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根軌跡分析

在下文中，我們提供了用于根軌跡分析的強(qiáng)大MATLAB命令的簡(jiǎn)要描述。讀者可能想知道為什么當(dāng)強(qiáng)大的MATLAB命令可用時(shí)，教師強(qiáng)調(diào)學(xué)習(xí)手工計(jì)算。對(duì)于給定的一組開環(huán)極點(diǎn)和零點(diǎn)，MATLAB立即繪制根軌跡。在極點(diǎn)和零點(diǎn)中進(jìn)行的任何更改都會(huì)立即產(chǎn)生新的根位點(diǎn)，依此類推。?

MATLAB允許特征方程的根軌跡

1 + G（s）H（s）= 0

用rlocus（GH）命令繪制 。可以使用[K，p] = rlocfind（GH）命令以交互方式選擇根軌跡上的點(diǎn)（將十字準(zhǔn)線放置在適當(dāng)?shù)奈恢茫?。然后MATLAB 在該點(diǎn)產(chǎn)生增益K以及具有該增益的所有極點(diǎn)p。根軌跡可以在使用sgrid（zeta，wn）命令生成的網(wǎng)格上繪制，該命令允許恒定阻尼比zeta和恒定固有頻率?wn曲線。命令rlocus（GH，K）允許我們指定用于繪制根軌跡的增益K的范圍。還研究命令[p，K] = rlocus（GH）?和?[p] = rlocus（GH，K）?使用MATLAB在線幫助。

考慮圖M6.1的框圖中所示的系統(tǒng)。

圖M6.1

系統(tǒng)的特征方程是

1 + G（s）= 0

同

以下MATLAB腳本繪制了根軌跡

s = tf('s');G = 1/(s*(s+7)*(s+11));rlocus(G);axis equal;

單擊根軌跡與虛軸的交點(diǎn)將得到圖M6.2中所示的數(shù)據(jù)。我們發(fā)現(xiàn)閉環(huán)系統(tǒng)對(duì)于K <1360 是穩(wěn)定的; 并且K > 1360 不穩(wěn)定。

圖M6.2

1. >> K = 860;

2. >> step(feedback(K*G,1),5)

3. >> hold;

4. % Current plot held

5. >> K = 1460;

6. >> step(feedback(K*G,1),5)

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圖M6.3

例M6.2

考慮圖M6.4所示的系統(tǒng)。

圖M6.4

植物轉(zhuǎn)移函數(shù)G（s）如下給出

1. clear all;

2. close all;

3. s = tf('s');

4. G = (s+1)/(s*(0.1*s-1));

5. rlocus(G);

6. axis equal;

7. sgrid;

8. title('Root locus for (s+1)/s(0.1s-1)');

9. [K,p]=rlocfind(G)

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圖M6.5

1. selected_point =

2. -2.2204 + 3.0099i

3. K =

4. 1.4494

5. p =

6. -2.2468 + 3.0734i

7. -2.2468 - 3.0734i

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例M6.3

用于具有開環(huán)傳遞功能的單位反饋系統(tǒng)

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1. s = tf（'s'）;

2. G =（s ^ 2-4 * s + 20）/（（s + 2）*（s + 4））;

3. rlocus（G）;

4. zeta = 0.45;

5. wn = 0;

?

使用??右鍵單擊 - >屬性 - >限制正確地重新定義根軌跡的軸??。

圖M6.6

點(diǎn)擊根軌跡與zeta = 0.45線的交點(diǎn)給出系統(tǒng)增益K = 0.415，其對(duì)應(yīng)于閉環(huán)極點(diǎn)，

點(diǎn)擊根軌跡與實(shí)軸的交點(diǎn)，給出分離點(diǎn)和該點(diǎn)處的增益。

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