挺有用的常微分方程（二）
介紹完常微分方程的基本概況之后，我們就要開始正式研究常微分方程的各種內容了。首要的，作為一種方程，我們肯定十分關心它的解法。對于一些基本的簡單方程，自然是十分容易解出來的。當我們面臨復雜的微分方程的時候，我們就要考慮尋求其他的特殊解法，或者去考慮，如何只基于方程本身而不是去解開它來探討函數(shù)與系統(tǒng)的性質。當我們了解到了基本的解法之后，我們就可以進一步研究解的各種性質，比如唯一性及其表示法等等。并且，進一步地，我們其實還是要考慮，是否任意的方程都能夠有不平凡的解。這與我們在數(shù)學分析部分思考與討論問題的思路與過程是一樣的。
所以，我們先來看一看，對于簡單的微分方程，它的初等解法有哪些。
Chapter? Two? 一階微分方程的初等解法
2.1? 變量分離方程與變量變換
2.1.1? 變量分離方程
所謂變量分離方程，就是形如：
的方程。對于具有這樣形式的方程，我們可以做變形：
因此，就有：
于是就得到了：
在這里，我們利用這樣的方程簡要闡述一下解微分方程的基本原理。實際上，我們有兩種想法。我們都知道，想要解出微分方程，基本思路就是利用微積分之間的關系。但是，在微積分學當中，我們有兩對基本的互逆關系——求導與求原函數(shù)，求微分與求積分。如果我們將做第一次變形之后得到的等式看做是微分之間的等價關系，于是，我們就可以利用第二對互逆關系，得到微分方程的解。而如果我們考慮到微分表達式中微分元素前函數(shù)的實際意義（原函數(shù)的導數(shù)），那么我們也可以直接去求解原函數(shù)。可以看到，這兩種想法的結果是一致的。
于是，我們就能明白，解微分方程的核心，實際上就是求解對應微分元素的原函數(shù)。至于表達方式如何，只要能夠合理地表達出正確的解關系，我們并不是很在意表達形式本身。事實上，如果得到的是不定積分，那么我們需要在等號某一側加上一個任意常數(shù)；而如果是定積分，實際上也就是一個變上限積分，當初值不確定的時候，我們只不過是給出了不定積分表達方法中的任意常數(shù)的具體表達式罷了。
回到變量分離方程的求解上來，我們繼續(xù)討論問題。我們上面的解法實際上沒有考慮到一種特殊的情況：
這樣，我們就能知道，特殊的解：
也是方程的合理的解。當通解并不包含這一解的時候，我們就要將這一種情況加上去。
2.1.2??可化為變量分離方程的類型
有一些方程，形式上并不直接是變量分離方程，但是我們可以通過一些初等變換，改變函數(shù)的變量，使得方程關于新的變量是變量分離方程。比如說：
我們先考慮它的退化情形：
此時，我們可以做變形：
若令：
則有：
于是：
代回原方程，我們就得到了新的微分方程，這是一個變量分離方程：
上面的討論實際上對于任何形如：
的方程都適合。最后化成的變量分離方程的一般表達式為：
我們是可以證明這一點的，因此我們就不再多贅述了。
現(xiàn)在回到最初的問題。在我們設定的條件下，我們可以先做變換：
又：
于是這個微分方程就變成了關于新的變量的可變?yōu)樽兞糠蛛x方程的方程。
接下來我們要研究的，就是相對特殊一點的情況：
這一情況的討論就留給大家討論吧~
（討論1）
為了讓大家討論起來更容易一些，我們介紹一下第三類可化為變量分離方程的類型：
顯然，我們令：
此時，有：
于是，就有：
代回，就得到：
Chapter? Two? 一階微分方程的初等解法
2.2? 線性微分方程與常數(shù)變易法
在變量分離方程的討論基礎之上，我們進一步來討論一種特殊的方程——線性微分方程。
在變量分離方程當中，如果我們令：
