決策是管理者從事管理工作的基礎(chǔ)，但是決策不僅對(duì)管理重要,對(duì)人的一生都非常重要。實(shí)際上，我們每天都在做決策，不斷做出選擇, 每一個(gè)岔路的選擇都會(huì)影響后面人生的發(fā)展歷程。初中畢業(yè)生要選擇上哪所高中，高中畢業(yè)生要決定選哪個(gè)專業(yè)。 媽媽們決定讓孩子每天玩手機(jī)的時(shí)間。廚師們選擇做菜時(shí)放多少鹽。中國(guó)人民銀行對(duì)加息還是降息要要作出決策。面對(duì)疫情是采取“清零防疫”還是“與病毒共存”也需要作出決策。這些決策可能是僅僅只影響到個(gè)人，也可能是具有全球影響力的決策，還可能是介于兩者之間的。能夠做出正確的決定可以對(duì)個(gè)人的生活設(shè)置產(chǎn)生巨大的積極影響。

然而，做出正確的決定往往說起來容易做起來難。首先，假設(shè)決策者知道他們的選擇，他們需要在這些選擇中確定哪一個(gè)能夠最大程度地滿足自己的目標(biāo)。舉個(gè)簡(jiǎn)單的例子，小芳是一個(gè)高中生畢業(yè)生，她正試圖在人工智能和數(shù)學(xué)兩個(gè)專業(yè)之間做出選擇哪一個(gè)專業(yè)的決定。她需要知道她看重專業(yè)的哪些因素：個(gè)人喜好、發(fā)展空間或就業(yè)前景。小芳的目標(biāo)是選擇一個(gè)專業(yè)讓自己看重的這些因素達(dá)到最大值。 作為一個(gè)決策者, 小芳需要確定每種選擇在多大程度上滿足了他們的目標(biāo)?？墒切》既绾未_定這些她看重的因素的占比是多少呢？ 即使小芳知道人工智能和數(shù)學(xué)對(duì)是否更好滿足這些她看重的因素有明確的想法，她的判斷仍然可能表現(xiàn)出不一致性，或者可能隨著時(shí)間的推移而變化。

小芳面臨的問題就是一個(gè)多準(zhǔn)則決策問題。面對(duì)這樣的問題，決策者往往是左右搖擺。我們?cè)诨ヂ?lián)網(wǎng)上往往也看到“既要..., 又要..., 還要....”這樣的表述，實(shí)際上就是要解決這樣的問題，
也就是說要做一個(gè)決策，而且要滿足多個(gè)準(zhǔn)則。

層次分析法是解決多準(zhǔn)則決策問題的一個(gè)方法，
我在前面發(fā)了一個(gè)視頻簡(jiǎn)單介紹了這個(gè)方法，請(qǐng)看【北太天元實(shí)現(xiàn)層次分析法-以如何選購汽車為例】 https://www.bilibili.com/video/BV1Zh4y1973i/?share_source=copy_web&;vd_source=2adc5aa7a702b808eb8b31dbd210f954

這里，我不再詳細(xì)的描述層次分析法，而是給一些自己的簡(jiǎn)單理解。
這個(gè)方法用到的數(shù)學(xué)工具是 特征值和特征向量， 我感覺和page rank 算法有相通的地方。
還是拿小芳選專業(yè)的例子來說，要選擇的專業(yè)是 人工智能（AI) 和 數(shù)學(xué) (MATH)
要考慮的準(zhǔn)則有 個(gè)人喜好(love), 發(fā)展空間(space) 和 就業(yè)前景(money) ?
目標(biāo): 是選擇一個(gè)專業(yè)盡量滿足上面三個(gè)準(zhǔn)則。

如果小芳就要100%的按照 love 來選擇， 那事情就簡(jiǎn)單，就看AI和 MATH 她更喜歡哪一個(gè)了。但是往往事情沒有那么簡(jiǎn)單，作為一個(gè)不是生活在真空的人，
她往往是要“既要...又要...還要...”。 但要定量地給出來這三個(gè)因素的比例（或者歸一成
一個(gè)概率)是很難的。 我說得歸一成概率，也就是說讓我考慮1萬次，我可能5000次先考慮
的是 love， 3000次考慮是 space， 2000次考慮的是money . 那么，我們可以給出
這個(gè)三個(gè)因素的重要性是?? 0.7, 0.3, 0.2.
那這么一看，這個(gè)問題就解決了，但是往往決策的因素更多，同時(shí)給這些因素排個(gè)隊(duì)
往往很難。因此層次分析法 是通過對(duì)每?jī)蓚€(gè)因素進(jìn)行排隊(duì)，然后計(jì)算出所有因素的排序。
我們對(duì)兩個(gè)因素排隊(duì)往往相對(duì)容易很多，
例如， 在 love 和 space 之間， 你更看重哪一個(gè)因素，如果love 的重要性是1的話，
space 的重要性是幾? 而且是個(gè)選擇題, 可以選擇 1/7,1/5,1/3, 1,3,5,7 這
7個(gè)選項(xiàng)，分別表示 非常不重要， 不重要，一點(diǎn)點(diǎn)不重要，同等重要，有點(diǎn)重要，重要，非常重要。

