一個三角形內(nèi)角和是180度，所以所有三角形內(nèi)角和都是180度，這對嗎？

2022-10-11 14:32 作者:李永樂老師官方 0人讀過 | 我要投稿

老師讓你證明三角形的內(nèi)角和是180度，于是你找了幾個三角形，發(fā)現(xiàn)它們的內(nèi)角和都是180度，于是證明完畢，這種做法對嗎？

我問了許多人，都認為這種方法不對。因為三角形有無數(shù)個，你怎么能通過幾個例子，就證明所有三角形的性質(zhì)呢？簡直讓人笑掉大牙。前兩天我發(fā)微博說這件事，有許多人對此嗤之以鼻，甚至還做視頻批判我。

但實際上，這么做是有道理的，它是正確而且嚴格的，這就是由中國數(shù)學家洪加威、張景中等人提出的“例證法“，它是演繹和歸納法的統(tǒng)一，只是上學時候老師從沒教過我們。如果你認真了解了這種方法，一定會慨嘆數(shù)學的神奇。

1??一元多項式?

我們首先來看一個簡單的例子：

求證：(x+1)(x-1)=x2-1

這是平方差公式，顯然是成立的。但是我們也可以通過例證法進行證明：

證明：當x=0,1,2時上式都成立，所以上式恒成立。

為什么只通過三個例子就能說明等式恒成立呢？我們可以通過反證法說明：

假設(shè)等式(x+1)(x-1)=x2-1不是恒成立的，那么它將可以轉(zhuǎn)化為一個含有x的多項式方程：ax2+bx+c=0，且a,b,c不全為零。

這個多項式方程最高只能是2次的，因此最多只能有兩個根——其依據(jù)是代數(shù)基本定理：n次多項式方程必定有n個復數(shù)根。

這個定理是數(shù)學王子高斯在22歲時的博士論文中提出的。不要以為22歲寫博士論文有什么大不了的，畢竟他9歲就能算從1加到100，19歲的時候就解決了千古難題“正17邊形的尺規(guī)作圖”，21歲就完成了巨著《算術(shù)研究》。

現(xiàn)在，我們舉出了0，1，2三個數(shù)字都滿足等式，說明等式至少有3個根，這與代數(shù)基本定理所證明的不超過2次的多項式方程最多有2個根矛盾，因此原等式只能是恒等式，證明完畢。

多么漂亮的證明啊！我們可以把上面的內(nèi)容總結(jié)成一個定理：

定理：若函數(shù)f(x)是一個關(guān)于x的不超過n次的多項式，那么證明函數(shù)f(x)≡0,只需要n+1個例證。

2??多元多項式?

如果想證明多元多項式，又該怎么辦呢？我們再來看一個例子：

證明：(x+y)(x-y)=x2-y2

這個等式有x和y兩個未知數(shù)，如果它不是恒等式的話，當x是定值時，它將是一個關(guān)于y不超過2次的多項式方程，最多只有兩個根；如果y是定值，它將是一個關(guān)于x的不超過2次的多項式方程，最多也只有兩個根。

所以，如果我們能舉出3個x值和3個y值，形成3x3=9個元素的矩陣，這個矩陣中的每個(x,y)都滿足等式，那么等式必定是一個恒等式。比如只需要代入以下結(jié)果：

(x,y)=(0,0),(0,1),(0,2),(1,0),(1,1),(1,2),(2,0),(2,1),(2,2)

驗證即可。

我們把這個結(jié)果總結(jié)成定理：

定理：若函數(shù)f(x?,x?,x?,…,x?)是一個關(guān)于x?,x?,x?,…,x?的，最高次不超過n?,n?,n?,…n?次的多項式，那么證明函數(shù)f(x?,x?,x?,…,xk)≡0，只需要(n?+1)(n?+1)(n?+1)…(n?+1)個元素的矩陣例證。

舉個例子：你要證明x+y=1恒成立，只需要找到2x2=4個例子就可以，但是這四個例子必須是x取兩個值，y取兩個值構(gòu)成的一個矩陣。你會發(fā)現(xiàn)，無論如何找不到這四個例子，于是例證法無法證明這是恒等式。

3?幾何定理?

這種方法只能證明代數(shù)問題嗎？顯然不是，它還可以用于大量的幾何問題證明。我們用一個最簡單的例子：證明三角形內(nèi)角和等于180度來說明。

首先，我們要將幾何問題代數(shù)化，方法是使用笛卡爾創(chuàng)立的解析幾何。笛卡爾就是那個傳說和瑞典公主談戀愛的老年人。實際上笛卡爾并沒有和瑞典公主談戀愛，而是給瑞典女王當私人教師。女王要求笛卡爾每天早上五點就趕去她的王宮，在瑞典寒冷的冬天，一個老年人每天早上起的這么早，最終感染了肺炎，不幸去世。

無論是什么樣的三角形，都可以把它的一個頂點A放在坐標原點A(0,0)，讓它的一條邊和x軸重合，并且把這條邊的長度規(guī)定為單位1,這樣頂點B的坐標就是B(1,0)，另一個頂點可以在平面中任意選取，定為C(x,y)。

我們要證明三角形內(nèi)角和是180度，就要把三個內(nèi)角拼起來，證明三個內(nèi)角可以構(gòu)成一個平角。我們可以采用這樣的方法：

在BC上取中點M，連接AM并延長到D，讓MD=AM。這樣根據(jù)角邊角公理，三角形ABM和三角形DCM全等。

ΔABM≌ΔDCM

同理，我們可以做出E點，并且

ΔBAN≌ΔECN

于是，三角形的兩個底角就都可以轉(zhuǎn)移到C點上了，剩下的工作就是證明D((x1,y1)、C(x,y)、E(x?,y?)三點共線了。

根據(jù)解析幾何，證明三點共線，就是證明它們的坐標滿足以下關(guān)系：

(x-x?)(y?-y)-(x?-x)(y-y?)=0

這個方程中，只有x，y兩個變量是自由的，而x?，y?，x?，y?都可以通過x，y推導出來。你會發(fā)現(xiàn)，其實x?，x?都是x的一次函數(shù)，而y?，y?都是y的一次函數(shù)，上面的表達式的x和y的最高次都是1次。這樣，我們只需要2x2=4個例證，就能證明等式恒成立了。

具體可見下面的推導過程：

取哪些例證更好呢？我們可以取(x,y)=(0,0),(1,0),(0,1),(1,1)四個例子，取(0,0),(1,0)時，C點分別和A、B重合，表達式成立。而(0,1),(1,1)時，是兩個對稱圖形。所以我們其實只需要驗證C(0,1)時三角形內(nèi)角和是180度，就能證明所有三角形內(nèi)角和都是180度了。

所以，驗證了一個三角形的內(nèi)角和是180度，就斷言所有三角形內(nèi)角和都是180度，看上去很荒唐，但是的確是有道理的。其實許多平面幾何定理都可以用這樣的方法證明，只不過例子的多少不一樣，有些定理可能需要成千上萬個例子才能證明。

從幾個例子得到一般性的結(jié)論，這叫做歸納法，在物理化學生物上，都是使用歸納法研究問題得出理論的，無論是牛頓三大定律還是元素周期表都是如此，只有在歸納法發(fā)現(xiàn)了反例，人們才會去想著如何修改理論。英國著名哲學家，古典經(jīng)驗論的始祖弗朗西斯培根就認為：歸納法是切實可靠的獲取知識的方法，科學工作應該像蜜蜂采蜜一樣，通過搜集資料、有計劃觀察、實驗和比較，來揭示自然界的奧秘。