SBM模型案例解讀
SBM模型
數(shù)據(jù)包絡(luò)分析DEA時，其研究投入產(chǎn)出效率情況，并且其假定投入和產(chǎn)出之間存在單調(diào)線性關(guān)系，其為一種線性規(guī)劃技術(shù)來確定DMU相對效率的方法。但有時候會多出下‘非期望產(chǎn)出’，就是不希望有它產(chǎn)出，比如資金投入、教育投入換來了GDP上升和人口素質(zhì)提升，但同時可能帶來環(huán)境污染這個非期望產(chǎn)出項(xiàng)。在此種情況時，DEA模型則不滿足單調(diào)線性關(guān)系要求。此時則需要使用非期望SBM模型，該模型由Tone(2001)提出。
非期望SBM模型（undesirable slacks-based measurement，Undesirable SBM）是DEA 衍生模型中的一種。相對傳統(tǒng) DEA 模型，非期望產(chǎn)出 SBM 模型不僅避免徑向和角度度量引起的偏差，而且考慮生產(chǎn)過程中非期望產(chǎn)出因素的影響，更能反映效率評價的本質(zhì)。
除此之外，效率值計算時會出現(xiàn)為1時無法對比，此時可使用超效率SBM模型進(jìn)行分析，便于對決策單元DMU進(jìn)行效率值對比排序等。
SBM模型案例
1 背景
當(dāng)前有一項(xiàng)效率數(shù)據(jù)研究，DMU為中國31省市并且從2012~2021共計10年的數(shù)據(jù)，數(shù)據(jù)包括2個投入項(xiàng)，1個產(chǎn)出項(xiàng)和1個非期望產(chǎn)出項(xiàng)，如下：
GDP產(chǎn)出通常受到投資和消費(fèi)的影響，因而將房地產(chǎn)投資金融與居民人均消費(fèi)支出作為投入項(xiàng)，將人均GDP作為產(chǎn)出項(xiàng)，并且還有非期望產(chǎn)出項(xiàng)即二氧化硫排放量。研究數(shù)據(jù)從國家統(tǒng)計局官網(wǎng)下載并且整理得到，共計10年數(shù)據(jù)，因而在下述分析時可分別篩選出對應(yīng)年份進(jìn)行分析，本案例僅篩選出2021年數(shù)據(jù)進(jìn)行分析。部分?jǐn)?shù)據(jù)展示如下：
2 理論
SBM模型規(guī)劃形式如下：
上式為BCC模型結(jié)構(gòu)式，如果為CCR結(jié)構(gòu)式，則沒有
上式中，
嚴(yán)格單調(diào)遞減,其取值范圍在0-1之間。
當(dāng)ρ=1，均為0時，決策單元是有效率的；當(dāng)ρ<1時,表明決策單元存在效率損失,有必要在投入產(chǎn)出上做出相應(yīng)改進(jìn)。
SBM模型可以設(shè)定投入導(dǎo)向、產(chǎn)出導(dǎo)向和非導(dǎo)向三種，投入導(dǎo)向是指在保證產(chǎn)出一定時,尋找最少的投入；產(chǎn)出導(dǎo)向是指在投入量一定時，尋找最大的產(chǎn)出；非導(dǎo)向是指同時從投入和產(chǎn)出角度進(jìn)行測算，因而也被稱作投入產(chǎn)出雙向，SPSSAU默認(rèn)提供為非導(dǎo)向類型，即同時從投入和產(chǎn)出角度進(jìn)行測算。
除此之外，考慮非期望產(chǎn)出的SBM模型可能會出現(xiàn)多個決策同時有效情況即效率值均為1，從而不便于對這些決策單元進(jìn)行區(qū)分和排序。若測算結(jié)果出現(xiàn)多個決策單元同時有效時，則需要使用非期望產(chǎn)出的Super-SBM模型予以解決，即在SPSSAU操作界面中打勾選中‘超效率’復(fù)選框。關(guān)于超效率SBM模型(Super-SBM)，其BCC規(guī)劃形式如下：
上式為BCC模型結(jié)構(gòu)式，如果為CCR結(jié)構(gòu)式，則沒有這一限制條件。
上述理論來源文獻(xiàn)：李根, 劉家國, 李天琦. 考慮非期望產(chǎn)出的制造業(yè)能源生態(tài)效率地區(qū)差異研究——基于SBM和Tobit模型的兩階段分析[J]. 中國管理科學(xué), 2019.