我們就得到：
我們在上一篇專欄中提到過，這是一個一階線性微分方程。其實，我們可以將其拓寬為：
我們稱這一微分方程為一階非齊次線性微分方程。對應地，上一個方程稱為一階齊次線性微分方程。
一階齊次線性微分方程的解法是顯然的，因為它實際上就是一個變量分離方程。我們主要著重討論一階非齊次線性微分方程的解法——常數(shù)變易法。
我們知道，一階齊次線性微分方程的通解表達為：
我們想要討論一階非齊次線性微分方程，一個很自然的想法就是在這一通解之上做一些形式上的簡單變化，并期待變化后的形式能夠很好的符合對應的一階非齊次線性方程。
如何變化呢？我們唯一能改變的，就是參數(shù)的形式。所以，我們不妨讓非齊次方程的通解表達為：
于是，我們就得到了：
進而，我們得到了：
這是一個變量分離方程，很自然地，我們就解出了這一非齊次方程的通解：
這種假定積分常數(shù)也為對變量的函數(shù)的方法，實際上是一種常用的方法。對于一些特殊的方程，也許它未必是線性方程，但是可以嘗試一下。（可能不成功。）
我們稱這種改變積分常數(shù)的方法，稱為常數(shù)變易法。
Chapter? Two? 一階微分方程的初等解法
2.3? 恰當微分方程與積分因子
2.3.1? 恰當微分方程
我們現(xiàn)在來考慮形式更為一般的方程。設若微分方程表達為：
我們將其變形，得到：
如果我們將和“-1”分別看做是某一二元函數(shù)關于x和y的偏導數(shù)，那么這其實就是一個全微分形式的等式，等號左側是一個方程的全微分，而右側是一個常數(shù)。換句話說，如果這樣的方程有解，那么它的解的形式應該有：
更一般地，我們考慮方程：
此時，我們假設微分元素前的函數(shù)有某一矩形區(qū)域內的一階連續(xù)偏導數(shù)。
那么，很容易得到，這兩個函數(shù)應該滿足：
于是，我們就稱這一方程為恰當微分方程，因為左側的微分表達式恰應該是某一二元函數(shù)的全微分。
基于我們的假設，我們知道：
這是利用了二階混合偏導數(shù)與次序無關的結論，我們在數(shù)學分析部分已經(jīng)介紹過了。
我們現(xiàn)在就要想，如何利用這一結論來求解微分方程。
這個時候，我們就要改變一下我們的思路。我們可以將二元函數(shù)看做是其他的形式，比如含參變量函數(shù)，從而通過討論主元等方式來解決這一問題。
比如說，我們令x為主元，而y為參數(shù)，于是，我們對任意一個函數(shù)積分，就有：
此時，考慮到我們的假設，就可以得到：
即：
等號右側只是一個關于y的函數(shù)，因此等號左側也應該與x無關。即：
（命題1，只要驗證滿足一些條件，可以交換求偏導次序即可。）
這樣，我們就能得到：
于是，微分方程的解為：
類似的討論對于以y為主元也是成立的。
（討論2）
現(xiàn)在，我們繼續(xù)研究這個形式的方程。如果我們改變一下函數(shù)的標記字母，即：
左側的表達形式就能夠讓我們想到第二型曲線積分。這啟示我們，或許曲線積分的知識也可以幫助我們來求解這種形式的微分方程。
我們當然期望使用曲線積分的時候積分路徑能夠好一點。一方面，路徑不想要太復雜，能夠便于我們去積分求解；另一方面，路徑本身具有通用性，能夠對幾乎所有滿足這樣條件的微分方程的都適用。一般而言，我們都是選擇一條折線路徑：
但是，是否我們選取的路徑真的適合用來求解微分方程，以及求出的結果是否真的是微分方程的解，這是我們現(xiàn)在需要考證的。
