原文鏈接：http://tecdat.cn/?p=24441

原文出處：拓端數(shù)據(jù)部落公眾號(hào)

我們研究波動(dòng)聚集，以及使用單變量 GARCH(1,1) 模型對(duì)其進(jìn)行建模。

波動(dòng)聚集

波動(dòng)聚集——存在相對(duì)平穩(wěn)時(shí)期和高波動(dòng)時(shí)期的現(xiàn)象——是市場(chǎng)數(shù)據(jù)的一個(gè)看似普遍的屬性。對(duì)此沒有普遍接受的解釋。GARCH（廣義自回歸條件異方差）模型?波動(dòng)聚集。圖 1 是波動(dòng)率的 garch 模型的示例。

圖 1：根據(jù) garch(1,1) 模型估計(jì)的 2011 年底之前的標(biāo)準(zhǔn)普爾 500 指數(shù)波動(dòng)率

顯然，波動(dòng)性隨時(shí)間變化。圖 1 是波動(dòng)率模型，而不是真正的波動(dòng)率。但如果我們有一張真實(shí)波動(dòng)率的圖片，它看起來會(huì)非常像圖 1。

數(shù)據(jù)需求

提供給 garch 估計(jì)的數(shù)據(jù)是每日數(shù)據(jù)。你可以使用每周或每月的數(shù)據(jù)，但這將使數(shù)據(jù)中的一些波動(dòng)變得平滑。

你可以用garch處理日內(nèi)數(shù)據(jù)，但這變得很復(fù)雜。 一天中的波動(dòng)有季節(jié)性。 季節(jié)性在很大程度上取決于交易發(fā)生的特定市場(chǎng)，也可能取決于特定資產(chǎn)。 一個(gè)例子是看盤中的風(fēng)險(xiǎn)值。

圖1沒有顯示真實(shí)的波動(dòng)性，因?yàn)槲覀儚膩頉]有觀察過波動(dòng)性。 波動(dòng)性曾經(jīng)只是間接地暴露在我們面前。 所以我們?cè)噲D估計(jì)一些未知的東西。

圖 2 是一個(gè)原型 garch 模型圖。

圖 2：“無噪音”garch 模型圖

garch 的觀點(diǎn)是波動(dòng)率上升然后衰減，直到出現(xiàn)另一個(gè)峰值。很難在圖 1 中看到這種行為，因?yàn)闀r(shí)間軸太緊湊了，因此在圖 3 中更加明顯。

圖 3：由 garch(1,1) 模型估計(jì)的 MMM 波動(dòng)率。

當(dāng)然，在真實(shí)數(shù)據(jù)中，有各種規(guī)模的沖擊，而不僅僅是大的沖擊。

請(qǐng)注意，來自公告的波動(dòng)性（與沖擊相反）是反過來的--波動(dòng)性隨著公告時(shí)間的臨近而增加，然后在公告結(jié)果出來后消失。

對(duì)Garch模型的估計(jì)主要是對(duì)衰減速度的估計(jì)。 它所看到的衰減是非常嘈雜的，所以它希望看到大量的數(shù)據(jù)。 大量的數(shù)據(jù)是指它希望有數(shù)以萬計(jì)的每日觀測(cè)數(shù)據(jù)。

有兩個(gè)原因不能給它大量的觀測(cè)數(shù)據(jù)。
?

• 你沒有那么多觀察數(shù)據(jù)

• 市場(chǎng)隨時(shí)間變化

所以有一個(gè)折中的方法。每天 2000 次觀察往往不無道理。

如果你每天的觀測(cè)值少于1000個(gè)，那么估計(jì)就不可能給你提供很多關(guān)于參數(shù)的真實(shí)信息。 最好是選擇一個(gè) "合理的 "模型。 這將是一個(gè)具有大約正確的持久性的模型（見下文），α1參數(shù)在0和0.1之間，β1參數(shù)在0.9和1之間。

估計(jì)

我們使用 GARCH(1,1) 模型；不是因?yàn)樗亲詈玫?，因?yàn)樗亲畛Ｓ玫摹?/p>

Garch 模型幾乎總是通過最大似然估計(jì)。結(jié)果證明這是一個(gè)非常難的優(yōu)化問題。假設(shè)你有足夠重要的數(shù)據(jù)，即使是最好的 garch 實(shí)現(xiàn)也需要關(guān)注優(yōu)化。

我們知道，收益率沒有正態(tài)分布，它們有長(zhǎng)尾。 假設(shè)長(zhǎng)尾完全是由于arch效應(yīng)造成的，這是完全合理的，在這種情況下，在arch模型中使用正態(tài)分布將是正確的做法。 然而，使用長(zhǎng)尾分布的可能性，結(jié)果是給出一個(gè)更好的擬合（幾乎總是如此）。 t分布似乎做得很好。
?

