原作者：青華道人

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? ? ? ?克拉維烏斯是誰？克里斯托佛·克拉維烏斯（Christophorus Clavius），沒錯！他就是大名鼎鼎的明末來華野和尚立馬豆的老師，徐保祿《幾何原本序》中提到的“丁氏”，被他同時代人稱為“16 世紀的歐幾里得”的，在數(shù)學(xué)和天文學(xué)領(lǐng)域建樹非凡的，影響了歐羅巴名家伽利略、笛卡爾、萊布尼茲等人的，編著15卷《幾何原本》評注改寫本的，在他的專業(yè)指導(dǎo)下對儒略歷進行歷法改革建立了格里高利歷的，功勛卓著的歐羅巴著名的數(shù)學(xué)家和天文學(xué)家。

? ? ? ?徐保祿在《幾何原本序》中形容克拉維烏斯說：其師丁氏，又絕代名家也。

? ? ? ?托名立馬豆寫的《譯幾何原本引》中夸贊說：竇昔游西海，所過名邦，每遇專門名家，輒言后世不可知，若今世以前，則先生之于幾何無兩也。

? ? ? ?希斯說：克拉維烏斯（Clavius）并未給出《原本》的翻譯，而是改寫了證明；在他認為需要之處，通過壓縮或增添，使證明變得明白曉暢。

? ? ? ?《悟真》曰： “饒君聰慧過顏閔，不遇師傳莫強猜。只為丹經(jīng)無口訣，教君何處結(jié)靈胎?！钡さ佬逕?，弟子修到了一定的關(guān)口，都要師傅傳授口訣，否則僅憑自己的小聰明揣度丹經(jīng)，容易盲修瞎練，誤入歧途。不僅修道不成，蹉跎歲月，更有可能走火入魔，戕害生命。從克拉維烏斯的《實用算術(shù)概要》（Epitome Arithmeticae practicae）第四章“整數(shù)乘法（Multiplicatio Integro）”的內(nèi)容判斷，顯然克拉維烏斯沒有得到真?zhèn)?，沒有名師指點口訣，更不可能是李之藻的師祖！

? ? ? ?這是克拉維烏斯在“整數(shù)乘法”對乘法規(guī)則（算法）的解讀，對應(yīng)的是李之藻《同文算指》中相應(yīng)算法解說。看克拉維烏斯對這個算法的描述，白線上面的一段文字啰哩巴嗦，生硬拗口，語義貧乏，簡陋粗鄙，干癟癟的勉強湊活看就先不說了，我們不能要求太高是不是？單看我劃白線的這個解釋就非常魔幻了，真的是“神來之筆”，讓人目瞪口呆，無語凝噎！克拉維烏斯抖了個機靈，在解讀李之藻對算法的描述后又多說了一段。他說：Vel certe si figura propositae inter se addantur,addita prius figura denarum referuata,si qua seruata est,dabit prima figura huius aggregati ?(reiecta secunda figura tanquam superuacanea）secundam figuram summae producendae.

? ? ? ?這句話的中文意思見上圖白色文字。什么意思呢？克拉維烏斯說，前面已經(jīng) 1 乘以 2 得到 2，寫在第一位上（個位），現(xiàn)在可以把 9 和 8 相加，得到 17，然后把 17 的第二位（十位）上的 1 舍棄，留下7，把它寫在 9 和 8 乘積的 第二位（十位）上，這樣，就得到了 72。這個算法是錯的，大錯特錯，看起來數(shù)字好像湊起來了，但是從數(shù)理上講，完全不對！克拉維烏斯根本就不知道這個算法為什么是這樣的。

? ? ? ?我們看第一道例題：9 乘以 8。先把 9 和 8 都湊成 10，把補數(shù) 1 和 2 分別平行列在右邊。然后用 1乘以 2，得到 2，寫在下方。再用 9 減去 2 或者 8 減去 1 都能得到數(shù)字 7，列在下方十位上。因此，9 乘以 8 的結(jié)果就是 72。

? ? ? ?這個算法本質(zhì)上是用九九乘法表，通過使用乘法對加法的分配率來簡化乘法的一個方法，它能夠把復(fù)雜的乘法轉(zhuǎn)化為簡單的乘法和加減法，方便計算。這種利用乘法對加法的分配率進行大數(shù)或復(fù)雜的數(shù)進行乘法計算的方法最晚在2300年前（西元前305年）的中國早就有了。迄今為止國內(nèi)發(fā)現(xiàn)的西元前305年戰(zhàn)國時代的算具——大九九算表，就是最好的文物實物證明。該算表比較早先發(fā)現(xiàn)的“里耶秦簡九九表”和“張家山漢簡九九表”文物還要早100年。