如果路徑的選取本身并不影響曲線積分的結果，那么我們自然無需關注路徑的選取方式，只需要考慮便利性即可?；貞浺幌挛覀冊跀?shù)學分析部分介紹過的曲線積分與路徑無關的條件，我們不難發(fā)現(xiàn)，我們對微分元素前的函數(shù)的限定恰好符合四個條件的其中之一。于是，我們直接可以得到：
是方程的解。
當然，我們還有其他路徑可以選取，這就留給大家自己去研究吧~
2.3.2? 積分因子
不過，很多時候，即使微分方程具有這樣的形式，但是也不一定滿足我們所限定的偏微分條件。因此，它就不是一個恰當微分方程。這個時候，我們就沒有辦法直接使用我們上面討論出的解法。這個時候，和變量分離方程的討論類似，我們可以通過一些變換，使之稱為恰當微分方程。
由于方程右側是0，因此在方程左側乘以任何因式，都不會改變方程的核心及其解的情況。這就成為了我們尋求問題突破口的關鍵。這樣，我們就可以尋求一個函數(shù)，使之能夠做到：
是恰當微分方程。也就是說：
即：
一般而言，這一方程是一個偏微分方程，它的求解甚至會比原本的方程的求解更為復雜。因此，我們需要尋求一些特殊條件的解。畢竟，積分因子并不唯一，只要合理并且能夠達成我們的目的就可以。
比如說，我們可以認為積分因子并不含有變量y，而只與變量x相關。這樣，上面這個方程就化簡為：
從這里，我們發(fā)現(xiàn)。如果積分因子只與x相關，就必須要滿足：
是一個與y無關的函數(shù)。這樣，我們就將一種特殊的積分因子求出來了：
當然，只與y相關的積分因子的求解也類似。
Chapter? Two? 一階微分方程的初等解法
2.4? 一階隱式微分方程與參數(shù)表示
我們前面討論的方程，基本都是可以將導數(shù)與原函數(shù)和自變量分離出來的，是一個顯式微分方程（能夠表達成“導數(shù)=不含導數(shù)的函數(shù)”的形式的方程）。但是，我們很多時候也會面臨很多沒辦法顯化的微分方程，即方程只能一般表達成：
我們現(xiàn)在就要就幾種簡單的情況來討論一下如何處理這種隱式微分方程。
2.4.1? 可以解出y（或x）的方程
我們以：
為例，來表示出這類問題的基本思想。
我們令：
于是就有：
這是一個關于x與u的一階顯式微分方程，利用前面幾節(jié)的方法可以解出u。再將解出的u代回原方程，就得到了：
如果得到的是一個隱式解，那么原方程的解就是由原方程和解方程構成的方程組。
對于可以解出x的方程，留給大家來討論~
（討論3）
2.4.2? 不顯含y（或x）的方程
我們仍然以其中一種為例，另一種留給大家討論。
實際上，這樣的方程表達出來就是：
這可以理解為關于x與y'的在Oxy'平面上的曲線方程。那么，如果我們能將曲線化為參數(shù)表示：
則我們能得到：
這樣，我們就能夠將y關于t的參數(shù)表示積分求解出來，而x關于t的參數(shù)表達式已經(jīng)給定的了，那么我們就得到了方程完整的解。
那么，方程中不顯含x的情況，就留給大家討論吧~
（討論4）
那么，有關一階微分方程的初等解法，我們就討論到這里了?；旧?，我們已經(jīng)將全部內容介紹完了，剩下的內容就有待小伙伴們自己去探索啦！
思考：
完成討論1~4；
解下列微分方程：
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
（7）
（8）
（9）
（10）
（11）
（12）
求出Bernoulli方程：
的通解；
證明下列性質：
（1）一階非齊次線性微分方程的任意兩個解之差為相對應的齊次方程的解；
（2）一階齊次線性方程的某一解的常數(shù)倍與任意兩個解的和（或差）仍是該齊次方程的解；
最後の最後に、ありがとうございました！
