對"必要性探路"方法的探索

2023-10-30 19:38 作者:現(xiàn)代微積分 0人讀過 | 我要投稿

對于含單參數(shù)恒成立的導數(shù)題，已經(jīng)算是陳題了，但其也不時會在試卷上碰到。于是這篇專欄就主要帶大家；練習對這個方法的使用。(其優(yōu)越性以及完善歷程也會囊括其中)

先來一道真題來講下這類題的常規(guī)考法：

今年(23年)的全國甲卷導數(shù)題：

第(1)問熱身，不多贅述，來看到第(2)問

等價變形得：

$%5Cforall%20x%5Cin(0%2C%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B2%7D)%2Cg(x)%3Dax-%5Cfrac%7B%5Csin%20x%7D%7B%5Ccos%5E3x%7D-%5Csin2%20x%3C0%20$

一開始這個方法的名字叫"端點效應"，顧名思義就是從代端點求出臨界值(因為在沒有反套路的題之前這類題的臨界值都是在端點的，這道題就是如此)

第一步：探路

注意到 $g(0)%3D0$ ，則原不等式成立的一個必要條件為： $g'(0)%5Cleqslant%200$

這個必要條件是保證g(x)在0的右邊附近不能遞增，這是保證了局部滿足條件，因此才說這個只是必要條件。注意這個"必要條件"的字眼，也即真正的范圍可以剛好是這時求出的范圍，也可以是比求出的范圍小，這一點從這里起就得引起重視

我們來看看如果 $g'(0)%3E%200$ ?會出現(xiàn)什么情況：

這時在0的右側(cè)附件就會遞增，于是比x稍微大一些(這個"一些"足夠小但始終有影響)時函數(shù)值就>0，因此不滿足條件，故必要條件為 $g'(0)%5Cleqslant%200$ ?。也就相當于，經(jīng)過這一波試探我們排除掉了g'(0)>0這些一定不滿足題意的情況

$g'(x)%3Da-%5Cfrac%7B2%5Csin%5E2x%2B1%7D%7B%5Ccos%5E4x%7D%20-2%5Ccos%202x$ ?

$g'(0)%5Cleqslant%200%5CRightarrow%20a%5Cleqslant%203$ ?

我們得到了這么一個必要條件，于是期望這個就是最終答案，那么就"嘗試"證明其充分性。如果成功，那么這個就是最終答案。

所以從這里開始是帶著"嘗試"去碰一下運氣的，因為具體行不行這是出題人決定的。(當然提前劇透一下，這道題是成功的)

于是就來到第二步

第二步：全參放縮

由 $a%5Cleqslant%203$ ?得：

$g(x)%5Cleqslant%203x-%5Cfrac%7B%5Csin%20x%7D%7B%5Ccos%5E3x%7D-%5Csin%202x%3Dh(x)$ ?

因為x是>0的，所以在 $a%5Cleqslant%203$ ?兩邊同乘x，不等號方向不改變，即 $ax%5Cleqslant%203x$ ?

下面我們就"嘗試"證明 $h(x)%3C%200$ ?(這就是前文提到的"嘗試"的這一步)，如果成立，那么根據(jù)不等式的傳遞性，就證明了 $g(x)%5Cleqslant%20h(x)%3C0$ ?成立

$%5Cbegin%7Balign%7D%0Ah'(x)%26%3D3-%5Cfrac%7B2%5Csin%5E2x%2B1%7D%7B%5Ccos%5E4x%7D%20-2%5Ccos%202x%5C%5C%0A%26%3D3-%5Cfrac%7B2%5Csin%5E2x%2B1%7D%7B%5Ccos%5E4x%7D%20-2(2%5Ccos%5E2x-1)%5C%5C%0A%26%3D%5Cfrac%7B-(t-1)%5E2(4t%2B3)%7D%7Bt%5E2%7D~~%7B%5Ccolor%7BGray%7D%20%7B(t%3D%7B%5Ccos%5E2x)%7D%7D%7D%20%5C%5C%0A%26%3D%20%5Cfrac%7B-(%5Ccos%5E2x-1)%5E2(4%5Ccos%5E2x%2B3)%7D%7B%5Ccos%5E4%20x%7D%5C%5C%0A%26%3C0%0A%5Cend%7Balign%7D$ ?

這里的h'(x)不用再重新求一次，直接在前面的g'(x)中賦值a=3就行了。只是后面整理的時候關于t的三次方程要試一下根，x=0時h'(x)為0，于是有(t-1)這個因式，然后長除法逐次因式分解即可

$%5CRightarrow%20h(x)$ ?在 $(0%2C%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B2%7D)$ ?遞減

于是 $h(x)%3Ch(0)%3D0$ ?

即 $g(x)%5Cleqslant%20h(x)%3C0$ ?

故范圍充分性得證

綜上，a的取值范圍為： $(-%5Cinfty%20%2C3%5D$ ?