自相關(guān)

如果模型正確解釋了波動(dòng)聚集，則平方標(biāo)準(zhǔn)化殘差將不存在自相關(guān)。通常進(jìn)行 Ljung-Box 檢驗(yàn)來檢驗(yàn)這種自相關(guān)性。

下面是假設(shè) MMM 收益率正態(tài)分布的擬合輸出（在本例中實(shí)際上是 Box-Pierce）：

如果你習(xí)慣于看擬合度檢驗(yàn)的p值，你可能會(huì)注意到一些奇怪的東西。 檢驗(yàn)表明，我們用4個(gè)參數(shù)過度擬合了1547個(gè)觀測(cè)值。? 我不這么認(rèn)為。

更好的解釋是，盡管檢驗(yàn)是非常穩(wěn)健的，但對(duì)這種極端的數(shù)據(jù)來說，檢驗(yàn)并不穩(wěn)健。 這樣檢驗(yàn)平方殘差可能會(huì)產(chǎn)生反作用。 一個(gè)有信息量的檢驗(yàn)是關(guān)于平方標(biāo)準(zhǔn)化殘差的行列。

持久性

garch模型的持久性與沖擊后大的波動(dòng)率衰減的速度有關(guān)。對(duì)于garch(1,1)模型來說，關(guān)鍵的統(tǒng)計(jì)數(shù)字是兩個(gè)主要參數(shù)（alpha1和beta1，我們?cè)谶@里使用的符號(hào)）的總和。

α1和β1的總和應(yīng)該小于1。 如果總和等于1，那么我們就有一個(gè)指數(shù)衰減模型。

可以用半衰期來表示持久性。 半衰期是log(0.5)/log(alpha1 + beta1)，其中的單位將是收益率的頻率。 當(dāng)α1+β1達(dá)到1時(shí)，半衰期就變成了無限。

為什么我們會(huì)得到具有無限持久性的估計(jì)？ 持久性是通過觀察在樣本期間衰減的速度來估計(jì)的。 如果在樣本期間波動(dòng)率有一個(gè)趨勢(shì)，那么估計(jì)者就會(huì) "認(rèn)為 "它從未看到完全的衰減。 樣本期越短，越有可能出現(xiàn)欺騙估計(jì)的趨勢(shì)。

無論參數(shù)估計(jì)值是多少，波動(dòng)率的樣本內(nèi)估計(jì)值看起來都很相似。 如果我們改變各自模型的參數(shù)估計(jì)值，圖 1 和圖 3 不會(huì)有太大變化。 但是當(dāng)我們?cè)跇颖就膺M(jìn)行預(yù)測(cè)時(shí)，參數(shù)就很重要了。

使用Garch

Garch 模型之所以有用，是因?yàn)橐韵聝牲c(diǎn)：

• 你可以使用 garch 模型進(jìn)行預(yù)測(cè)

• 你可以使用 garch 模型進(jìn)行模擬

預(yù)測(cè)

你預(yù)測(cè)的越遠(yuǎn)，你的模型就越接近完美。Garch 模型并不是特別接近完美。如果你在一個(gè)月或更長(zhǎng)時(shí)間的時(shí)間范圍內(nèi)進(jìn)行預(yù)測(cè)，那么效果可能不好。 如果你預(yù)測(cè)的是未來幾天，那么Garch應(yīng)該是相當(dāng)有用的。

模型的持久性是預(yù)測(cè)的關(guān)鍵驅(qū)動(dòng)因素——它決定了預(yù)測(cè)進(jìn)入無條件波動(dòng)的速度。如果波動(dòng)率確實(shí)存在很多持久性，并且你的模型準(zhǔn)確地捕捉到了這種持久性，那么你將在很遠(yuǎn)的地方獲得良好的預(yù)測(cè)。

有兩種不同的事情可以預(yù)測(cè)：

• 預(yù)測(cè)期各時(shí)間點(diǎn)的波動(dòng)率

• 從周期開始到周期中每個(gè)時(shí)間點(diǎn)的平均波動(dòng)率

例如，期權(quán)價(jià)格的波動(dòng)率是到期前的平均波動(dòng)率，而不是到期日的波動(dòng)率。

因此，在預(yù)測(cè)時(shí)你需要了解兩件事：

• 你想要哪個(gè)預(yù)測(cè)

• 你得到哪個(gè)預(yù)測(cè)

