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原文出處：拓端數(shù)據(jù)部落公眾號

本文提供了一個在統(tǒng)計模型中使用馬可夫轉換模型模型的例子，來復現(xiàn)Kim和Nelson（1999）中提出的一些結果。它應用了Hamilton（1989）的濾波器和Kim（1994）的平滑器。

1. 


2. %matplotlib inline

3. 


4. import numpy as np

5. import pandas as pd

6. import statsmodels.api as sm

7. 


8. from pandas_datareader.data import DataReader

9. from datetime import datetime

10. DataReader(start=datetime(1947, 1, 1), end=datetime(2013, 4, 1))

Hamilton (1989) 馬爾可夫轉換模型（Markov -switching?model）

這是對Hamilton(1989)介紹馬可夫轉換模型（Markov -switching?model）的開創(chuàng)性論文的復現(xiàn)。該模型是一個4階的自回歸模型，其中過程的平均值在兩個區(qū)制之間切換?？梢赃@樣寫。

每個時期，區(qū)制都根據(jù)以下的轉移概率矩陣進行轉換。

其中 pij是從區(qū)制 i?轉移到區(qū)制 j?的概率。

該模型類別是時間序列部分中的MarkovAutoregression。為了創(chuàng)建這個模型，我們必須指定k_regimes=2的區(qū)制數(shù)量，以及order=4的自回歸階數(shù)。默認模型還包括轉換自回歸系數(shù)，所以在這里我們還需要指定switch_ar=False。

創(chuàng)建后，模型通過極大似然估計進行擬合。使用期望最大化（EM）算法的若干步驟找到好的起始參數(shù)，并應用準牛頓（BFGS）算法來快速找到最大值。

1. [2]:

2. #獲取數(shù)據(jù)

3. hamilton= pd.read('gndata').iloc[1:]

4. 


5. 


6. # 繪制數(shù)據(jù)

7. hamilton.plot()

8. 


9. # 擬合模型

10. Markovreg(hamilton)

summary()

我們繪制了經(jīng)過過濾和平滑處理的衰退概率。濾波指的是基于截至并包括時間tt（但不包括時間t+1,...,Tt+1,...,T）的數(shù)據(jù)對時間t的概率估計。平滑化是指使用樣本中的所有數(shù)據(jù)對時間t的概率進行估計。

1. fig, axes = plt.subplots(2, figsize=(7,7))

2. ax = axes[0]

3. ax.plot(margl_prob[0])

4. 


5. 


6. ax = axes[1]

7. ax.plot(smoomarginal_pro[0])

8. 


根據(jù)估計的轉移矩陣，我們可以計算出衰退與擴張的預期持續(xù)時間。

print(expected_du)

在這種情況下，預計經(jīng)濟衰退將持續(xù)約一年（4個季度），擴張約兩年半。
?

Kim, Nelson, and Startz (1998) 三狀態(tài)方差轉換模型。
?

這個模型展示了帶有區(qū)制異方差（方差轉換）和無平均效應的估計。

模型是:

由于沒有自回歸成分，這個模型可以用MarkovRegression類來擬合。由于沒有平均效應，我們指定趨勢='nc'。假設轉換方差有三個區(qū)制，所以我們指定k_regimes=3和switching_variance=True（默認情況下，方差被假定為在不同區(qū)制下是相同的）。

1. 


2. raw = pd.read_table(ew ,engine='python')

3. 


4. # 繪制數(shù)據(jù)集

5. plot( figsize=(12, 3))

6. 


res_kns.summary()?

?

下面我們繪制了處于每個區(qū)制中的概率；只有在少數(shù)時期，才有可能出現(xiàn)高方差區(qū)制。

?

1. fig, axes = plt.subplots(3, figsize=(10,7))

2. 


3. 


4. ax.plot(smoothed_proba[0])

5. ax.plot(smoothed_proba[2])

6. ax.plot(smoothed_proba[3])

Filardo (1994) 時變的轉移概率

這個模型展示了用時變的轉移概率進行估計。

在上述模型中，我們假設轉移概率在不同時期是不變的。在這里，我們允許概率隨著經(jīng)濟狀況的變化而變化。否則，該模型就是Hamilton（1989）的馬爾可夫自回歸。
每個時期，區(qū)制現(xiàn)在都根據(jù)以下的時變轉移概率矩陣進行轉移。

其中 pij,tipij,t 是在 t 期間從區(qū)制 i?轉移到區(qū)制 j?的概率，并定義為。

與其將轉移概率作為最大似然法的一部分進行估計，不如估計回歸系數(shù)βij。這些系數(shù)將轉移概率與預先確定的或外生的變量xt-1向量聯(lián)系起來。

[9]:

1. 


2. 


4. # 用標準差進行標準化

5. 


6. data['p']['1960-01-01':].std() / data['dlip'][:'1959-12-01'].std()

7. 


8. 


9. # 繪制數(shù)據(jù)

10. data['dlip'].plot( )

11. 


12. data['dmdlleading'].plot( ?figsize=(13,3));

時變的轉移概率是由exog_tvtp參數(shù)指定的。
?

這里我們展示了模型擬合的另一個特點--使用隨機搜索的MLE起始參數(shù)。因為馬爾科夫轉換模型的特征往往是似然函數(shù)的許多局部最大值，執(zhí)行初始優(yōu)化步驟有助于找到最佳參數(shù)。
?

下面，我們規(guī)定對起始參數(shù)向量的20個隨機擾動進行檢查，并將最好的一個作為實際的起始參數(shù)。由于搜索的隨機性，我們事先設置了隨機數(shù)種子，以便結果復制。

1. markovreg(data, k=2, order=4)

2. 


3. fit(search=20)

4. summary()

?

下面我們繪制了經(jīng)濟運行在低生產(chǎn)狀態(tài)下的平滑概率，并再次將NBER的衰退情況納入其中進行比較。

1. 


2. ax.plot(smoo_marg_prob[0])

利用時間變化的轉移概率，我們可以看到低生產(chǎn)狀態(tài)的預期持續(xù)時間如何隨時間變化。
?

exp_dura[0].plot( figsize=(12,3));

在經(jīng)濟衰退期間，低生產(chǎn)狀態(tài)的預期持續(xù)時間要比經(jīng)濟擴張時高得多。

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