? ? ? ?另外，這種簡化計算的方法，中國自古以來一直在總結(jié)和使用，并不是一時一人的發(fā)現(xiàn)發(fā)明創(chuàng)造！

? ? ? ?唐代中期以后，普遍推行“兩稅法”的賦稅制度，經(jīng)濟情況得到一定程度的復(fù)興，農(nóng)業(yè)、手工業(yè)和商業(yè)有了較大的發(fā)展。與此相應(yīng)，人們在日常生活中需要進行計算的機會大量增加，從而產(chǎn)生改進和簡化籌算算法的迫切要求，促進了實用算術(shù)的發(fā)展，并且取得了顯著的成就。例如，以《夏侯陽算經(jīng)》名義流傳至今的《韓延算術(shù)》，是一部可供地方官吏和平民百姓學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識和計算技術(shù)的實用算術(shù)書。全書共三卷八十三題，書中收集和征引各家算法及當時法令，保存了寶貴的數(shù)學(xué)史料。其中記載有將籌算多位數(shù)乘除轉(zhuǎn)變?yōu)閱挝粩?shù)乘除的算法，把要擺放上中下三層的籌算簡化為在一個橫列里演算。如乘數(shù)為35，就可以先乘5，然后乘7。除數(shù)為12，可以先折半，然后再除以6。當乘數(shù)首位是1時，又可以“以加代乘”。如乘數(shù)是14，可用“身外添四”法，即被乘數(shù)不動(這相當于該數(shù)乘以10)，然后再退一位加上該數(shù)的4倍;乘數(shù)是102，可用“隔位加二”法，除數(shù)是12，可用“身外減二”法，等等，都在被乘數(shù)或被除數(shù)籌式本身上進行演算。對于更多位數(shù)的乘除，可用類似的方法去處理。如果乘數(shù)或除數(shù)的首位數(shù)不是1，還能采用各種方法將它化為1，然后再來計算。這種算法叫做“求一”或“得一”算法，當時曾受到不少數(shù)學(xué)家的關(guān)注。據(jù)史籍記載，晚唐天文學(xué)家邊岡“用算巧，能馳騁反復(fù)于乘除間。由是簡捷、超徑、等接之術(shù)興，而經(jīng)制、遠大、衰序之法廢矣”。這也從一個側(cè)面反映了唐代學(xué)者在簡化數(shù)字計算方面的成果及其影響。中唐以后乃至宋元時期，改革和簡化籌算算法的工作一直在繼續(xù)著，并且不斷有所進展，其中許多成果還被后來的珠算術(shù)所吸收，直到珠算完全代替籌算，這一工作方告結(jié)束。涉及籌算改革的專門書籍，除《韓延算術(shù)》外，還有陳從運《得一算經(jīng)》七卷，“其術(shù)以因折而成，取損益之道，且變而通之，皆合于數(shù)”，江本《一位算法》2卷，龍受益《算法》2卷、《求一算術(shù)化零歌》1卷、《新易一法算范要訣》1卷等，但可惜的是這些著作都已失傳了。

? ? ? ?下面我演示一下這個算法的原理。

截取這個算表的一小部分：1 到 10。

計算步驟如下：

? ? ? ?上圖中我用紅筆框出的算式就是克拉維烏斯乘法法則的由來。藍筆框處的算式就是利用算表進行演算的過程。前面講過，我們已經(jīng)把 9 用 10-1 替換，把 8 用 10-2 替換，因此 9 乘以 8 就是 10-1 乘以 10-2。在算表中，先分別找到第一行和右手第一列的 10，引一根線出來讓它們相交，交點所代表的數(shù)就是 10 乘以 10 等于 100。再分別找出第一行的 10 和第一列的 -2，同樣讓它們相交，交點的乘積就是 -20，剩余的步驟同樣如此操作，就可以得到 9 和 8 的積了。關(guān)鍵是紅框里面 9-2 或 8-1 是十位數(shù)字，而 2 是個位數(shù)字。

? ? ? ?和克拉維烏斯不同的是，李之藻在《同文算指》中的解說，行文流暢，語義連貫，言簡意賅，意思準確，中規(guī)中矩，沒有任何問題。

? ? ? ?李之藻在《同文算指》中只講了算法，沒有剖析算法背后的原理，于是克拉維烏斯也沒有講原理，但是，他自作聰明，畫蛇添足地又多說了一段，我猜他寫下這段的時候心里應(yīng)該是很得意的，但恰恰唯有這段話不符合數(shù)理，暴露了他根本不理解這個算法的真相！這么簡單的內(nèi)容，大師克拉維烏斯會不懂？所以，真相昭然若揭！那就是：初刊于1613年的李之藻的《同文算指》是首刊于1583年的克拉維烏斯《實用算術(shù)概論》的底本。換句話說，《同文算指》是李之藻為立馬豆們編撰的數(shù)學(xué)教材，立馬豆們搬運會歐羅巴，把對《同文算指》的翻譯和解讀搞出了一本《實用算術(shù)概論》，假托給又一個神人“克拉維烏斯”！