模擬

garch 模擬需要：

• garch 模型（包括參數(shù)值）

• 模型的波動(dòng)狀態(tài)

• 標(biāo)準(zhǔn)化（方差 1）的分布

我們想要的波動(dòng)狀態(tài)幾乎總是數(shù)據(jù)末尾的狀態(tài)。我們想利用當(dāng)前的波動(dòng)狀態(tài)并展望未來。

使用經(jīng)驗(yàn)分布——擬合模型的標(biāo)準(zhǔn)化殘差——通常是分布的最佳選擇。即使在使用經(jīng)驗(yàn)分布時(shí)，擬合模型時(shí)的分布假設(shè)也會(huì)產(chǎn)生影響。

估計(jì)程序“試圖”使殘差符合假設(shè)的分布。假設(shè)正態(tài)分布的模型的標(biāo)準(zhǔn)化殘差將比假設(shè)分布相同數(shù)據(jù)的模型的殘差更接近正態(tài)分布。

模擬依賴于估計(jì)的參數(shù)，但不像預(yù)測(cè)那樣嚴(yán)重。 當(dāng)我們模擬到更遠(yuǎn)的未來時(shí)，模型誤差會(huì)加重。
?

R包

R 中的 garch 建模有多種選擇。沒有一種是完美的，使用哪種可能取決于你想要實(shí)現(xiàn)的目標(biāo)。然而，rugarch?對(duì)于許多人來說，?它可能是最好的選擇。

rugarch

這具有擬合（即估計(jì)參數(shù)）、預(yù)測(cè)和模擬的功能。

以下是使用 Student t 分布進(jìn)行擬合的示例：

1. ugarchspec(mean.modl, distriuion)

2. ugarchfit(ru, ret)

3. coef

1. 


2. > # ?繪制樣本內(nèi)波動(dòng)率估計(jì)值

3. > plot(sqrt(252) * sigma)

這個(gè)包中的優(yōu)化可能是我討論的包中最復(fù)雜和最值得信賴的。

fGarch

我們將擬合與上述相同的 Student t 模型：

1. garchFit(sp5, cod.dit="std")

2. coef

?

1. 


2. > # ?繪制樣本內(nèi)波動(dòng)率估計(jì)值

3. > plot(sqrt(252) * gfit.fg@sigma.t, type="l")

tseries

這個(gè)包是第一個(gè)在 R 中包含公開可用的 garch 函數(shù)的包。它僅限于正態(tài)分布。

1. garch(sp5)

2. coef

1. 


2. > # 繪制樣本內(nèi)波動(dòng)率估計(jì)值

3. > plot(sqrt(252) *fittedalus)

bayesGARCH

對(duì)Garch模型進(jìn)行貝葉斯估計(jì)。

這個(gè)包所做的唯一模型是具有t分布誤差的garch(1,1)。?

bayesGARCH(sp5)

但是，此命令失敗并出現(xiàn)錯(cuò)誤。如果我們以百分比形式給出收益率，則該命令確實(shí)有效：

bayesGARCH(sp5 * 100)

這也可能是最大似然估計(jì)的一個(gè)問題。 至少有一個(gè)Garch的實(shí)現(xiàn)在優(yōu)化百分比收益而不是自然比例的收益方面要好得多。 你可以對(duì)優(yōu)化做一個(gè)測(cè)試，就是在兩種規(guī)模的收益率上估計(jì)模型并比較結(jié)果。

不過，bayesGARCH函數(shù)并沒有給我們一個(gè)估計(jì)值。 它給我們的是一個(gè)矩陣，列對(duì)應(yīng)于參數(shù)，行對(duì)應(yīng)于馬爾科夫鏈蒙特卡洛。 這可以說是參數(shù)的（后驗(yàn)）分布的一個(gè)樣本。

如果我們對(duì)持久性施加一個(gè)約束，我們可以得到一個(gè)更有用的分析。 我們通過為約束條件創(chuàng)建一個(gè)函數(shù)來做到這一點(diǎn)。
?

1. 


