簡介

在 1988 年，Constantino Tsallis 提出了 Boltzmann-Gibbs-Shannon 統(tǒng)計(jì)力學(xué)的泛化 [1]，其中，他提出了非廣延熵的概念。

熵的泛化的一個(gè)重要推論似乎是新分布類型的存在 [2]，這些分布類型在新的統(tǒng)計(jì)力學(xué)中扮演著關(guān)鍵角色：

編輯

研究表明，這些分布類型可用于描述具有長期記憶的系統(tǒng)、長期作用力的系統(tǒng)以及強(qiáng)相關(guān)性系統(tǒng)內(nèi)的大量經(jīng)驗(yàn)數(shù)據(jù)。

熵與信息密切相關(guān) [7]。參考文獻(xiàn) [8-9] 介紹了基于信息的統(tǒng)計(jì)力學(xué)泛化理論。經(jīng)證明，新的非廣延統(tǒng)計(jì)力學(xué)對(duì)經(jīng)濟(jì)也非常有用 [10-17]。例如，Q-Gaussian 分布充分描述了金融工具報(bào)價(jià)增量分布的寬翼（尾） (q~1.5)。據(jù)說，金融時(shí)間序列的大多數(shù)增量分布在較大的期間（月、年）上轉(zhuǎn)換為正態(tài)分布 (q=1) [10]。

很自然地，期待統(tǒng)計(jì)力學(xué)的此類泛化會(huì)推出與 q-Gaussian 分布的中央極限定理類似的定理。但是參考文獻(xiàn) [18] 指出這是錯(cuò)的 —— 強(qiáng)相關(guān)隨機(jī)變量之和的極限分布在分析上與 q-Gaussian 不同。

然而，另一個(gè)問題又出現(xiàn)了：研究表明，發(fā)現(xiàn)的精確解的數(shù)值非常接近 Q-Gaussian（“在數(shù)字上類似，在分析上不同”）。為了分析函數(shù)之間的差異并得出 Q-Gaussian 分布的最佳參數(shù)，在參考文獻(xiàn) [18] 中使用了一個(gè)級(jí)數(shù)展開。這些函數(shù)的關(guān)系導(dǎo)致表示系統(tǒng)非廣延性程度的 q 參數(shù)的按冪展開。

應(yīng)用統(tǒng)計(jì)的主要問題是接受統(tǒng)計(jì)假設(shè)的問題。長期以來它被視為一個(gè)無法解決的問題 [19-20]，需要特殊的工具（例如電子顯微鏡），使用現(xiàn)代應(yīng)用統(tǒng)計(jì)方法，能夠精準(zhǔn)預(yù)測可能的走勢(shì)。

參考文獻(xiàn) [21] 介紹的本征坐標(biāo)法讓赫茲量化能夠達(dá)到更加深入的水平 —— 函數(shù)關(guān)系的結(jié)構(gòu)化屬性的分析。這個(gè)非常優(yōu)秀的方法能用于解決各種各樣的問題。參考文獻(xiàn) [22] 說明了與以上非廣延分布相對(duì)應(yīng)的函數(shù)的算子展開。

本文將介紹本征坐標(biāo)法及其具體運(yùn)用的例子。它包含很多公式，這些公式對(duì)理解方法的本質(zhì)非常重要。在重復(fù)所有計(jì)算之后，您將能夠?yàn)槟信d趣的函數(shù)描繪函數(shù)展開。

1. 計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)中的 Q-Gaussian

Q-Gaussian 分布在計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)中扮演著一個(gè)非常重要的角色 [4,10-17]。

為了一般性地理解當(dāng)前研究水平，讀者可以參考 Claudio Antonini 博士的著作《q-Gaussians in Finance》[23] （金融中的 q-Gaussian）和《The Use of the q-Gaussian Distribution in Finance》[24]（在金融中運(yùn)用 q-Gaussian 分布）。

讓赫茲量化簡要說明一下主要的結(jié)果。

編輯

圖 1. 科學(xué)法（幻燈片 4 “在金融中運(yùn)用 q-Gaussian 分布”）

圖 2 列出了金融時(shí)間序列的主要內(nèi)容：

編輯

圖 2. 金融時(shí)間序列的屬性（幻燈片 3 “在金融中運(yùn)用 q-Gaussian 分布”）

很多用于描述金融時(shí)間序列的理論模型得出 Q-Gaussian 分布：

編輯

圖 3. 理論模型和 Q-Gaussian（幻燈片 27 “在金融中運(yùn)用 q-Gaussian分布”）

Q-Gaussian 分布也用于報(bào)價(jià)分布的現(xiàn)象性描述：

編輯

圖 4. S&P 500 每日回報(bào)的抽樣分析（幻燈片 8 “在金融中運(yùn)用 q-Gaussian 分布”）

使用真實(shí)數(shù)據(jù)帶來函數(shù)識(shí)別的問題：

編輯

圖 5. 分布函數(shù)識(shí)別的問題（幻燈片 14 “金融中的 q-Gaussian”）

Claudio Antonini 博士的兩篇論文都強(qiáng)調(diào)為了建立恰當(dāng)?shù)奈锢磉^程模型而正確識(shí)別函數(shù)的重要性：

