單孔銷浮動初探（一）

? ? ? ?概要：本文以一簡單的單孔銷浮動案例用理論計算結(jié)果與模擬仿真計算結(jié)果做對比，驗證了仿真計算的精度，同時為我們公差仿真計算提供一個理論校核的可借鑒步驟。? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??

問題：

假設(shè)孔銷直徑公差不考慮，孔銷相切浮動時，銷在豎直方向的波動量為多少?

? ? ? 我們用DTAS3D 建立孔銷虛擬裝配和沿著豎直方向的虛擬測量，我們用蒙特卡洛法模擬5000次，動畫模擬如上圖所示，各種統(tǒng)計參數(shù)結(jié)果如下圖所示，最大值最小值為±5，均值接近0，方差為12.517，柱狀圖擬合分布曲線形狀奇特，不是正態(tài)分布。（仿真結(jié)果會隨著初始隨機種子的不同略有不同）。

仿真動畫
仿真結(jié)果

? ? ? ?本文嘗試通過嚴(yán)格的數(shù)學(xué)理論推導(dǎo)來對比模擬結(jié)果與理論計算的差異，其中主要涉及概率論與微積分等相關(guān)知識。主要知識點如下：

1.概率密度函數(shù)（pdf）累計分布函數(shù)的cdf, pdf是cdf的求導(dǎo)

2.連續(xù)性隨機變量X的期望? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

3.隨機變量函數(shù)的分布及期望方差等，如Y=g(X) 的期望

4.微分積分公式(包括三角和反三角函數(shù)等) 如arcsin x求導(dǎo)為

5.三角函數(shù)倍角公式

一、數(shù)學(xué)模型

? ? ? ?銷浮動中，在公差仿真分析中幅值方向我們經(jīng)常設(shè)為相切浮動，角度θ設(shè)為0到2Π的均勻分布，那么實際問題轉(zhuǎn)化為如下數(shù)學(xué)模型：

已知隨機變量θ的概率密度函數(shù)(pdf)為:

那么隨機變量Y=R*sinθθ∈【0，2Π】，R=5的分布形式如何呢，其方差是多少呢？

二、分布形狀即概率密度曲線的理論計算

? ? ? ?分布形狀與概率密度緊密關(guān)聯(lián)。我們要想知道Y=R*sinθ的概率密度函數(shù)，需先求出Y的累積概率分布函數(shù)F(y)，F(xiàn)(y)=P{Y≤y}=P{RSinθ≤y}=P{Sinθ≤y/R}由于sinθ在【0，2Π】上不是單調(diào)函數(shù)，故須分類討論

?1)? 當(dāng) 0<y/R<1 即 0 <y<R

2)??同理 當(dāng)-1<y/R<0 即 -R <y<0

綜上Y=R*sinθ 的累計分布函數(shù)(cdf)為：

故Y的概率密度為

其概率密度曲線如下圖所示。將之與仿真計算結(jié)果作對比可知，擬合曲線與理論計算結(jié)果吻合。

三、方差及標(biāo)準(zhǔn)差的理論計算

由于R=5，所以方差的理論值為25/2=12.5

因此標(biāo)準(zhǔn)差的理論值為

模擬仿真計算結(jié)果為3.538，仿真精度滿足工程需求。

四、工程應(yīng)用的思考

1.在一維尺寸鏈公差分析中，我們分析帶有孔銷浮動X方向的或Y方向的尺寸鏈，是否可以簡單的化為正態(tài)分布。位置度的模擬方法其實也類似，也不能簡單的用正態(tài)分布來代替。

2.文中的案例簡單，但為我們其它的公差仿真計算提供一個理論校核的借鑒步驟。即建立數(shù)學(xué)模型，然后運用數(shù)學(xué)知識求解新的隨機變量的累積分布函數(shù)、概率密度函數(shù)、期望方差等，然后與計算結(jié)果作對比。當(dāng)然了隨著模型的復(fù)雜，數(shù)學(xué)模型的建立很困難，這時候就需要借助專業(yè)軟件。大多數(shù)數(shù)值模擬仿真有一定的使用條件或假設(shè)，具備一定的理論知識對辨別計算結(jié)果的合理與否有很大的幫助。

3.有興趣的可以想一下如果案例中R也為一個隨機變量，即孔銷直徑帶有公差或孔銷不相切，結(jié)果又會怎么樣呢？后續(xù)我們繼續(xù)介紹這些背后的原理，敬請期待！