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拓端tecdat|Matlab正態(tài)分布、歷史模擬法、加權(quán)移動(dòng)平均線 EWMA估計(jì)風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值VaR和回測(cè)

2021-12-27 19:28 作者:拓端tecdat 0人讀過 | 我要投稿

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原文出處：拓端數(shù)據(jù)部落公眾號(hào)

此示例說(shuō)明如何使用三種方法估計(jì)風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值 (VaR) 并執(zhí)行 VaR 回測(cè)分析。這三種方法是：

正態(tài)分布
歷史模擬
指數(shù)加權(quán)移動(dòng)平均線 (EWMA)

風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值是一種量化與投資組合相關(guān)的風(fēng)險(xiǎn)水平的統(tǒng)計(jì)方法。VaR 衡量指定時(shí)間范圍內(nèi)和給定置信水平的最大損失量。

回測(cè)衡量 VaR 計(jì)算的準(zhǔn)確性。使用 VaR 方法，計(jì)算損失預(yù)測(cè)，然后與第二天結(jié)束時(shí)的實(shí)際損失進(jìn)行比較。預(yù)測(cè)損失和實(shí)際損失之間的差異程度表明 VaR 模型是低估還是高估了風(fēng)險(xiǎn)。因此，回測(cè)回顧數(shù)據(jù)并有助于評(píng)估 VaR 模型。

本示例中使用的三種估計(jì)方法在 95% 和 99% 的置信水平下估計(jì) VaR。

加載數(shù)據(jù)并定義測(cè)試窗口

加載數(shù)據(jù)。本例中使用的數(shù)據(jù)來(lái)自標(biāo)準(zhǔn)普爾指數(shù)從 1993 年到 2003 年的時(shí)間序列收益率。

tik2rt(sp);

將估計(jì)窗口定義為 250 個(gè)交易日。測(cè)試窗口從 1996 年的第一天開始，一直持續(xù)到樣本結(jié)束。

WinSze = 250;

對(duì)于 95% 和 99% 的 VaR 置信水平。

p = [0.05 0.01];

這些值意味著分別有至多 5% 和 1% 的概率發(fā)生的損失將大于最大閾值（即大于 VaR）。

使用正態(tài)分布方法計(jì)算 VaR

對(duì)于正態(tài)分布法，假設(shè)投資組合的損益呈正態(tài)分布。使用此假設(shè)，通過將每個(gè)置信水平的z分?jǐn)?shù)乘以收益率的標(biāo)準(zhǔn)差來(lái)計(jì)算 VaR? 。由于 VaR 回溯測(cè)試對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行追溯，因此“今天”的 VaR 是根據(jù)過去N??= 250 天（但不包括“今天”）的收益率值計(jì)算得出的?。

for t = TtWnow
i = t - TsWidoSrt + 1;
Esationdw = t-EtiWinwSze:t-1;
gma = std(Returns(tmWinow));
Noa95(i) = -Zscre(1)*Sima;
Nrml99(i) = -Zsore(2)*Sigma;
end
plot(DaeRtuns(TsWidw),[Nrm95 oma99])

正態(tài)分布方法也稱為參數(shù) VaR，因?yàn)樗墓烙?jì)涉及計(jì)算收益率標(biāo)準(zhǔn)差的參數(shù)。正態(tài)分布方法的優(yōu)點(diǎn)是簡(jiǎn)單。然而，正態(tài)分布方法的弱點(diǎn)是假設(shè)收益率是正態(tài)分布的。正態(tài)分布方法的另一個(gè)名稱是方差-協(xié)方差方法。

使用歷史模擬方法計(jì)算 VaR

與正態(tài)分布方法不同，歷史模擬 (HS) 是一種非參數(shù)方法。它不假設(shè)資產(chǎn)收益的特定分布。歷史模擬通過假設(shè)過去的損益可以作為下一個(gè)收益期的損益分配來(lái)預(yù)測(cè)風(fēng)險(xiǎn)。“今天”的 VaR 計(jì)算為“今天”?之前?最后N 次收益率的?第 p個(gè)分位數(shù)?。

for t = Tstidow
i = t - Tsidwtt + 1;
Htrl95(i) = -qate(X,pVR(1));
Hii99(i) = -qatie(X,pVaR(2));
fiure;
plot(Dtr(Ttow),[Hic95 Hstrl99])

從上圖可以看出，歷史模擬曲線具有分段不變的輪廓。其原因是，在極端事件發(fā)生之前，量值在幾天內(nèi)不會(huì)發(fā)生變化。因此，歷史模擬方法對(duì)波動(dòng)率的變化反應(yīng)緩慢。

使用指數(shù)加權(quán)移動(dòng)平均法 (EWMA) 計(jì)算 VaR

前兩個(gè) VaR 方法假設(shè)所有過去的收益率都具有相同的權(quán)重。指數(shù)加權(quán)移動(dòng)平均 (EWMA) 方法分配不相等的權(quán)重，尤其是指數(shù)遞減的權(quán)重。最近的收益率具有更高的權(quán)重，因?yàn)樗鼈儗?duì)“今天”收益率的影響比過去更遠(yuǎn)的收益率更大。大小估計(jì)窗口上的 EWMA 方差公式?

