復(fù)習筆記Day111：概率論知識總結(jié)(二)

2023-03-02 14:42 作者:間宮_卓司 0人讀過 | 我要投稿

第四章? ?數(shù)學期望

§4.1? ?期望的定義和性質(zhì)

定義4.1.1?如果 $%5Cxi$ 是簡單隨機變量，那么稱（泛函？）

$%5Cmathbb%7BE%7D%20%5Cxi%20%3A%3D%5Csum_%7Bx%5Cin%20R%5Cleft(%20%5Cxi%20%5Cright)%7D%5E%7B%7D%7Bx%5Cmathbb%7BP%7D%20%5Cleft(%20%5Cxi%20%3Dx%20%5Cright)%7D$

為 $%5Cxi$ 的數(shù)學期望

引理4.1.1?如果 $x_i%5Cin%20R$ ， $A_i$ 上 $%5Cxi%20%3Dx_i$ ， $i%3D1%2C2%2C%5Ccdots%20%2Cn$ ， $A_i$ 是樣本空間的一個有限劃分，那么

$%5Cmathbb%7BE%7D%20%5Cxi%20%3D%5Cmathbb%7BE%7D%20%5Cleft(%20%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5En%7Bx_i1_%7BA_i%7D%7D%20%5Cright)%20%3D%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5En%7Bx_i%5Cmathbb%7BP%7D%20%5Cleft(%20A_i%20%5Cright)%7D$

引理4.1.2?設(shè) $%5Cxi%20%2C%5Ceta%20%5Cin%20%5Cmathbf%7BS%7D$ ，其中 $%5Cmathbf%7BS%7D$ 是簡單隨機變量全體，那么

(1)如果隨機變量非負，那么其期望也非負;(2) $%5Cmathbb%7BE%7D%20%5Cleft(%20a%5Cxi%20%5Cright)%20%3Da%5Cmathbb%7BE%7D%20%5Cxi%20$ ;(3)若 $A%5Cin%20%5Cmathscr%7BF%7D%20$ ， $%5Cmathbb%7BE%7D%201_A%3D%5Cmathbb%7BP%7D%20%5Cleft(%20A%20%5Cright)%20$ ;(4) $%5Cmathbb%7BE%7D%20%5Cleft(%20%5Cxi%20%2B%5Ceta%20%5Cright)%20%3D%5Cmathbb%7BE%7D%20%5Cxi%20%2B%5Cmathbb%7BE%7D%20%5Ceta%20$ ;(5)如果 $%5Cmathbb%7BP%7D%20%5Cleft(%20%5Cxi%20%5Cne%200%20%5Cright)%20%3D0$ ，則 $%5Cmathbb%7BE%7D%20%5Cxi%20%3D0$

推論4.1.1?任取事件 $%5Cleft%5C%7B%20A_k%3A1%5Cle%20k%5Cle%20n%20%5Cright%5C%7D%20$ 與數(shù) $%5Cleft%5C%7B%20x_k%3A1%5Cle%20k%5Cle%20n%20%5Cright%5C%7D%20$ ，那么

$%5Cmathbb%7BE%7D%20%5Cleft(%20%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5En%7Bx_i1_%7BA_i%7D%7D%20%5Cright)%20%3D%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5En%7Bx_i%5Cmathbb%7BP%7D%20%5Cleft(%20A_i%20%5Cright)%7D$

引理4.1.3?如果 $%5Cxi%20_1%2C%5Cxi%20_2$ 獨立，那么 $%5Cmathbb%7BE%7D%20%5Cleft(%20%5Cxi%20_1%5Cxi%20_2%20%5Cright)%20%3D%5Cmathbb%7BE%7D%20%5Cxi%20_1%5Cmathbb%7BE%7D%20%5Cxi%20_2$

接下來的內(nèi)容就和實變函數(shù)很像了，在實變函數(shù)中，為了研究可積函數(shù)，是先從簡單可測函數(shù)開始，逼近正的可測函數(shù)，最后再研究一般的可測函數(shù)的可積性

（注意上面的期望是對于簡單隨機變量而定義的）

定義4.1.2?設(shè) $%5Cxi$ 是非負隨機變量，定義 $%5Cxi$ 的期望為由它控制的非負簡單隨機變量變量的期望的上確界

$%5Cmathbb%7BE%7D%20%5Cxi%20%3D%5Cmathrm%7Bsup%7D%5Cleft%5C%7B%20%5Cmathbb%7BE%7D%20%5Ceta%20%3A0%5Cle%20%5Ceta%20%5Cle%20%5Cxi%20%2C%5Ceta%20%5Cin%20%5Cmathbf%7BS%7D%20%5Cright%5C%7D%20$