以上是思路連帶具體過程的分析，為了方便讀者整理，以下貼出"卷面"答案(即省略思路的過程)

上面的這道題是常規(guī)的考法，那么有沒有比較坑的考法呢？有，而且也是一道真題！

20年的全國I卷導數(shù)題：

第(1)問也是熱身，求兩次導即可，來看到第(2)問

(2)

等價變形得：

$%5Cforall%20x%5Cgeqslant%200%2Cg(x)%3D%5Cmathrm%7Be%7D%20%5Ex-%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7Dx%5E3%20%2Bax%5E2-x-1%5Cgeqslant%200$ ?

按照前文的思路，我們考慮探端點： $g(0)%3D0$ ?

$g'(x)%3D%5Cmathrm%7Be%7D%20%5Ex-%5Cfrac%7B3%7D%7B2%7Dx%5E2%2B2ax-1%20%2Cg'(0)%3D0$ ?

g'(0)還是0怎么辦呢？就需要借助更高階導來判斷，也就是先看g'(x)在x=0附近的單調(diào)性從而判斷g'(x)在該附近的正負，從而判斷g(x)在x=0附近單調(diào)性，從而判斷g(x)在x=0附近正負

$g''(x)%3D%5Cmathrm%7Be%7D%20%5Ex-3x%2B2a%20$ ?

$g''(0)%3D1%2B2a%5Cgeqslant%200%5CRightarrow%20a%5Cgeqslant%20-%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%20$ ?

也就是需要保證g'(x)在x=0右側(cè)附近是遞增的，才能保證g'(x)在x=0右側(cè)附近>0，才能保證g'(x)在x=0右側(cè)附近遞增，才能保證g(x)在x=0右側(cè)附近>0

得到了這個必要條件，再進行全參放縮：

此時，

$g(x)%5Cgeqslant%20%5Cmathrm%7Be%7D%20%5Ex-%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7Dx%5E3%20-%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%20x%5E2-x-1%3Dh(x)$ ?

下面"嘗試"證明h(x)>=0,。注意我一直強調(diào)從這一步起需要"嘗試"，所以難免會失敗，比如這題就失敗了，而且在考場當下你還不自知。因為我前面說過了能否成功這是題目決定的。

我們(開啟上帝視角)來看看h(x)的圖像：

圖像在x=0右側(cè)附近確實保證了遞減，但這只是"局部"滿足呀，對于后面是什么情況我們一無所知！這題就是此法的一次重大"失效"。

既然出了問題，我們就要想辦法去解決并對此法進行完善~于是有了以下更完善的步驟：

實際上，"探路"不一定必須要代端點的，代任何一個點都能對應一個a的取值范圍，如：

$%5Cbegin%7Balign%7D%0A%26g(1)%3Da%2B%5Cmathrm%7Be%7D%20-%5Cfrac%7B5%7D%7B2%7D%5Cgeqslant%200%5CRightarrow%20a%20%5Cgeqslant%20%5Cfrac%7B5%7D%7B2%7D-%5Cmathrm%7Be%7D%5C%5C%0A%26g(2)%3D4a%2B%5Cmathrm%7Be%7D%20%5E2-7%5Cgeqslant0%5CRightarrow%20a%20%5Cgeqslant%5Cfrac%7B7-%5Cmathrm%7Be%7D%5E2%7D%7B4%7D%20%5C%5C%0A%26g(3)%3D9a%2B%5Cmathrm%7Be%7D%20%5E3-%5Cfrac%7B35%7D%7B2%7D%20%5Cgeqslant0%5CRightarrow%20a%20%5Cgeqslant%5Cfrac%7B35-2%5Cmathrm%7Be%7D%5E3%7D%7B18%7D%20%5C%5C%0A%26...%0A%5Cend%7Balign%7D$ ?

注意，上面只是舉例說明方便理解，不是真的要逐個代

那么將這些"必要條件"對應范圍取交集即可得到答案，換而言之我們就需要找到對應最小范圍的那個臨界值x

那么如何找呢？還是優(yōu)先考慮特殊情況，其中一個特殊情況也就是前面提及的端點，而還存在另一種臨界情況，也就是g(x)恰與x軸相切的情況：

也就是我們還要考慮以下這種情況，這時臨界值就不是"端點"而是"內(nèi)點"(區(qū)間內(nèi)的點)了

具體怎么求呢？

既然是與x軸相切，那就得令g(x)=0(求零點),g'(x)=0(使得零點處導數(shù)恰=0)解方程組

令 $%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Bmatrix%7D%0Ag(x)%3D%5Cmathrm%7Be%7D%20%5Ex-%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7Dx%5E3%20%2Bax%5E2-x-1%3D0%5C%5C%0Ag'(x)%3D%5Cmathrm%7Be%7D%20%5Ex-%5Cfrac%7B3%7D%7B2%7Dx%5E2%2B2ax-1%20%3D0%0A%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright.$ ?