2. ????? pi[2] + pi[3] < .9986

這就是說超過兩年的半衰期是不合理的。然后我們使用該約束：

cotrl=list(adPrrdos=prieces))

現(xiàn)在我們從結(jié)果中進(jìn)行選擇并計(jì)算分布中的半衰期：

然后繪制結(jié)果。

圖 3：MMM 波動(dòng)率半衰期的貝葉斯估計(jì)

betategarch

該包擬合具有 t 分布誤差的 EGARCH 模型。

1. tegarch.est(sp5)

2. par

1. tegarch.fit(sp5, par)

2. plot(sqrt(252) * siga *

3. sd(epiln]))

?圖 4 將這個(gè)估計(jì)值與 garch(1,1)估計(jì)值進(jìn)行了比較（來自 rugarch，但它們看起來都非常相似）。

圖 4: 由 garch(1,1) 模型（藍(lán)色）和 beta-t EGARCH 模型（紅色）估計(jì)的 MMM 波動(dòng)率

dynamo

我認(rèn)為在這個(gè)包中估計(jì)一個(gè) garch 模型的方法是：

dm(sp~ garch(1,1))

AutoSEARCH

該包將為 ARCH 模型選擇最佳滯后。

rugarch 包中的 garch 模型

如何擬合和使用garch 模型。

模型

這模型通常比更常見的 garch(1,1) 模型效果更好。

圖 5 顯示了擬合標(biāo)準(zhǔn)普爾 500 指數(shù)的兩個(gè)模型對(duì)未來 20 天每天波動(dòng)率的預(yù)測(cè)。模型對(duì)波動(dòng)率的預(yù)測(cè)更為細(xì)致。

圖 5：使用模型（藍(lán)色）和具有方差目標(biāo)（紅色）的 garch(1,1) 對(duì)每天的波動(dòng)率預(yù)測(cè)

通常，你關(guān)心的是從現(xiàn)在到指定日期的平均波動(dòng)率。這被稱為期限結(jié)構(gòu)——圖 6 顯示了這一點(diǎn)。

圖 6：使用分量模型（藍(lán)色）和具有方差目標(biāo)（紅色）的 garch(1,1) 預(yù)測(cè)標(biāo)準(zhǔn)普爾 500 指數(shù)的波動(dòng)率期限結(jié)構(gòu)

創(chuàng)建這些圖的代碼如下所示。

R代碼

該?rugarch?軟件包允許選擇擬合模型。

錯(cuò)誤

首先這是我遇到的一個(gè)問題：

?SET_VECTOR_ELT() can only be applied to a 'list', not a 'symbol'

更新這些包可以解決問題。

卸載包后，我更新了?Rcpp?和?RcppArmadillo?包。仍然不能正常工作。

再次安裝?Rcpp?后，成功了。

模型被調(diào)用?"csGARCH"?，?rugarch?兩個(gè)額外的參數(shù)被稱為?eta11?（我的符號(hào)中的ρ）和?eta21?（φ）。它的分布和常數(shù)平均值是：

1. ugarchspec(mean.model, ditrbuton,

2. ? vriane.moel)

用途如下：

1. Warning message:

2. In .makefitmodel

3. NaNs produced

警告信息似乎是關(guān)于：

1. fit$coH

2. [1] NaN

估計(jì)系數(shù)和半衰期為：

> coef

1. 


2. > halflife

?

具有方差目標(biāo)的 garch(1,1) 模型的規(guī)范是：

1. ugarchspec(mean.moel, isrition,

2. ? varane.moel,

3. ? vrince.tgtng=TRUE))

預(yù)測(cè)

一旦模型擬合好，你就可以進(jìn)行預(yù)測(cè)。

1. ugarchforecast()

2. 


一旦我們得到了預(yù)測(cè)的波動(dòng)率，我們就可以繪制它。生成圖5 的函數(shù)是：

1. 


2. ??? plot(1:20, spf}

圖 6 的函數(shù)是：

1. 


2. ??? plot(sqrt(cumsum(spe^2)/(1:20))

最受歡迎的見解

1.HAR-RV-J與遞歸神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)（RNN）混合模型預(yù)測(cè)和交易大型股票指數(shù)的高頻波動(dòng)率

2.R語言中基于混合數(shù)據(jù)抽樣(MIDAS)回歸的HAR-RV模型預(yù)測(cè)GDP增長(zhǎng)

3.波動(dòng)率的實(shí)現(xiàn)：ARCH模型與HAR-RV模型

4.R語言ARMA-EGARCH模型、集成預(yù)測(cè)算法對(duì)SPX實(shí)際波動(dòng)率進(jìn)行預(yù)測(cè)

5.GARCH（1,1），MA以及歷史模擬法的VaR比較

6.R語言多元COPULA GARCH 模型時(shí)間序列預(yù)測(cè)

7.R語言基于ARMA-GARCH過程的VAR擬合和預(yù)測(cè)

8.matlab預(yù)測(cè)ARMA-GARCH 條件均值和方差模型

9.R語言對(duì)S＆P500股票指數(shù)進(jìn)行ARIMA + GARCH交易策略