（ $%5Cmathbf%7BS%7D$ 和上面的定義是一樣的）如果 $%5Cmathbb%7BE%7D%20%5Cxi%20%3C%5Cinfty%20$ ，就稱 $%5Cxi$ 可積。用 $%5Cmathbb%7BE%7D%20%5Cleft(%20%5Cxi%20%3BA%20%5Cright)%20$ 表示 $%5Cmathbb%7BE%7D%20%5Cleft(%20%5Cxi%20%5Ccdot%201_A%20%5Cright)%20$ ，即把求期望這個操作限制在子集 $A$ 上

定理4.1.1(Levy單調(diào)收斂定理)

（不會打法文）

(1)如果 $0%5Cle%20%5Ceta%20%5Cle%20%5Cxi%20$ ，那么 $%5Cmathbb%7BE%7D%20%5Ceta%20%5Cle%20%5Cmathbb%7BE%7D%20%5Cxi%20$ ;(2) $%5Cleft%5C%7B%20%5Cxi%20_n%20%5Cright%5C%7D%20$ 是遞增收斂于 $%5Cxi$ 的非負隨機變量列，那么 $%5Cunderset%7Bn%5Crightarrow%20%5Cinfty%7D%7B%5Clim%7D%5Cmathbb%7BE%7D%20%5Cxi%20_n%3D%5Cmathbb%7BE%7D%20%5Cxi%20$ ;(3)非負隨機變量總可以表示成遞增的非負簡單隨機變量序列的極限

(2)的證明思路：對于任意（取定的） $0%3Ca%3C1$ ，成立 $%5Cmathbb%7BE%7D%20%5Cxi%20_n%5Cge%20%5Cmathbb%7BE%7D%20%5Cleft(%20%5Cxi%20_n%3BA_n%20%5Cright)%20%5Cge%20a%5Cmathbb%7BE%7D%20%5Cleft(%20%5Ceta%20%3BA_n%20%5Cright)%20$ ，其中 $A_n%3D%5Cleft%5C%7B%20%5Cxi%20_n%5Cge%20a%5Ceta%20%5Cright%5C%7D%20$ ，那么 $A_n%5Cuparrow%20%5COmega%20$ ，進而 $%5Cunderset%7Bn%5Crightarrow%20%5Cinfty%7D%7B%5Clim%7D%5Cmathbb%7BE%7D%20%5Cxi%20_n%5Cge%20a%5Cmathbb%7BE%7D%20%5Ceta%20$ ，根據(jù) $a$ 的任意性有 $%5Cunderset%7Bn%5Crightarrow%20%5Cinfty%7D%7B%5Clim%7D%5Cmathbb%7BE%7D%20%5Cxi%20_n%5Cge%20%5Cmathbb%7BE%7D%20%5Ceta%20$

定義了非負隨機變量的可積和期望后，就可以定義一般的隨機變量的可積和期望，具體方法就是記 $%5Cxi%20%3D%5Cxi%20%5Ccdot%201_%7B%5Cleft%5C%7B%20%5Cxi%20%3E0%20%5Cright%5C%7D%7D-%5Cleft(%20-%5Cxi%20%5Ccdot%201_%7B%5Cleft%5C%7B%20%5Cxi%20%3C0%20%5Cright%5C%7D%7D%20%5Cright)%20%3A%3D%5Cxi%20%5E%2B-%5Cxi%20%5E-$ 。其中第一項和第二項叫正項和負項，如果它們都可積的話，就稱 $%5Cxi$ 可積，此時定義 $%5Cmathbb%7BE%7D%20%5Cxi%20%3D%5Cmathbb%7BE%7D%20%5Cxi%20%5E%2B-%5Cmathbb%7BE%7D%20%5Cxi%20%5E-$

推論4.1.2?把引理4.1.2推廣到了一般的隨機變量

定理4.1.2?設(shè) $%5Cleft%5C%7B%20%5Cxi%20_n%20%5Cright%5C%7D%20$ 是隨機變量序列

(1)( $%5Ctext%7BFatou%7D$ 引理) 設(shè) $%5Cleft%5C%7B%20%5Cxi%20_n%20%5Cright%5C%7D%20$ 是非負的，那么 $%5Cmathbb%7BE%7D%20%5Cleft%5B%20%5Cunderset%7Bn%5Crightarrow%20%5Cinfty%7D%7B%5Cunderline%7B%5Clim%20%7D%7D%5Cxi%20_n%20%5Cright%5D%20%5Cle%20%5Cunderset%7Bn%5Crightarrow%20%5Cinfty%7D%7B%5Cunderline%7B%5Clim%20%7D%7D%5Cmathbb%7BE%7D%20%5Cleft%5B%20%5Cxi%20_n%20%5Cright%5D%20$