整理得： $%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Bmatrix%7D%0A%5Cmathrm%7Be%7D%20%5Ex-%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7Dx%5E3%20-x-1%3D-ax%5E2%5C%5C%0A%5Cmathrm%7Be%7D%20%5Ex-%5Cfrac%7B3%7D%7B2%7Dx%5E2-1%20%3D-2ax%0A%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright.$ ?

兩式相比再交叉相乘得：

$-2x(%5Cmathrm%7Be%7D%20%5Ex-%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7Dx%5E3%20-x-1)%3D-x%5E2(%5Cmathrm%7Be%7D%20%5Ex-%5Cfrac%7B3%7D%7B2%7Dx%5E2-1%20)$ ?

這其實就是解方程很常規(guī)的消元思想(把a消去)

整理得： $x%5B(x-2)e%5Ex-(%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7Dx%5E3-x-2)%20%5D%3D0$ ?

所以到此你會發(fā)現(xiàn)，x=0只是其中一個臨界值而已。

對于第二項，由于e^x前面有x-2，考慮令x=2，發(fā)現(xiàn)剛好為0，因此可以對后面的3次式長除因式分解(這個x=2就是另一個隱藏得很深的臨界值)

因式分解得：

$x(x-2)%5B%5Cmathrm%7Be%7D%20%5Ex-(%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7Dx%5E2%2Bx%2B1%20)%5D%3D0$ ?

最后剩下的第3項只是試x=0了(畢竟只有當x=0時e^x的值才是有理數(shù))，這時第3項也為0(如果了解多的話就能看出第3項其實是e^x的二階泰勒展開~)

綜上，我們求出了兩個臨界值：x=0,x=2

把第一個臨界值帶進去發(fā)現(xiàn)=0，然后借助該點的逐階導數(shù)判斷，前文已經(jīng)求得這個臨界點對應的范圍： $a%5Cgeqslant%20-%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%20$ ?

再把x=2帶進去，即 $g(2)%3D4a%2B%5Cmathrm%7Be%7D%20%5E2-7%5Cgeqslant0%5CRightarrow%20a%20%5Cgeqslant%5Cfrac%7B7-%5Cmathrm%7Be%7D%5E2%7D%7B4%7D$ ?

先把這兩者取交集，即得必要條件： $a%20%5Cgeqslant%5Cfrac%7B7-%5Cmathrm%7Be%7D%5E2%7D%7B4%7D$ ?

你看看，第二個臨界值求得的必要范圍比第一個臨界值求得的必要范圍小，因此足以說明一開始只探端點的工作不夠了，所以才要考慮對該法進行如上的優(yōu)化

此時，

$g(x)%5Cgeqslant%20%5Cmathrm%7Be%7D%20%5Ex-%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7Dx%5E3%20%2B%5Cfrac%7B7-%5Cmathrm%7Be%7D%20%5E2%7D%7B4%7D%20x%5E2-x-1%3Dh(x)$ ?

再嘗試證明h(x)>=0

劇透：這時h(x)>=0就成立了

剩余的步驟就很流暢了(當然在不知道答案時還是會因"嘗試"保持一定的疑慮)

以下是證明的進一步優(yōu)化：要證明這個不等式，直接求要求3次導，有些繁瑣了，我們可以考慮使用"指數(shù)找朋友"的等價變形方法，兩邊同除以e^x，再求導，你會發(fā)現(xiàn)這時求導會方便很多。這個方法可以先參考其他視頻或資料，這篇專欄就先以"必要性探路"為主題。

于是有了以下的卷面書寫：

寫到這里已經(jīng)超過2000字，估計篇幅也有些長了，讀者們就先把必要性探路的優(yōu)化方法消化一下吧，后面還會再補充分享下另一種常見的誤區(qū)，留到下一篇專欄再講吧，先給出以下例題當練習以檢驗學習成果[滑稽]：

錦囊：其中(2)的臨界值在端點，(1)(3)的臨界值在內(nèi)點，分別為： $x%3D%5Cfrac%7B%5Cpi%20%7D%7B4%7D%2Cx%3D1%20$ ?

公布答案以便核對：

$%5Cbegin%7Balign%7D%0A(1)%5B%5Cfrac%7B%5Cpi%20%7D%7B2%7D-1%2C%2B%5Cinfty%20)%20%20%5C%5C%0A(2)%5B%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%2C%2B%5Cinfty%20)~~~~~~~%20%20%5C%5C%0A(3)%5B5-2%5Cmathrm%7Be%7D%2C%2B%5Cinfty%20)%0A%5Cend%7Balign%7D$ ?

Q.E.D.

標簽：

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對"必要性探路"方法的探索

第一步：探路

第二步：全參放縮

20年的全國I卷導數(shù)題：