Matlab馬爾可夫鏈蒙特卡羅法（MCMC）估計隨機(jī)波動率（SV，Stochastic Volatility） 模
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波動率是一個重要的概念，在金融和交易中有許多應(yīng)用。這是期權(quán)定價的基礎(chǔ)。波動率還使您可以確定資產(chǎn)分配并計算投資組合的風(fēng)險價值（VaR）。甚至波動率本身也是一種金融工具，例如CBOE的VIX波動率指數(shù)。但是，與證券價格或利率不同，波動不能直接觀察到。
取而代之的是，它通常被衡量為來自證券或市場指數(shù)的收益或收益歷史的統(tǒng)計波動。這種類型的度量稱為已實現(xiàn)波動率或歷史波動率。衡量波動率的另一種方法是通過期權(quán)市場，在該市場中，可以使用期權(quán)價格通過某些期權(quán)定價模型來得出基礎(chǔ)證券的波動性。Black-Scholes模型是最受歡迎的模型。這種定義稱為?隱含波動性。VIX基于隱含波動率。
存在多種統(tǒng)計方法來衡量收益序列的歷史波動率。較高頻率的數(shù)據(jù)可用于計算低頻收益的波動率。例如，使用日內(nèi)收益率來計算每日波動率；使用每日收益來每周波動。人們還可以使用每日OHLC（開盤價，最高價，最低價和收盤價）來計算每日波動率。更多的學(xué)術(shù)方法包括ARCH（自回歸條件異方差），GARCH（廣義ARCH），TGARCH（閾值GARCH），EGARCH（指數(shù)GARCH）等。我們不會詳細(xì)討論每個模型及其優(yōu)缺點。相反，我們將專注于隨機(jī)波動率（SV）模型，并將其結(jié)果與其他模型進(jìn)行比較。通常，SV模型很難用回歸方法來估計。
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EUR / USD匯率
我們將以2003-2018年EUR / USD匯率的每日收盤價為例來計算每日波動率。
ask = readtable('EURUSDdaily.csv');t = ask.Time;cl = ask.close;%% 相關(guān)性檢驗rtn = double((cl - lagmatrix% - remove NaNt = t(2:en ?;n = size(rtn,1); ? ?%數(shù)據(jù)量figure('position',
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圖1. EUR / USD的每日匯率 和每日對數(shù)收益率。
圖2顯示沒有證據(jù)表明收益率存在序列相關(guān)性。最多30個之后的收益的自相關(guān)函數(shù)（ACF）和偏自相關(guān)函數(shù)（PACF）無相關(guān)性。收益率的Ljung-Box Q檢驗也未顯示明顯的自相關(guān)。
% 序列相關(guān)性檢驗figure('position',[355figure('position',[355ylabel('Return^2');
圖2.收益相關(guān)性檢驗。Ljung-Box Q檢驗（左下方）未顯示出明顯的自相關(guān)。自相關(guān)函數(shù)（右上）和偏自相關(guān)函數(shù)（右下）（紅色虛線為95％置信區(qū)間），表示沒有相關(guān)性。
但是，我們可以確定具有較大絕對收益的周期的群集。因此，絕對收益率值具有明顯的序列相關(guān)性。這在圖3的收益平方分析中得到了證實，其中ACF和PACF均顯著，并且Ljung-Box Q檢驗也強(qiáng)烈表明了序列自相關(guān)。這種相關(guān)性是由集群的波動性引起的，也就是說，波動率在某些時期（例如，2008年的金融危機(jī)）較高，而在其他時期則較低。
圖3.收益率平方的相關(guān)檢驗。
GARCH（廣義自回歸條件異方差）模型
我們首先使用經(jīng)典GARCH（1,1）模型對收益序列進(jìn)行建模
可以使用Matlab來估算GARCH（1,1）模型。圖4和5中的ACF，PACF和Ljung-Box Q檢驗未顯示出殘差中的顯著序列相關(guān)性，圖4左上方的殘差項比原始收益序列更像白噪聲。然后可以認(rèn)為GARCH（1,1）模型足以描述收益率的波動性（圖6）。
% 序列殘差相關(guān)性檢驗figure('position',[355 ? 320 ? 800 ? 400]);plotcorrstat(t,res,30,1:30)%% 繪制波動率figure('position',[355 ? 320 ? 800 ? 200]);plot(t,Vylabel('GARCH Volatility h_t');
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圖4. GARCH（1,1）模型殘差的相關(guān)性檢驗。
圖5.對GARCH（1,1）模型的殘差平方的相關(guān)性檢驗。
圖6. GARCH（1,1）模型的波動率。
馬爾可夫鏈蒙特卡洛（MCMC）
MCMC由兩部分組成。在?蒙特卡洛?部分是如何從一個給定的概率分布得出的隨機(jī)樣本，馬爾可夫鏈?部分的目標(biāo)是產(chǎn)生一個穩(wěn)定的隨機(jī)過程，稱為馬爾可夫過程。馬爾可夫過程具有以下特征：隨機(jī)過程的下一步驟的狀態(tài)僅取決于當(dāng)前步驟的狀態(tài)。這種依賴性不是確定性的。取而代之的是，由當(dāng)前概率到下一步的轉(zhuǎn)移由平穩(wěn)概率分布來描述。?