(2)( $%5Ctext%7BLebesgue%7D$ 控制收斂定理)如果 $%5Cunderset%7Bn%5Crightarrow%20%5Cinfty%7D%7B%5Clim%7D%5Cxi%20_n%3D%5Cxi%20$ ，且存在可積的非負隨機變量 $%5Ceta$ ，使得 $%5Cleft%7C%20%5Cxi%20_n%20%5Cright%7C%5Cle%20%5Ceta%20$ ，那么 $%5Cmathbb%7BE%7D%20%5Cxi%20%3D%5Cunderset%7Bn%5Crightarrow%20%5Cinfty%7D%7B%5Clim%7D%5Cmathbb%7BE%7D%20%5Cxi%20_n$

(1)的證明思路：記 $%5Ceta%20_n%3A%3D%5Cunderset%7Bk%5Cge%20n%7D%7B%5Cmathrm%7Binf%7D%7D%5Cxi%20_k$ ，然后用Levy單調(diào)收斂定理;(2)的證明思路：對 $%5Ceta%20-%5Cxi%20_n%2C%5Ceta%20%2B%5Cxi%20_n$ 用 $%5Ctext%7BFatou%7D$ 引理

定理4.1.3?(1)如果 $%5Cxi%3D0$ 幾乎處處成立，則 $%5Cxi$ 可積且 $%5Cmathbb%7BE%7D%20%5Cxi%20%3D0$ ;(2)如果 $%5Cmathbb%7BP%7D%20%5Cleft(%20A%20%5Cright)%20%3D0$ ，則 $%5Cmathbb%7BE%7D%20%5Cleft(%20%5Cxi%20%3BA%20%5Cright)%20%3D0$ ;(3)如果 $%5Cxi$ 可積，那么 $%5Cxi%3D0$ 幾乎處處成立等價于對任意的事件 $A$ ，成立 $%5Cmathbb%7BE%7D%20%5Cleft(%20%5Cxi%20%3BA%20%5Cright)%20%3D0$ ;(4)如果 $%5Cxi$ 是非負的，則 $%5Cmathbb%7BE%7D%20%5Cleft(%20%5Cxi%20%5Cright)%20%3D0$ 可以推出 $%5Cxi$ 幾乎處處為0

§4.2? ?期望的計算公式

定理4.2.1 一個離散隨機變量 $%5Cxi$ 可積當且僅當 $%5Csum_%7Bx%5Cin%20R%5Cleft(%20%5Cxi%20%5Cright)%7D%5E%7B%7D%7B%7Cx%7C%5Cmathbb%7BP%7D%20%5Cleft(%20%5Cxi%20%3Dx%20%5Cright)%7D%3C%5Cinfty%20$ ,此時

$%5Cmathbb%7BE%7D%20%5Cxi%20%3D%5Csum_%7Bx%5Cin%20R%5Cleft(%20%5Cxi%20%5Cright)%7D%5E%7B%7D%7Bx%5Cmathbb%7BP%7D%20%5Cleft(%20%5Cxi%20%3Dx%20%5Cright)%7D$

推論4.2.1?設(shè) $%5Cxi$ 是一個離散隨機變量， $%5Cphi%20$ 是定義在 $R$ 上的函數(shù)，則 $%5Cphi%20%5Cleft(%20%5Cxi%20%5Cright)%20$ 可積當且僅當 $%5Csum_%7Bx%5Cin%20R%5Cleft(%20%5Cxi%20%5Cright)%7D%5E%7B%7D%7B%5Cphi%20%5Cleft(%20x%20%5Cright)%20%5Cmathbb%7BP%7D%20%5Cleft(%20%5Cxi%20%3Dx%20%5Cright)%7D$ 絕對收斂，此時

$%5Cmathbb%7BE%7D%20%5Cphi%20%5Cleft(%20%5Cxi%20%5Cright)%20%3D%5Csum_%7Bx%5Cin%20R%5Cleft(%20%5Cxi%20%5Cright)%7D%5E%7B%7D%7B%5Cphi%20%5Cleft(%20x%20%5Cright)%20%5Cmathbb%7BP%7D%20%5Cleft(%20%5Cxi%20%3Dx%20%5Cright)%7D$