在上一篇結(jié)尾，大橋君拋出了一個問題：為什么有的國家發(fā)展的快，有的國家發(fā)展的慢呢？其實答案不難從生產(chǎn)函數(shù)中看出。在我們了解的生產(chǎn)函數(shù)中，一共有三個變量A、K和L。其中，在生產(chǎn)函數(shù)里是指不包括資本和勞動量等外來輸入的其他所有生產(chǎn)要素，比如生產(chǎn)技術(shù)，因此我們可以給它取一個新的名字，叫做全要素生產(chǎn)率（total factor of productivity TFP）。K是資本，L是勞動量。雖然在之前的生產(chǎn)函數(shù)中，我們假設(shè)是一個已知的參數(shù)，但是在現(xiàn)實情況下，A是一個變量。因此，國家的發(fā)展跟A,K和L有著密切的關(guān)系。在這一篇中，我們就先來探索一下資本的積累能不能解釋國家發(fā)展的不同。同時，資本的積累是否能成為一個國家持續(xù)發(fā)展的動力。

動態(tài)模型

讓我們先回到大橋君的豆沙面包店。因為大橋君治理有方，豆沙面包店在每年都會有盈利。為了擴大生產(chǎn)，相應(yīng)消費者的個性化需求，解決消費者不同口味的需求與面包店生產(chǎn)力不足的矛盾，大橋君決定將所有的盈利投入購買自助揉面機、自動制作豆沙面包機和自動化烤箱，通過從人工轉(zhuǎn)向人工智能的調(diào)整，豆沙面包店逐年盈利，并且大橋君將這些盈利繼續(xù)購買新的機器。到此為止，我們會發(fā)現(xiàn)，假設(shè)大橋君最初的盈利是P0，用這些盈利購入的資本是K0。買入的機器K0參與到了第二年的盈利P1，并且大橋君購買了更多的機器K1。第三年，K0和K1都參與了盈利……長此以往，大橋君就實現(xiàn)了資本的積累。這樣的過程，就給生產(chǎn)模型引入了動態(tài)變化。這就是索羅模型（Solow model）探究的內(nèi)容。

索羅模型

首先，讓我們來回憶一下柯布—道格拉斯生產(chǎn)函數(shù)

因為在索羅模型里，我們研究的動態(tài)的過程，因此我們需要通過

給Y加一個角標(biāo)進行辨認。然后，再讓我們回憶一下最早了解的兩期模型。里面提到過，人們賺到錢之后，不是消費就是存款，因此，我們可以寫出一個資源約束等式

根據(jù)大橋君的豆沙面包店的故事，我們可以看出，資本的積累

不過，回想我們之前用收入法計算GDP的公式中，我們要給機器付工資，也就是機器的折舊。因此，在下一階段的資本積累中，我們需要減掉上一階段的資本折舊才是最終積累的資本也就是

到這里，我們可以先暫停一下。讓我們先來看看資本積累的規(guī)律。我們假設(shè)大橋君的資本折舊率為0.1，初始資本是1000元，每年的投資固定為200元。

我們會發(fā)現(xiàn)，在投資一定的情況下，資本實在不斷增加的，但是增加的量越來越少。如果大橋君重復(fù)這個過程無數(shù)次，那么最后資本的變化量將無限趨近于0。因為隨著我們積累更多的資本，資本折舊也在不斷增加。資本折舊就是資本積累里的反作用力，如果我們不加大投資，在某一點上，我們就無法積累更多的資本。討論完K，我們再來看L。因為索羅模型里我們討論資本積累對于生產(chǎn)的影響，因此我們假設(shè)

是一個沒有彈性的量。最后，我們假設(shè)我們用我們?nèi)康拇婵疃歼M行投資，購買資本，因此

又因為存款占我們收入的一定比例，我們規(guī)定

為存款率，因此

最后，我們就得出了五個等式和五個未知數(shù)：