MCMC已被廣泛用于解決物理和財務(wù)問題。
隨機(jī)波動率（SV）模型
從1990年代初開始就隨機(jī)波動率建模，自1994年Jacquier，Polson和Rossi的論文首次為隨機(jī)波動率提供清晰證據(jù)以來，該模型就開始應(yīng)用。根據(jù)他們的開創(chuàng)性論文，我們編寫了SV模型，
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MCMC診斷
根據(jù)問題和設(shè)置，MCMC在序列接近目標(biāo)分布之前可能需要進(jìn)行多次迭代。如圖7所示??beta快速達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)。穩(wěn)定性之前的這些迭代稱為“預(yù)燒期”。我們運行10000次迭代。
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圖7.參數(shù)的迭代。
在MCMC過程中抽取樣本意味著連續(xù)樣本之間可能存在相關(guān)性。為了評估序列中有多少相關(guān)，我們繪制了每個參數(shù)在不同滯后的樣本自相關(guān)函數(shù)（圖8）。具有高度相關(guān)性的馬爾可夫鏈在參數(shù)空間中緩慢移動，并需要更多的迭代和更長的計算時間才能以接近目標(biāo)分布的概率訪問參數(shù)空間中的不同區(qū)域。因此，給定固定的迭代總數(shù)?，具有高相關(guān)性的馬爾可夫鏈的獨立樣本的總數(shù)小于具有低相關(guān)性的馬爾可夫鏈的獨立樣本的總數(shù)?。
我們可以通過計算?有效樣本量?（ESS）表示單個馬爾可夫鏈的參數(shù)。了解ESS后，我們可以估算?MCMC方差，它衡量MCMC接近目標(biāo)分布的精確度。顯然，需要低MCMC方差。
可以為單個參數(shù)計算ESS。但是，考慮到參數(shù)之間的潛在互相關(guān)性（我們將在下面的聯(lián)合分布圖中看到），我們計算了多元ESS，發(fā)現(xiàn)在6000個樣本中大約有517個。這些小的標(biāo)準(zhǔn)誤差表明，我們的單個MCMC序列中的樣本很好地代表了參數(shù)的目標(biāo)聯(lián)合分布。在ESS值較小（通常<100）的情況下，要么必須調(diào)整分布的參數(shù)以減少自相關(guān)，要么必須簡單地生成更多樣本（以計算時間為代價）。
可以采用用于Metropolis-Hastings算法的更復(fù)雜的提議方法來減少序列中的相關(guān)性，例如漢密爾頓式MCMC。
圖8.預(yù)燒期后參數(shù)序列的自相關(guān)。紅線表示5％的顯著性水平。
結(jié)果和討論
去除burin-in后，我們獲得了參數(shù)樣本的集合，這些樣本可以從參數(shù)的真實高維聯(lián)合分布中近似隨機(jī)抽取的樣本。然后，我們可以對這些參數(shù)進(jìn)行統(tǒng)計推斷。例如，成對參數(shù)的聯(lián)合分布和每個參數(shù)的邊緣分布如圖9所示。
使用聯(lián)合后驗分布證明采樣是合理的。但是，為不同的先驗分布的變量計算出接近形式的后驗分布將很麻煩。在這種情況下，Metropolis-Hastings采樣方法有優(yōu)勢。
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圖9.配對參數(shù)的聯(lián)合分布的散點圖和參數(shù)的邊緣分布（對角線面板）的直方圖。
從邊緣分布，我們可以估計參數(shù)的均值和標(biāo)準(zhǔn)誤
?betaalpha1alpha2sigma均值0.004-0.0530.9570.044標(biāo)準(zhǔn)誤0.0080.0080.0060.004
隨機(jī)波動率及其置信區(qū)間是通過在序列變得穩(wěn)定之后計算采樣波動率的平均值，2.5％和97.5％的分位數(shù)來獲得的。繪制在圖10中。
圖10. 4000次測試后隨機(jī)波動率的后驗均值。隨機(jī)波動率的95％的分位數(shù)之間用紅色表示置信區(qū)間。
SV模型的隨機(jī)波動總體上與GARCH模型非常相似，但參差不齊。這是自然的，因為SV模型中假設(shè)了額外的隨機(jī)項。與其他模型相比，使用隨機(jī)波動率模型的主要優(yōu)點是，波動率被建模為隨機(jī)過程而不是確定性過程。這使我們可以獲得序列中每次的波動率的近似分布。當(dāng)應(yīng)用于波動率預(yù)測時，隨機(jī)模型可以為預(yù)測提供置信度。另一方面，缺點也很明顯。計算成本相對較高。
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