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引言

在本文中，我們將嘗試為蘋果公司的日收益率尋找一個合適的 GARCH 模型。波動率建模需要兩個主要步驟。

1. 指定一個均值方程（例如 ARMA，AR，MA，ARIMA 等）。

2. 建立一個波動率方程（例如 GARCH, ARCH，這些方程是由 Robert Engle 首先開發(fā)的）。

要做(1)，你需要利用著名的Box-Jenkins方法，它包括三個主要步驟。

1. 識別

2. 估算

3. 診斷檢查

這三個步驟有時會有不同的名稱，這取決于你讀的是誰的書。在本文中，我將更多地關(guān)注（2）。

我將使用一個名為quantmod的軟件包，它代表量化金融建模框架。這允許你在R中直接從各種在線資源中抓取金融數(shù)據(jù)。

1. 


2. #install.packages("quantmod") -需要先安裝該軟件包

3. 


4. getSymbols(Symbols = "AAPL",

5. src="yahoo", #其他來源包括：谷歌、FRED等。

6. 


7. 


收益通常有一個非常簡單的平均數(shù)方程，這導(dǎo)致了簡單的殘差。

我們首先要測試序列依賴性，這是條件異方差的一個指標(biāo)（序列依賴性與序列相關(guān)不同）。這是通過對原始序列的平方/絕對值進(jìn)行測試，并使用Ljung和Box（1978）的Ljung-Box測試等聯(lián)合假設(shè)進(jìn)行測試，這是一個Portmentau檢驗，正式檢驗連續(xù)自相關(guān)，直到預(yù)定的滯后數(shù)，如下所示。

其中T是總的周期數(shù)，m是你要測試的序列相關(guān)的滯后期數(shù)，ρ2k是滯后期k的相關(guān)性，Q?(m)～χ2α有m個自由度。

檢查

下面是AAPL對數(shù)收益時間序列及其ACF，這里我們要尋找顯著的滯后期（也可以運(yùn)行pacf）或存在序列自相關(guān)。

通過觀察ACF，水平序列（對數(shù)收益）并不是真正的自相關(guān)，但現(xiàn)在讓我們看一下平方序列來檢查序列依賴性。

我們可以看到，平方序列的ACF顯示出顯著的滯后。這是一個信號，說明我們應(yīng)該在某個時候測試ARCH效應(yīng)。

平穩(wěn)性

我們可以看到，AAPL的對數(shù)回報在某種程度上是一個平穩(wěn)的過程，所以我們將使用Augmented Dicky-Fuller檢驗（ADF）來正式檢驗平穩(wěn)性。ADF是一個廣泛使用的單位根檢驗，即平穩(wěn)性。我們將使用12個滯后期，因為根據(jù)文獻(xiàn)的建議，我們有每日數(shù)據(jù)。 何：存在單位根（系列是非平穩(wěn)的

1. ##

2. ## Title:

3. ## ?Augmented Dickey-Fuller Test

4. ##

5. ## Test Results:

6. ## ? PARAMETER:

7. ## ? ? Lag Order: 12

8. ## ? STATISTIC:

9. ## ? ? Dickey-Fuller: -14.6203

10. ## ? P VALUE:

11. ## ? ? 0.01

12. ##

13. ## Description:

14. ## ?Mon May 25 16:45:37 2020 by user: Florian

上面的P值為0.01，表明我們應(yīng)該拒絕Ho，因此，該系列是平穩(wěn)的。

結(jié)構(gòu)突變檢驗

請注意，我從2008年底開始研究APPL序列。以避免08年大衰退，通常會在數(shù)據(jù)中產(chǎn)生結(jié)構(gòu)性突變（即趨勢的嚴(yán)重下降/跳躍）。我們將對結(jié)構(gòu)性突變/變化進(jìn)行Chow測試。 AAPL的日收益率沒有結(jié)構(gòu)性突變

該圖顯示，用于估計斷點（BP）數(shù)量的BIC（黑線）是BIC線的最小值，所以我們可以確認(rèn)沒有結(jié)構(gòu)性斷點，因為最小值是零，即零斷點。在預(yù)測時間序列時，斷點非常重要。

估計

在這一節(jié)中，我們試圖用auto.arima命令來擬合最佳a(bǔ)rima模型，允許一個季節(jié)性差異和一個水平差異。

正如我們所知，{Yt}的一般ARIMA(p,d,q)。

根據(jù)auto.arima，最佳模型是ARIMA(3,0,2)，平均數(shù)為非零，AIC為-14781.55。我們的平均方程如下（括號內(nèi)為SE）。

Auto.arima函數(shù)挑選出具有最低AIC的ARIMA(p,d,q)，其中。

其中Λθ是觀察到的數(shù)據(jù)在參數(shù)的mle的概率。因此，如果Auto.arima函數(shù)運(yùn)行N模型，其決策規(guī)則為AIC?=min{AICi}Ni=1

