上一次，我們講到了虛數(shù)如何幫助我們解決方程式x2+1=0看似無解的問題，以及他們被人類忽略了數(shù)千年才被接納的事實。畢竟，他們真的很抽象。

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但是五個世紀(jì)前，歐洲發(fā)生了一件事，以致于數(shù)學(xué)家們不能再忽略虛數(shù)了，故事的主角是一位意大利數(shù)學(xué)家，他的名字是希皮奧內(nèi)·德爾·費羅(Scipione del Ferro)，他要解決的一個你我都很熟悉問題。

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在此之前，你應(yīng)該知道二次方程的求根公式，任何二次方程都可以用這個公式找到根(解)，你只需要把已知的系數(shù)分別代入a、b、c中，化簡就能得到答案。

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費羅希望能夠找到三次方程式（ax3+bx2+cx+d=0）的求根公式，由于三次方程的一般式有些復(fù)雜，所以費羅只考慮了除二次項外且常數(shù)項小于0的情形，由于當(dāng)時的數(shù)學(xué)家還不習(xí)慣負(fù)數(shù)，所以費羅最后把它寫成x3+cx=d，其中c、d都是正數(shù)。現(xiàn)在我們的目標(biāo)是讓x在等號左側(cè)，而所有的常數(shù)在等號的右側(cè)。在一次方程式來說這很簡單，只要四則運算就可以辦到。二次方程式則稍微復(fù)雜些，這需要利用配方法配出完全平方才能得到其求根公式。費羅想要在三次方程式找出類似的方法，通過技巧，他找到了求根公式。就像二次方程的求根公式，他的公式一樣可以通過代入系數(shù)求出根。

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在16世紀(jì)的西方數(shù)學(xué)界，比拼之風(fēng)盛行，雙方相互給對方出題，誰先回答完對方所提出的問題，誰便勝利。所以費羅為了在以后的比拼中取勝，沒有公開他的公式。

直到后來，有一位數(shù)學(xué)家卡丹(Cardan)從另一位數(shù)學(xué)家塔格塔利亞(Niccolo Fontana Tartaglia)得知了求根公式，他發(fā)現(xiàn)這個公式的原創(chuàng)者其實是費羅。最后他在自己的著作《Ars Magna》中公開了此公式（于是后人也稱該公式為卡丹公式）。

卡丹改良了公式，新的求根公式包含了有x2項的情形，然而問題并沒有就此解決：在原本的方程式x3=cx+d，當(dāng)c、d滿足特定的情況時，公式失效了。

注：即(d/2)^2+(c/3)^3<0。推導(dǎo)詳見練習(xí)題的最后一題

我們來看個實例：x3=15x+4。帶入求根公式后，我們會發(fā)現(xiàn)根號內(nèi)出現(xiàn)了負(fù)數(shù)！這意味著要求的數(shù)相與自己相乘后應(yīng)該等于根號內(nèi)的數(shù)才對，比如根號121等于11，-11，因為它們與自己相乘后等于121。

但什么數(shù)字的平方是-121?顯然正負(fù)都不行，我們沒轍了。

卡丹諾也沒轍了，他也不知道去哪找這樣的數(shù)字，

其實這種根號下出現(xiàn)負(fù)數(shù)的情況數(shù)學(xué)家們早就見過，在此之前數(shù)學(xué)家們會說它無解，雖然很多時候這不影響結(jié)果，然而，三次函數(shù)的圖形決定了三次方程式至少有一個解，因為不論系數(shù)為何，三次函數(shù)至少會穿過x軸一次。

現(xiàn)在擺在我們面前的是一道有解的題目，而且我們也知道他的公式解，但當(dāng)我們帶入求解公式時，我們馬上會遇到一道難以逾越的鴻溝——根號下的負(fù)數(shù)。

有時候科學(xué)、數(shù)學(xué)定理的失效，意味著它本身并不完美。有趣的是，在這些失效的地方下可能埋藏著開啟新世界的鑰匙?？ǖぶZ如何絕境逢生，把失效的公式復(fù)活，我們下集待續(xù)。

練習(xí)題（節(jié)選）

1.二次方程的求根公式究竟強大在哪里（與作圖法相比）？

優(yōu)點一：無需畫圖。只需把系數(shù)代入公式，化簡即可，可以在電腦上實現(xiàn)自動化求解。

優(yōu)點二：適用范圍廣。當(dāng)二次方程的根為無理數(shù)或者是復(fù)數(shù)時，作圖法不再有效，而求根公式仍能求解。

2.請推導(dǎo)x3+cx=d的求根公式

分析與解答

要推導(dǎo)出x3+cx=d的求根公式，嘗試將其配成(x+e)3=f是不可行的！

為了尋找方法，讓我們首先研究兩個數(shù)和的立方的展開式(u+v)3

(u+v)3=u3+v3+3uv(u+v)

移項，得：

(u+v)3-3uv(u+v)=(u3+v3)

可以看到，這與我們要求的式子是同構(gòu)的。只要令x=u+v，3uv=-c，u3+v3=d，上式就轉(zhuǎn)為x3+cx=d

因此，我們的目標(biāo)簡化為根據(jù)以下兩個方程組：

3uv=-c，(u3+v3)=d

求出u和v，代入x=u+v便能得到x的求根公式。

v用u、c表示，然后將其代入u3+v3=d，得

這是一個“二次”方程，代入二次方程的求根公式，解出

（舍去負(fù)解）

代入，解出：

注：我們可以看到，u3與v3其實是這個“二次”方程的兩個解！這告訴我們?nèi)绻鹵取負(fù)解，那么求出的v必然是這個方程的正解。就像磁鐵的南北極一樣，u，v的地位是等價的

最后，把解出來的u3與v3分別開立方根，代入x=u+v便得到大名鼎鼎的卡丹公式！

3.當(dāng)c、d滿足什么條件時，結(jié)果會出現(xiàn)根號下有負(fù)數(shù)的情形？此時，方程有多少個實數(shù)解？

答：從剛才的推導(dǎo)結(jié)果容易看出條件是(d/2)^2+(c/3)^3<0，實際上這個方程有三個實數(shù)解，而且這三個實根之和為零。

一般的，我們把(d/2)^2+(c/3)^3稱作三次方程的判別式，正如二次方程的判別式一樣，我們可以根據(jù)它來判別三次方程有多少（實）根。

推薦閱讀：關(guān)于一元三次方程的求解以及相關(guān)的數(shù)學(xué)歷史

譯于2022年10月

翻譯不易，理解更不易，感謝支持！