3 操作
本例子操作如下：
選擇使用BCC模型，并且放入2個投入項(xiàng)、1個產(chǎn)出項(xiàng)，1個非期望產(chǎn)出項(xiàng)。與此同時，將省放入DMU框中。暫不進(jìn)行‘超效率SBM’分析，如果需要，此時將‘超效率SBM’進(jìn)行打勾即可。
與此同時，本案例數(shù)據(jù)為2012 ~ 2021共計10年數(shù)據(jù)，本案例僅針對2021年數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，因而先進(jìn)行篩選后再分析，篩選如下圖所示。
4 SPSSAU輸出結(jié)果
SPSSAU共輸出SBM模型效率值結(jié)果和效率值對比圖形。如下說明：
5文字分析
從上表格可知：北京、內(nèi)蒙古、上海、江蘇和西藏共5省，它們的效率值均為1，意味著該5省的投入產(chǎn)出效率最優(yōu)。與此同時，如果此時還想對比該5個省的效率值，則需要選擇‘超效率SBM’復(fù)選框后重新分析。
上表格從第3列起，依次展示投入項(xiàng)、產(chǎn)出項(xiàng)、非期望產(chǎn)出項(xiàng)的變量Slack值。具體值的意義說明如下：如果投入項(xiàng)的松弛值>0表示投入需要減少量，如果產(chǎn)出項(xiàng)的松弛值>0表示產(chǎn)出需要增加量，如果非期望產(chǎn)出項(xiàng)的松弛值>0表示非期望產(chǎn)出需要減少量，具體以河北省為例：
河北省的效率值為0.2628意味著投入產(chǎn)出效率較低，‘房地產(chǎn)開發(fā)企業(yè)本年實(shí)際到位資金(億元)’這一投入項(xiàng)的松弛值為5872.5200>0，意味著需要減少房地產(chǎn)投資金額58772.52億元才能明顯提升效率；‘全體居民人均消費(fèi)支出(元)’這一投入項(xiàng)的松弛值為4611，意味著如果想讓效率值最優(yōu)，需要減少人均居民消費(fèi)支出4611元。除此之外，人均GDP松弛值為0.2605萬，意味著人均GDP提升0.2605萬時可達(dá)效率最優(yōu)。并且非期望產(chǎn)出項(xiàng)值為16.85>0，意味著也需要減少二氧化硫排放量16.85萬噸才能讓效率值最優(yōu)。
特別提示：
在實(shí)際研究中可針對各DMU（本案例為31?。┬手颠M(jìn)行分組，可分成幾個組別進(jìn)一步對比各DMU的投入產(chǎn)出效率情況。以及本案例數(shù)據(jù)為10年（但僅針對2021年數(shù)據(jù)進(jìn)行分析），可多次篩選出不同年份數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，最后進(jìn)行匯總和對比不同年份的效率值變化情況等。
上圖直觀展示各DMU的效率值數(shù)據(jù)，圖中效率值與表格中效率值完全一致，僅為圖示化展示
6 剖析
涉及以下幾個關(guān)鍵點(diǎn)，分別如下：
SBM模型時希望輸出投入冗余率、產(chǎn)出不足率等信息?
SPSSAU默認(rèn)輸出投入項(xiàng)、產(chǎn)出項(xiàng)和非期望產(chǎn)出項(xiàng)對應(yīng)的松弛變量Slack值，如果希望計算投入冗余率或者產(chǎn)出不足率，此時可將Slack值除以對應(yīng)原始數(shù)據(jù)值，即得到相對率數(shù)據(jù)，投入項(xiàng)的Slack值除以投入量即為投入冗余率，產(chǎn)出項(xiàng)的Slack值除以產(chǎn)出量即為產(chǎn)出不足率。
超效率SBM模型的使用?
SBM模型時如果出現(xiàn)各DMU項(xiàng)的效率值均為最優(yōu)即均為1的情況，此時則無法對比DMU的投入產(chǎn)出效率（因?yàn)榫鶠?），此時可選中‘超效率SBM’復(fù)選框，即使用超效率SBM模型進(jìn)行分析使用，超效率SBM模型僅針對SBM模型中效率值=1的項(xiàng)進(jìn)行，因而在SBM模型中效率值<1的項(xiàng)時，各項(xiàng)輸出結(jié)果不變化。
SBM模型時，BCC和CCR模型的選擇？
相比CCR模型，BCC會多出lambda值=1的限制條件，通常情況下使用BCC模型，具體建議以文獻(xiàn)為準(zhǔn)。
SPSSAU中SBM模型的非負(fù)平移功能?
在SBM模型或者超效率SBM模型時，SPSSAU提供非負(fù)平移功能，其意義為如果某列（某指標(biāo)）數(shù)據(jù)出現(xiàn)小于等于0，則讓該列數(shù)據(jù)同時加上一個‘平移值’【該值為某列數(shù)據(jù)最小值的絕對值+0.01】，以便讓數(shù)據(jù)全部都大于0。
SPSSAU進(jìn)行SBM模型時出現(xiàn)null值？
規(guī)劃求解計算時有可能出現(xiàn)無法計算的現(xiàn)象，此時建議更換模型，比如BCC模型與CCR模型的切換，也或者針對數(shù)據(jù)進(jìn)行取對數(shù)后再次分析使用。