診斷檢查

我們可以看到，我們的ARIMA(3,0,2)的殘差是良好的表現(xiàn)。它們似乎也有一定的正態(tài)分布

1. ##

2. ## ?Ljung-Box test

3. ##

4. ## data: ?Residuals from ARIMA(3,0,2) with non-zero mean

5. ## Q* = 6.7928, df = 4, p-value = 0.1473

6. ##

7. ## Model df: 6. ? Total lags used: 10

現(xiàn)在我們將通過對我們的ARIMA(3,0,2)模型的平方殘差應(yīng)用Ljung-Box測試來檢驗ARCH效應(yīng)。

1. ##

2. ## ?Box-Ljung test

3. ##

4. ## data: ?resid^2

5. ## X-squared = 126.6, df = 12, p-value < 2.2e-16

我們可以看到，殘差平方的 ACF 顯示出許多顯著的滯后期，因此我們得出結(jié)論，確實存在 ARCH 效應(yīng)，我們應(yīng)該對波動率進(jìn)行建模。

使用 GARCH 建立波動率模型

上面將我們的平均數(shù)方程中的殘差進(jìn)行了平方，看看大的沖擊是否緊隨在其他大的沖擊之后（無論哪個方向，即負(fù)的或正的），如果是這樣，那么我們就有條件異方差，意味著我們有需要建模的非恒定方差。下面是一個GARCH(m,s)的樣子。

其中{?2t}mt=1是我們通常的特異性沖擊，iid隨機(jī)變量，即?2t～WN(0,σ2?)。我們可以更緊湊地寫成：

其中B是標(biāo)準(zhǔn)的后移算子Bi?2t=?2t-i，Biσ2t=σ2t-i。對于任何整數(shù)ii，以及α和β分別是度數(shù)為m和s的多項式

請注意，一個特殊情況是當(dāng)s=0時，GARCH(m,0)被稱為ARCH(m)。

當(dāng)我說GARCH家族時，它表明模型有變化。

• SGARCH。普通GARCH

• EGARCH。指數(shù)GARCH，允許波動率不為負(fù)值（這迫使模型只輸出正方差

• FGARCH。這是為長記憶模型準(zhǔn)備的。它使用了被稱為 ARFIMA 的 Fractionaly integrated ARIMA（即非整數(shù)整合）。

• GARCH-M：這是GARCH的均值，適合你的均值方程中有波動率例如CAPM的方程中有σ。

• GJR-GARCH。假設(shè)負(fù)面沖擊和正面沖擊之間存在不對稱性（金融數(shù)據(jù)幾乎都是這樣）。

為收益率序列建立波動率模型包括四個步驟：

1. 通過測試數(shù)據(jù)中的序列依賴性來指定一個均值方程，如果有必要，為收益序列建立一個 計量經(jīng)濟(jì)學(xué)模型（例如，ARIMA 模型）來消除任何線性依賴。

2. 使用平均值方程的殘差來測試ARCH效應(yīng)。

3. 如果ARCH效應(yīng)在統(tǒng)計上是顯著的，就指定一個波動率模型，并對均值和波動率方程進(jìn)行聯(lián)合估計。

4. 仔細(xì)檢查擬合的模型，必要時對其進(jìn)行改進(jìn)。

一個簡單的 GARCH 模型有以下成分。

均值:?

波動率方程:??

誤差假設(shè):?

1. 


2. #以下命令將計算GARCH(m,s)。請記住，對于某些m和s的組合，它可能不會收斂。

3. 


4. garchlist(model="sGARCH", #其他選項有egarch, fgarch等。

5. garchOrder=c(1,2)), #你可以在這里修改GARCH(m,s)的階數(shù)

6. mean.model ?, #指定你的ARMA模型，暗示你的模型應(yīng)該是平穩(wěn)的。

7. distribution.model ? ? ? ? ?#其他分布是 "std "代表t分布，"ged "代表一般誤差分布

8. 


我們的波動率方程由GARCH(1,2)給出，AIC:-5.5277（注意GARCH可能無法收斂）。

下面是使用我們的波動率模型對波動率進(jìn)行的預(yù)測。這看起來是一個合理的波動率預(yù)測，但是你想改進(jìn)你的模型。

現(xiàn)在讓我們使用rugarch的標(biāo)準(zhǔn)功能，使用估計的GARCH(1,2)模型來產(chǎn)生σt的滾動預(yù)測，并將它們與|rt|作對比。

最后，我們可以手動編寫代碼來查看隨時間變化的波動率和對數(shù)收益率rt，如下圖。

1. 


2. # 這將有助于在對數(shù)收益率上繪制sigma隨時間變化的圖。

3. 


4. sigma.t #這是你的波動率序列

5. 


6. ggplot()

7. geom_line(aes(x=as.numeric(

8. 


9. theme_bw()+

10. 


結(jié)論

事實證明，GARCH系列是所謂確定性波動率模型的一部分。還有一個家族叫做隨機(jī)波動率模型，它允許模型中存在隨機(jī)性，而GARCH假設(shè)我們對波動率進(jìn)行了完美的建模（如果你對你所分析的序列非常熟悉，這可能是一個好的假設(shè)，但實際情況并不總是這樣）。隨機(jī)波動率模型通常是用馬爾科夫鏈蒙特卡洛（MCMC）和準(zhǔn)蒙特卡洛方法來估計的，如果你學(xué)過隨機(jī)過程的相關(guān)內(nèi)容，你會知道這是什么。

參考文獻(xiàn)

• Tsay, R. (2010).?Analysis of Financial Time Series. (3rd ed., Wiley Series in Probability and Statistics).

• Brockwell, P., & Davis, Richard A. (2016).?Introduction to time series and forecasting?(3rd ed., Springer texts in statistics). New York: Springer.

• Racine, Jeffrey S. (2019)?Reproducible Econometrics Using R?(Oxford)

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