1.什么是螺栓的夾緊力？有什么用？

2.螺栓夾緊力中的“541”規(guī)則

3.自鎖與摩擦角的理解與計(jì)算

4.螺栓夾緊力的理論計(jì)算公式

5.螺栓夾緊力的經(jīng)驗(yàn)計(jì)算公式

6.理論計(jì)算與經(jīng)驗(yàn)計(jì)算的精度對(duì)比

1.什么是螺栓的夾緊力？有什么用？

????????螺栓、螺母在緊固件使用中占了60%~70%，是應(yīng)用最為廣泛的連接件。螺栓的工作原理見(jiàn)圖1-1所示，我們通過(guò)將螺栓螺母擰緊，螺母的作用是利用螺紋之間的摩擦力進(jìn)行自鎖，螺栓受拉產(chǎn)生夾緊力從而將被連接件夾緊。夾緊力可以抵抗被連接件受外部載荷的作用，保證受外部載荷沖擊下連接的穩(wěn)定性。夾緊力一定要大于外部載荷，其次還要綜合考慮振動(dòng)、摩擦力變化、連接尺寸變化、擰緊精度等因素而設(shè)計(jì)合適的安全余量（安全系數(shù)）。

2.螺栓夾緊力中的“541”規(guī)則

????????螺栓在擰緊過(guò)程中，我們用扳手等工具施加的扭矩做正功，擰緊螺栓的過(guò)程中，有兩處摩擦力削弱了我們施加的扭矩，一處是螺栓頭部與被連接件間的摩擦力，記為，另外一處是螺栓與螺母 螺紋副中的摩擦力，如圖1-2所示。在扭矩轉(zhuǎn)化為螺栓夾緊力的過(guò)程中，螺栓頭部摩擦力約消耗50%扭矩，螺紋副摩擦力約消耗40%扭矩，最后大概只有10%扭矩轉(zhuǎn)化為螺栓的夾緊力，這即為螺栓夾緊力中的“541”規(guī)則。當(dāng)然，隨著工況的變化，例如螺紋中摻雜顆粒、螺栓生銹等（螺紋副摩擦力扭矩消耗占比增大），“541”規(guī)則中摩擦力消耗比例也會(huì)有所不同。

3.自鎖與摩擦角的理解與計(jì)算

????????“自鎖”在螺栓螺母中有著重要的作用， 是螺栓軸向力的克星。下面通過(guò)一個(gè)簡(jiǎn)單的例子來(lái)理解自鎖這一概念吧。如圖1-3所示，典型的斜面滑塊模型，滑塊在重力的作用下往下滑（滑塊同時(shí)受到摩擦力），這一切都感覺(jué)理所當(dāng)然，但是當(dāng)斜面夾角小于一定度數(shù)時(shí)，無(wú)論滑塊的質(zhì)量多大（也可以理解成滑塊下面吊著超重的重物），滑塊都不會(huì)下滑，這一現(xiàn)象稱(chēng)為“自鎖”。那么這個(gè)斜面的角到底多小才能實(shí)現(xiàn)自鎖呢，下面來(lái)做一個(gè)簡(jiǎn)單的推導(dǎo)。

????????滑塊不能夠下滑的條件是:

????????其中

????????得

????????由此可以得到，當(dāng)滑塊與斜面的摩擦系數(shù)大于tan(α)時(shí)，達(dá)到自鎖條件。按照常識(shí)理解就是，斜面越平（α越?。?，滑塊越難下滑。

????????有了自鎖的概念，我們就可以理解螺栓中的自鎖了。其實(shí)，螺栓的自鎖與上面的斜面滑塊模型類(lèi)似（螺紋副受力分析也可以看成斜面滑塊模型），螺紋副詳細(xì)受力分析見(jiàn)第4節(jié)分析。螺栓夾緊后，由于自鎖的存在，螺栓能承受很大的軸向力而不脫落（螺栓松動(dòng)一般由于振動(dòng)、沖擊等交變力導(dǎo)致的），除非螺栓被破壞。

????????在開(kāi)始對(duì)螺紋作受力分析前，我們還需要理解“摩擦角”的概念，摩擦角的定義是當(dāng)物體處于滑動(dòng)的臨界狀態(tài)時(shí)，靜摩擦力達(dá)到最大值，此時(shí)（總反力）與 （支持力）的夾角也最大，此時(shí)的 稱(chēng)為摩擦角。定義不好理解，我們還是用圖來(lái)理解這個(gè)概念吧，如圖1-5所示，為摩擦力，為（總反力）與 （支持力）的夾角。摩擦角有幾個(gè)特點(diǎn)：1.摩擦角是固定不變的，其大小只與摩擦系數(shù)有關(guān)。2.主動(dòng)力的合力的作用線(xiàn)在摩擦角之內(nèi)，無(wú)論這個(gè)力多大，物體仍然保持靜止。下面對(duì)上述特點(diǎn)進(jìn)行簡(jiǎn)單的推導(dǎo)：

????????1.摩擦角固定不變，且大小只與摩擦系數(shù)有關(guān)

????

