，有一只偽史任不學(xué)無(wú)術(shù)，聲稱(chēng)幾何必須要用計(jì)算，然后問(wèn)我畢達(dá)哥拉斯怎么證明勾股定理的，這也是我寫(xiě)這一專(zhuān)欄的原因。

當(dāng)然，我對(duì)它能否看懂不抱希望，畢竟它還說(shuō)過(guò)不少笑話，比如“不是十進(jìn)制就不能數(shù)數(shù)”，當(dāng)我從多個(gè)方面進(jìn)行反駁后，它表現(xiàn)出了如下智商：

“怎么有的從0到n”，可謂是一點(diǎn)數(shù)學(xué)知識(shí)沒(méi)有，當(dāng)然，它在這里大肆說(shuō)不能自然獲得（當(dāng)然不能自然獲得），之后又聲稱(chēng)我國(guó)十進(jìn)制是“天生的”：

好了，嘲笑完畢，現(xiàn)在開(kāi)始證明： 前言 勾股定理也就是畢達(dá)哥拉斯定理，在歐幾里得的數(shù)學(xué)著作《原本》 第一卷命題47。 眾所周知，勾股／畢達(dá)哥拉斯定理的證明法很多，而《原本》記載的是一種幾何法。 對(duì)勾股／畢達(dá)哥拉斯定理的證明，從幾何角度上來(lái)證明，還是非常有意思的 畢達(dá)哥拉斯定理的定義： 在平面上的一個(gè)直角三角形中，兩個(gè)直角邊邊長(zhǎng)的平方加起來(lái)等于斜邊長(zhǎng)的平方。 下面講 《原本》中對(duì)畢達(dá)哥拉斯定理的證明方式 如同 老爹說(shuō)的一樣： ”要用魔法打敗魔法“ 我們也 要用幾何證明幾何 在證明中我們要用到如下三個(gè)輔助定理（只涉及初中數(shù)學(xué)知識(shí)）： 1.全等三角形判定方法：SAS（邊角邊），即三角形的其中兩條邊對(duì)應(yīng)相等，且兩條邊的夾角也對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等. 在這里插入圖片描述 2.三角形面積是其與之 同底同高的平行四邊形面積的一半。在這里插入圖片描述 3.正方形的基本性質(zhì)： 正方形的四邊長(zhǎng)度相等 正方形的面積等于其二邊長(zhǎng)的乘積（即 一邊長(zhǎng)的平方） 在這里插入圖片描述 設(shè)計(jì)如下圖

在這里插入圖片描述 設(shè)△ABC為一直角三角形， 其中A為直角。 在△ABC各邊上向外做 正方形 ABFG, ACIH,BCDE. 從A點(diǎn)劃一直線至對(duì)邊，使其垂直于對(duì)邊。延長(zhǎng)此線把對(duì)邊上的正方形一分為 二，其面積分別與其余兩個(gè)正方形相等。 所以正方形BCED的面積 = 長(zhǎng)方形BDLK的面積 + 長(zhǎng)方形KCEL的面積 我們只要證明 兩個(gè)小正方形面積之和等于 大正方形的面積 即 BC2 = AB2 + AC2 就行了 證明開(kāi)始 分別連接 CF,AD，形成兩個(gè)三角形 CBF, DBA 由正方形FBAG 和 正方形BCED 可知： FB = AB, BC = BD, 角FBA = 角CBD = 90度 角FBC = 角FBA + 角ABC,角ABD = 角CBD + 角ABC, 所以 角FBC = 角ABD 根據(jù) 三角形 全等 SAS定理 △FBC 全等于 △ABD 再根據(jù)輔助定理 ：三角形面積是其與之 同底同高的平行四邊形面積的一半 △FBC 同底同高的平行四邊形是ABFG △ABD 同底同高的平行四邊形是BKLD 所以 正方形ABFG的面積 = 長(zhǎng)方形BKLD的面積 再分別連接 BI,AE， 形成兩個(gè)三角形 ACE,BCI 由正方形ACIH和正方形BCED 可知： BC = CE,AC = CI,角ACI= 角BCE = 90度 角BCI= 角ACI + 角ACB, 角ACE = 角BCE + 角ACB, 所以 角BCI = 角ACE 根據(jù)三角形 全等 SAS定理 △BCI 全等于 △ACE 再根據(jù)輔助定理 ：三角形面積是其與之 同底同高的平行四邊形面積的一半 △BCI 同底同高的平行四邊形是ACIH △ACE 同底同高的平行四邊形是KCEL 所以 正方形ACIH的面積 = 長(zhǎng)方形KCEL的面積 因?yàn)?正方形BCED的面積 = 長(zhǎng)方形BDLK的面積 + 長(zhǎng)方形KCEL的面積 所以 正方形BCED的面積 = 正方形ABFG的面積 + 正方形ACIH的面積 又因?yàn)?正方形的面積等于其二邊長(zhǎng)的乘積 所以BC2 = AB2 + AC2 即 直角三角形的兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方 ** 證訖 **