?是：

$$\hat{\sigma}^2_t=\frac{1}{c}\sum_{i=1}^{W_E}\lambda^{i-1} y^2_{ti}$$

?

?是歸一化常數(shù)：

$$c=\sum_{i=1}^{W_E}\lambda^{i-1} = \frac{1-\lambda^{W_E}}{1-\lambda}\quad\rightarrow \frac{1 }{1-\lambda} ~ as ~ W_E\rightarrow\infty$$

為方便起見，我們假設(shè)一個(gè)無(wú)限大的估計(jì)窗口來(lái)近似方差：

$$\hat{\sigma}^2_t\approx(1-\lambda)(y^2_{t-1}+\sum^{\infty}_{i=2}\lambda^{i-1}y ^2_{ti})=(1-\lambda)y^2_{t-1}+\lambda\hat{\sigma}^2_{t-1}$$

實(shí)踐中經(jīng)常使用的衰減因子的值為0.94。這是本示例中使用的值。

啟動(dòng) EWMA 設(shè)置標(biāo)準(zhǔn)偏差。

Laa = 0.94;
for i = 2 : (Tsart-1)
Sm2(i) = (1-Labda) * Rts(i-1)^2 + Lama * m2(i-1);

在測(cè)試窗口中使用 EWMA 來(lái)估計(jì) VaR。

for t = TeWio
EWMA95 (k) = -Zscre(1)*Sima;
EWMA99(k) = -Zsoe(2)*Siga;
end
plot(DR,[EWMA95 EWMA99])

在上圖中，EWMA 對(duì)大（或?。┦找媛蕰r(shí)期的反應(yīng)非常迅速。

VaR回測(cè)

在本示例的第一部分中，使用三種不同的方法和兩種不同的 VaR 置信水平在測(cè)試窗口上估計(jì)了 VaR。VaR 回測(cè)的目標(biāo)是評(píng)估 VaR 模型的性能。95% 置信度的 VaR 估計(jì)值僅在大約 5% 的時(shí)間內(nèi)被違反。VaR 失敗的集群表明缺乏跨時(shí)間的獨(dú)立性，因?yàn)?VaR 模型對(duì)不斷變化的市場(chǎng)條件反應(yīng)緩慢。

VaR 回測(cè)分析中常見的第一步是將收益率和 VaR 估計(jì)值繪制在一起。在 95% 的置信水平上繪制所有三種方法，并將它們與收益率進(jìn)行比較。

Rtnet = Rrns(Tstnow);
DesTst ? = Das(TsWnow);
fige;
plot

為了突出不同的方法如何對(duì)不斷變化的市場(chǎng)條件做出不同的反應(yīng)，您可以放大收益率值發(fā)生巨大和突然變化的時(shí)間序列。例如，大約在 1998 年 8 月：

Zm ? = (Da >= da(1998,8,5)) & (D <= da(1998,10,31);
br(D,);
for i = 1 : sze(Vata,2)
sts(D-0.5,VaRData(:,i),VaFt{i});
plot(D(IN95),-N(nN95)

當(dāng)收益為負(fù) VaR 時(shí)，就會(huì)發(fā)生 VaR 失敗。仔細(xì)觀察 8 月 27 日至 8 月 31 日，會(huì)發(fā)現(xiàn)收益率顯著下降。從 8 月 27 日起，EWMA 更密切、更準(zhǔn)確地跟蹤收益率趨勢(shì)。因此，與正態(tài)分布方法（7次失敗，藍(lán)色）或歷史模擬方法（8次失敗，紅色）相比，EWMA 的 VaR 失?。?)次失敗，紫色）較少。

除了可視化工具，您還可以使用統(tǒng)計(jì)測(cè)試進(jìn)行 VaR 回測(cè)。在此示例中，首先比較正態(tài)分布方法在 95% 和 99% VaR 水平下的不同測(cè)試結(jié)果。

bctet(etet,[Nrml95 Noml99]);
summary

摘要報(bào)告顯示觀察到的水平與定義的 VaR 水平足夠接近。95% 和 99% VaR 水平至多具有期望失敗，其中?N?是觀察次數(shù)。失敗率表明??VaR 水平在范圍內(nèi)，而??VaR 水平不精確并且低估了風(fēng)險(xiǎn)。運(yùn)行所有支持的測(cè)試?(1-VaR_level) x?N

test(vt)