?????????2.主動(dòng)力的合力的作用線(xiàn)在摩擦角內(nèi)的情況

滑塊能夠運(yùn)動(dòng)的條件是：

，便于計(jì)算，考慮質(zhì)量為0，有

????????所以得出結(jié)論：不考慮重力情況下，合力的作用線(xiàn)在摩擦角內(nèi)，物體必不能運(yùn)動(dòng)?？紤]重力情況下，合力的作用線(xiàn)在摩擦角+余量（多了mg項(xiàng)）內(nèi)，物體不能運(yùn)動(dòng)。

4.螺栓夾緊力的理論計(jì)算公式

?????? 首先，我們先來(lái)理解一下螺紋副的受力情況，見(jiàn)圖1-4所示，圖（a）是兩個(gè)螺紋配合示意圖，其中可以將螺紋簡(jiǎn)化為一個(gè)小塊，如圖（b）所示。最終螺紋副的受力分析可以簡(jiǎn)化為斜面滑塊受力分析，這也是工程中面對(duì)復(fù)雜工況常用的方法。

????????螺紋的受力情況如圖1-7所示，這里省略滑塊，其中是夾緊力，是水平方向的分力，是總的支反力，是當(dāng)量摩擦角（總支反力與垂直于斜面支承力的夾角，摩擦角概念見(jiàn)節(jié)3），是螺紋升角（螺紋升角詳細(xì)理解，見(jiàn)節(jié)5）。

????????接下來(lái)分析螺栓夾緊力的理論計(jì)算方法。如圖1-9（a）所示，裝配時(shí)夾緊力的大小是通過(guò)擰緊力來(lái)控制的，由于擰緊力矩（）的作用，使螺栓和被連接件之間產(chǎn)生夾緊力。其中，擰緊力矩等于螺旋副間的摩擦阻力矩和螺栓頭環(huán)形端面與被連接件支承面的摩擦阻力矩之和（圖1-2為示意圖）。

???????? 由上述分析，有：

? ? ? 式（1）

????????螺旋副間的摩擦力矩為（參考圖1-8）：

,?? 式（2），其中d2是螺栓中徑。

????????螺栓頭與支承面間的摩擦力矩為（相關(guān)尺寸參考圖1-9（b））：

， 式（3），其中為螺栓頭與被連接件間的摩擦系數(shù)。

????????推導(dǎo)過(guò)程[2]：

????????由于摩擦面為圓環(huán)區(qū)域，所以不能直接采用公式計(jì)算，接下來(lái)用積分來(lái)分析。如圖1-10所示，在圓環(huán)區(qū)域取微環(huán)形面積作積分分析，面積為，設(shè)面積上的壓強(qiáng)為為常數(shù)，則環(huán)形微面的正壓力，摩擦力。對(duì)回轉(zhuǎn)軸線(xiàn)的摩擦力矩為：

????????軸端所受的總摩擦力矩為

解得，，由于，代入得

，注意這里R，r為半徑，化為直徑即與式（3）一致。證畢

????????將式（3）、式（2）代入式（1），得

，式（4）

????????對(duì)于M10~M64粗牙普通螺紋的鋼制螺栓，螺紋升角；螺紋中徑（螺紋大徑）；螺紋副的當(dāng)量摩擦角(f為摩擦系數(shù)，無(wú)潤(rùn)滑時(shí)f≈0.1～0.2)；螺栓孔直徑；螺母環(huán)形支承面的外徑（這里采用螺母環(huán)形面與采用螺栓頭環(huán)形面，具有等同效果）；螺母與支承面摩擦系數(shù)。將上述各參數(shù)代入式（4）整理后得

????????????，式（5）

5.螺栓夾緊力的經(jīng)驗(yàn)計(jì)算公式

????????上面的螺栓夾緊力理論計(jì)算方法指的是在推導(dǎo)過(guò)程沒(méi)有做簡(jiǎn)化或近似（見(jiàn)式4），只是最后做了一些簡(jiǎn)化?，F(xiàn)在介紹的是螺栓夾緊力的經(jīng)驗(yàn)計(jì)算公式[3]。