編輯

圖 6. “金融中的 q-Gaussian”和“在金融中運(yùn)用 q-Gaussian 分布”得出的結(jié)論（Claudio Antonini 博士分別于 2010 年和 2011 年發(fā)表）

在金融中運(yùn)用 q-Gaussian 統(tǒng)計(jì)的例子（工作表 + MathCad 文件）：

• q-Gaussian Stock Price Dynamics（q-Gaussian 股票價(jià)格動(dòng)態(tài)）（Michael English， 2008）

• q-Gaussian European Options（q-Gaussian 歐式期權(quán)）（Michael English， 2008）

• q-Gaussian Random Deviates & Distribution（q-Gaussian 隨機(jī)偏差與分布）（Michael English，2008）

• q-Gaussian Portfolios（q-Gaussian 投資組合）（Michael English，2008）

• q-Gaussian Risk Measures（q-Gaussian 風(fēng)險(xiǎn)衡量）（Michael English，2008）

• Expected Value & Value at Risk for Lognormal Asset（對(duì)數(shù)正態(tài)分布資產(chǎn)的期望值與風(fēng)險(xiǎn)值）（Michael English，2008）

2. 本征坐標(biāo)

本征坐標(biāo)展開如下所示：

編輯

其中 C1…CN 為常量，X1(t),..,XN(t) 為“本征坐標(biāo)”。

赫茲量化此類線性展開非常方便，經(jīng)常在數(shù)據(jù)分析中使用。例如，一個(gè)指數(shù)函數(shù)在對(duì)數(shù)刻度上轉(zhuǎn)換為直線（可以使用線性回歸輕松地計(jì)算其斜率）。因此，無需為了確定函數(shù)參數(shù)而進(jìn)行非線性優(yōu)化（擬合）。

然而，在處理更加復(fù)雜的函數(shù)（例如兩個(gè)指數(shù)函數(shù)之和）時(shí)，對(duì)數(shù)刻度能提供的幫助極少 - 函數(shù)將不會(huì)作為一條直線出現(xiàn)。并且為了確定函數(shù)系數(shù)，需要進(jìn)行非線性優(yōu)化。

存在能夠用幾個(gè)函數(shù)解釋經(jīng)驗(yàn)數(shù)據(jù)一樣棒的情形，所有這些函數(shù)對(duì)應(yīng)于不同的物理過程模型。到底選擇什么函數(shù)？哪個(gè)函數(shù)能夠?qū)?jīng)驗(yàn)數(shù)據(jù)反映的真實(shí)情況進(jìn)行更充分的解釋？

正確的函數(shù)識(shí)別對(duì)復(fù)雜系統(tǒng)（例如金融時(shí)間序列）的分析至關(guān)重要 - 每一種分布對(duì)應(yīng)于某個(gè)物理過程，并且我們將能夠更好地了解復(fù)雜系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)和一般屬性，該系統(tǒng)具有選定的恰當(dāng)模型。

應(yīng)用統(tǒng)計(jì) [19, 20] 表明，不存在用于拒絕錯(cuò)誤統(tǒng)計(jì)假設(shè)的標(biāo)準(zhǔn)。本征坐標(biāo)法拋出了有關(guān)這個(gè)問題（接受假設(shè)）的全新觀點(diǎn)。

用于描述經(jīng)驗(yàn)數(shù)據(jù)的函數(shù)可被視為某個(gè)微分方程的解。其形式確定本征坐標(biāo)展開的結(jié)構(gòu)。 本征坐標(biāo)展開的一個(gè)特征是函數(shù) Y(t) 生成的所有數(shù)據(jù)在函數(shù) Y(t) 的本征坐標(biāo)基 X1(t)..XN(t) 中在結(jié)構(gòu)上是線性的。任何其它函數(shù) F(t) 生成的數(shù)據(jù)在這個(gè)基中將不再作為一條直線出現(xiàn)（它們?cè)诤瘮?shù) F(t) 的本征坐標(biāo)基中將呈線性）。 此事實(shí)能夠用于精確地識(shí)別函數(shù)，因此非常有利于統(tǒng)計(jì)假設(shè)的處理。