95%的VaR通過了測(cè)試，如二項(xiàng)式和失敗比例測(cè)試（TL、BIN和POF列）。99%的VaR沒有通過這些相同的測(cè)試，如拒絕結(jié)果所示。在條件覆蓋率獨(dú)立性和間隔時(shí)間獨(dú)立性（ci和tbfi列）中，兩個(gè)置信度都被拒絕。這個(gè)結(jié)果表明，VaR的違反不是獨(dú)立的，可能在短時(shí)間內(nèi)有多次失敗的時(shí)期。另外，一次失敗可能會(huì)使其他失敗在隨后的日子里更有可能發(fā)生。

在兩個(gè) VaR 置信水平下對(duì)三種方法的投資組合運(yùn)行相同的測(cè)試。

rbackest

結(jié)果和之前的結(jié)果差不多，在95%的水平上，結(jié)果基本可以接受。然而，在 99% 水平的結(jié)果通常是拒絕。關(guān)于獨(dú)立性，大多數(shù)測(cè)試通過了條件覆蓋獨(dú)立性測(cè)試，連續(xù)幾天測(cè)試獨(dú)立性。請(qǐng)注意，所有測(cè)試都失敗了獨(dú)立性測(cè)試之間的時(shí)間間隔，它考慮了所有失敗之間的時(shí)間。這個(gè)結(jié)果表明所有方法都存在獨(dú)立性假設(shè)的問題。

為了更好地了解這些結(jié)果如何在市場(chǎng)條件下發(fā)生變化，請(qǐng)查看 2000 年和 2002 年的 95% VaR 置信水平。

n00 = yar(aet) == 2000);

I22 = (ea) == 2002);
v202 = rbks(RtrTt(n202

2000年，這三種方法都通過了所有的測(cè)試。但是，2002 年的測(cè)試結(jié)果大多是所有方法都被拒絕。EWMA 方法似乎在 2002 年表現(xiàn)更好，但所有方法都未能通過獨(dú)立性測(cè)試。

要更深入地了解獨(dú)立性測(cè)試，請(qǐng)查看條件覆蓋獨(dú)立性和失敗間隔時(shí)間獨(dú)立性2002 年的測(cè)試詳細(xì)信息。運(yùn)行各個(gè)測(cè)試功能。

cci

在 CCI 測(cè)試中，知道在時(shí)間t?-1沒有失敗的情況下，??在時(shí)間t發(fā)生失敗?的概率?p?由下式給出01

$$ p_{01} = \frac{N_{01}}{N_{01}+N_{00}}$$

?在時(shí)間t發(fā)生失敗?的概率?p?，知道在時(shí)間t?-1發(fā)生失敗，?由下式給出11

$$ p_{11} = \frac{N_{11}}{N_{11}+N_{10}}$$

從?測(cè)試結(jié)果中的N00,?N10,??N01,?N11列來(lái)看?，??三種方法的p?值?01都在 5% 左右，而p?值?11?都在 20% 以上。因?yàn)橛凶C據(jù)表明一個(gè)失敗之后出現(xiàn)另一個(gè)失敗的頻率遠(yuǎn)高于 5%，所以這個(gè) CCI 測(cè)試失敗了。

在失敗間隔時(shí)間獨(dú)立性測(cè)試中，查看失敗間隔時(shí)間分布的最小值、最大值和四分位數(shù)，在TBFMin、??TBFQ1、??TBFQ2、??TBFQ3、?列中?TBFMax。

tbfi

對(duì)于 95% 的 VaR 水平，您預(yù)計(jì)失敗之間的平均時(shí)間為 20 天，或每 20 天發(fā)生一次失敗。但是，對(duì)于這三種方法，2002 年的失敗間隔時(shí)間的中位數(shù)介于 5 到 7.5 之間。該結(jié)果表明，在一半的情況下，連續(xù)兩次失敗發(fā)生在 5 到 7 天內(nèi)，比期望的 20 天要頻繁得多。因此，會(huì)發(fā)生更多的測(cè)試失敗。對(duì)于正態(tài)方法，第一個(gè)四分位數(shù)是 1，這意味著 25% 的失敗發(fā)生在連續(xù)幾天。

參考

Danielsson, J.?金融風(fēng)險(xiǎn)預(yù)測(cè)：預(yù)測(cè)市場(chǎng)風(fēng)險(xiǎn)的理論和實(shí)踐。威利財(cái)經(jīng)，2012 年。

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