????????同樣的

? ? ? 式（1）

????????螺栓頭與被連接件之間的摩擦扭矩T1為：

，式（2）

其中為摩擦系數(shù)，為螺栓頭與被連接件接觸圓環(huán)的中心直徑。這里的計(jì)算做了簡(jiǎn)化，精度對(duì)比見(jiàn)節(jié)6。

????????螺紋副之間的摩擦扭矩T2為（受力分析參考節(jié)4）：

，式（3）

????????由于螺紋螺旋升角一般都很小，因此式（3）可以簡(jiǎn)化為：

，式（4）

????????現(xiàn)在我們需要求出和，就能夠得到經(jīng)驗(yàn)計(jì)算式了。

????????首先，我們來(lái)理解一下螺紋升角的幾何意義，螺紋升角的定義是：在中徑圓柱上螺旋線(xiàn)的切線(xiàn)與垂直于螺紋軸線(xiàn)的平面間的夾角。定義晦澀難懂，我們需要關(guān)注的幾個(gè)關(guān)鍵詞是螺旋線(xiàn)、切線(xiàn)、平面、夾角。如圖1-11所示，螺旋線(xiàn)的產(chǎn)生就是一個(gè)三角形包著圓柱，三角形最長(zhǎng)邊就是螺旋線(xiàn)。p為螺距。

????????由圖1-11得，螺紋升角為

，式（5）

????????現(xiàn)在還剩下最后一個(gè)參數(shù)，需要找到計(jì)算它的簡(jiǎn)便方法。

????????由于普通公制螺紋為三角型牙型，對(duì)其進(jìn)行受力分析得到圖1-12結(jié)果。Rn=螺母與螺栓螺紋接觸面間的正壓力。

????????由圖1-12得

，式（6）

????????螺紋牙間接觸摩擦力為

，式（7），為螺母與螺栓螺紋處摩擦系數(shù)

????????對(duì)于平面來(lái)說(shuō)，法向反力等于，平面時(shí)摩擦力;

????????對(duì)于斜面來(lái)說(shuō)，摩擦力如式（7）所示，為，令，????稱(chēng)為當(dāng)量摩擦系數(shù)[4]。根據(jù)平面摩擦角與摩擦系數(shù)的關(guān)系（）在這里有：

，式（8）

????????將式（5）、式（8）代入式（4）得

，式（9）

????????對(duì)于標(biāo)準(zhǔn)普通公制螺紋牙型角2α為60°，因此

????????則擰緊扭矩T可表達(dá)為

????????則螺栓夾緊力為

，式（10）

????????至此，計(jì)算螺栓夾緊力的三種方式已經(jīng)全部推導(dǎo)完成（式（4）、式（5）、式（10）），第六節(jié)將對(duì)上述三種計(jì)算方式進(jìn)行精度對(duì)比。

6.理論計(jì)算與經(jīng)驗(yàn)計(jì)算的精度對(duì)比

，算法1

，算法2

，算法3

????????這里假設(shè)分別用100N、200N、400N的力矩T去擰緊一個(gè)普通M6螺栓，螺栓的基本參數(shù)為：d=6，d2=5.5，P=1，ψ=2°，α=30°，ug=0.1，uk=0.15，=9.83°，D0=9mm，d0=6.5mm，P=1。測(cè)試結(jié)果和代碼如下所示：

????????由結(jié)果可知，三種算法的結(jié)果誤差在10%以?xún)?nèi)，與理論算法1相比，算法2結(jié)果偏小，算法3結(jié)果偏大，在做設(shè)計(jì)的時(shí)候建議采用算法3。在這里只測(cè)試一組參數(shù)，來(lái)做個(gè)簡(jiǎn)單的窺見(jiàn)。有興趣的可以復(fù)制一下代碼到Python3 在線(xiàn)工具（https://c.runoob.com/compile/9/）自行修改參數(shù)測(cè)試。

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參考

[1]機(jī)械實(shí)驗(yàn)室.探究螺紋自鎖原理：生活中無(wú)處不在的神奇力量.B站.

[2]秋來(lái)心事誰(shuí)能領(lǐng).磨合軸端的摩擦力矩公式推導(dǎo). B站.

[3]機(jī)械液壓論壇.為什么擰緊螺栓時(shí)僅有10%的扭矩轉(zhuǎn)化成了螺栓的預(yù)緊力.今日頭條.

[4]伊伊爸.螺紋緊固扭矩計(jì)算的基本知識(shí).個(gè)人圖書(shū)館.