在上一篇文章量力學的量子力學（家庭版）：貝爾不等式中，我們用通俗的語言為大家介紹過了貝爾不等式的某一個變形。在此我先幫大家回憶回憶。為了驗證張三和李四兩個神棍是否擁有神秘的量子科技，我們用CHSH游戲考驗張三和李四。我們分別給各張三和李四一個或是0或是1的數(shù)字，然后讓他們分別各回答一個或是0或是1的數(shù)字。如果我們給的其中一個數(shù)字是0，那么張三和李四需要回答相同的數(shù)字以獲勝；如果我們給的兩個數(shù)字都是1，那么張三和李四需要回答不同的數(shù)字以獲勝。如果張三和李四兩個神棍只掌握經(jīng)典科技，那么他們在這個游戲中獲勝的概率是75%；如果他們確實掌握神秘的量子科技，那么他們在這個游戲中獲勝的概率是85%。我們可以通過他們的獲勝概率是不是超過0.75接近0.85來確定他們是不是掌握神秘的量子科技。

今天我們就來為大家介紹更為豐富多樣的類似于CHSH游戲的其他游戲，我們稱之為非局域游戲。我們考慮張三、李四、王二麻子等等許多神棍宣稱自己有神秘的量子科技，我們希望和這些神棍們進行非局域游戲，來看看他們到底是只掌握經(jīng)典科技的假神棍還是掌握量子科技的真神棍。我們還是先把張三、李四、王二麻子等等這些神棍分開關押；然后，我們給這些神棍每人一個可以是0、1、2等等的數(shù)字，并要求這些神棍立刻回答一個可以是0、1、2等等的數(shù)字；最后，我們還是依據(jù)一些獲勝條件判定這些神棍們是否獲勝——這些獲勝條件需要設置的非常巧妙，要求如果我們只改變給其中一個神棍的數(shù)字，那么所有神棍需要回答的數(shù)字都需要改變，這樣神棍們就沒有辦法通過提前商定好策略來100%地獲得勝利。這種情況下，只掌握經(jīng)典科技的神棍們獲勝概率比掌握量子科技的神棍們獲勝概率低得多，我們就可以通過神棍們的獲勝概率高不高推測他們是否擁有量子科技。

下面我們給出幾個具體的例子。第一個例子當然就是我們已經(jīng)熟悉的CHSH游戲啦！這里我們把CHSH游戲表達為2×2魔方游戲。具體而言，我們會要求張三在魔方中的第一列或者第二列填入或為0或為1的數(shù)字，要求李四在魔方中的第一行或者第二行填入或為0或為1的數(shù)字，并且我們有額外要求——第一列兩個數(shù)相同，第二列兩個數(shù)不同；第一行兩個數(shù)相同，第二行兩個數(shù)相同。張三和李四的獲勝條件是，他們填入的行和填入的列交叉處的數(shù)字相同——比如張三填了第一列，李四填了第二行，那么只有他們填的第一列第二行的數(shù)字相同時，他們才能贏。

聰明的小朋友可能已經(jīng)看出問題來了：我們不可能找到一個魔方的填法，使得對于每行和每列的四個條件同時滿足！所以，如果張三和李四沒有神秘的量子科技，那他們不可能提前商量好一個魔方的填法，同時滿足所有四個條件，然后被我們問到了就按照這個填法填！他們只能給出一個只填完三個數(shù)的魔方，剩下一個他們也不知道怎么填的數(shù)，就填一個不同的數(shù)以滿足他們各自的列或行的條件，并且祈禱我們問的行和列的交叉點不是那個不同的數(shù)——最終他們的獲勝概率只有75%！相反，如果他們有量子科技，就可以利用上回書（插入鏈接）提到的一個最大糾纏態(tài)，獲勝概率有85%！

另一個好例子就是3×3魔方游戲。在3×3魔方游戲里，我們同樣要面對張三和李四兩個神棍。我們會要求張三在魔方中的第一列，第二列或者第三列填入或為0或為1的數(shù)字，要求李四在魔方中的第一行，第二行或者第三行填入或為0或為1的數(shù)字。我們額外要求每一列有奇數(shù)個1，每一行有偶數(shù)個1。張三和李四的獲勝條件是，他們填入的行和填入的列交叉處的數(shù)字相同。

由我們對于每一列的要求可以推出，魔方中有奇數(shù)個1；但同時，由我們對每一行的要求可以推出，魔方中有偶數(shù)個1——矛盾！所以張三和李四找不出來一種填法，可以滿足我們對于列和行的所有要求。如果張三和李四只掌握經(jīng)典科技，那張三和李四只能商量好一個只填了八個數(shù)的魔方，剩下那個不好填的數(shù)，他們就按照他們各自需要滿足的列和行的條件填不同的數(shù)，并且希望我們問的列和行交叉的數(shù)千萬不要是那個不同的數(shù)。最終他們獲勝的概率只有89%。然而，如果張三和李四掌握了神秘的量子科技，他們可以利用兩個最大糾纏態(tài)保證他們獲勝的概率為100%——多么有趣，量子科技可以讓張三和李四每次都填對一個不可能填對的魔方~

最后，我們再來介紹另外一個三方的3×3魔方游戲。這個3×3魔方游戲包含張三、李四和王二麻子三個神棍。在這個三方的3×3里，我們對張三和李四的要求和之前的那個雙方的3×3游戲完全一樣——也就是說，我們要求張三（李四）往魔方里填某一列（某一行），并且要求魔方中的每一列（每一行）有奇數(shù)個（偶數(shù)個）1；同時，我們要求王二麻子給出張三填入的那列和李四填入的那行交叉的那個位置的數(shù)。張三、李四和王二麻子獲勝的條件是，張三、李四和王二麻子能夠一致給出一個相同的數(shù)，填在張三填的列和李四填的行的交叉位置。很不幸，在這個3×3游戲里，神秘的量子科技并沒有什么用——無論三個神棍用的是經(jīng)典科技還是量子科技，他們的獲勝概率都是89%（目前還沒有解析方法證明這件事，但是據(jù)我所知數(shù)值模擬可以給出這個結果）。有的小伙伴可能很疑惑，為什么在這里神秘的量子科技里最特殊的最大糾纏態(tài)怎么沒用了呢？粗略來說，這是因為最大糾纏態(tài)是一個只在兩方之間才能有的非常特殊的量子態(tài)，我們沒有辦法也在三方之間建立一個最大糾纏態(tài)，所以在這種情況下量子科技沒辦法超越經(jīng)典科技。

最后的最后，很多小伙伴們可能非常疑惑，這些非局域游戲，不就填個魔方嗎，有什么鳥用，值得研究嗎？事實上，這些魔方游戲恰恰就是出現(xiàn)在現(xiàn)階段最可能率先大規(guī)模商業(yè)化的量子科技中的~它大量出現(xiàn)在量子密鑰分發(fā)協(xié)議中！提前挖個坑，我們下一期就來仔細說道說道，這個最可能落地的量子科技——量子密鑰分發(fā)！

注釋：

非局域游戲 nonlocal game

CHSH游戲 Clauser-Horne-Shimony-Holt game

魔方游戲 magic square game

GHZ游戲 Greenberger–Horne–Zeilinger game

參考文獻：

Adamson, Sean A., and Petros Wallden. "Quantum magic rectangles: Characterization and application to certified randomness expansion."?Physical Review Research?2.4 (2020): 043317.