于是我們就得到下面的矩陣 (數(shù)據(jù)通過讓小芳填寫調(diào)查表獲?。?br>??????? love??? space?? money
love???? 1?????? 1/3???? 1/7
space??? 3??????? 1????? 1/3
money??? 7??????? 3?????? 1

Input [18] >> A = [ 1?????? 1/3???? 1/7; 3??????? 1????? 1/3; 7??????? 3?????? 1]
A =
? 3x3 double
?????? 1????????????? 1/3??????????? 1/7
?????? 3????????????? 1????????????? 1/3
?????? 7????????????? 3????????????? 1
觀察這個(gè)矩陣的列和不是1，所以不能把這個(gè)矩陣?yán)斫獬梢粋€(gè)轉(zhuǎn)移矩陣，但是這個(gè)矩陣每行的
含義更加明確，我們可以把這個(gè)矩陣先轉(zhuǎn)置一下
Input [19] >> A = A'
A =
? 3x3 double
?????? 1????????????? 3????????????? 7
?????? 1/3??????????? 1????????????? 3
?????? 1/7??????????? 1/3??????????? 1
下面涉及到進(jìn)一步的如何改造這個(gè)矩陣，肯定會(huì)有人想出不同的方法，我這里借用
page rank的思想，要把A的每一列改造成一個(gè)概率分布，我們以第一列為例
A(:,1) 是 [1; 1/3; 1/7]
那么love 是最重要的，space 其次， money 最不重要，我們把這個(gè)三個(gè)數(shù)對(duì)應(yīng)到
選擇概率
例如
Input [21] >> A1 = A(:,1)
A1 =
? 3x1 double
?????? 1
?????? 1/3
?????? 1/7
Input [22] >> A1 = A1/norm(A1,1)
A1 =
? 3x1 double
????? 21/31
?????? 7/31
?????? 3/31
經(jīng)過這樣的歸一化，我們看到 [1;1/3;1/7] 被轉(zhuǎn)化成
[ 21/31; 7/31/;? 3/31]
可以看成我們選擇三種因素的概率, 我們最看重 love, 因此選擇love的概率最高，是21/31.
其它列，我們也同樣做這樣的操作, 最后得到
Input [24] >> for j = 1:3
?????? ... >>?? A(:,j) = A(:,j)/norm(A(:,j),1);
?????? ... >>?? end
Input [25] >> A
A =
? 3x3 double
????? 21/31?????????? 9/13?????????? 7/11
?????? 7/31?????????? 3/13?????????? 3/11
?????? 3/31?????????? 1/13?????????? 1/11
然后，我們計(jì)算這個(gè)矩陣的最大特征值對(duì)應(yīng)的特征向量
Input [28] >> [V,D] = eig(A)
V =
? 3x3 complex double
? 列 1 -- 2
???? -0.93866 +????????? 0i????? 0.67519 +????????? 0i
???? -0.32059 +????????? 0i???? -0.50095 +???? 0.3625i
???? -0.12705 +????????? 0i???? -0.17424 -???? 0.3625i
? 列 3
????? 0.67519 +????????? 0i
???? -0.50095 -???? 0.3625i
???? -0.17424 +???? 0.3625i
D =
? 3x3 complex double
? 列 1 -- 2
??????????? 1 +????????? 0i??????????? 0 +????????? 0i
??????????? 0 +????????? 0i? -0.00045116 +?? 0.030035i
??????????? 0 +????????? 0i??????????? 0 +????????? 0i
? 列 3
??????????? 0 +????????? 0i
??????????? 0 +????????? 0i
? -0.00045116 -?? 0.030035i
我們也觀察到計(jì)算的特征值是復(fù)數(shù)，因此我們選擇模最大的特征值對(duì)應(yīng)的特征向量,
我們僅僅取特征向量的實(shí)部
Input [29] >> v1=V(:,1)
v1 =
? 3x1 complex double
???? -0.93866 +????????? 0i
???? -0.32059 +????????? 0i
???? -0.12705 +????????? 0i
Input [30] >> v1 = real(v1)
v1 =
? 3x1 double
???? -0.93866
???? -0.32059
???? -0.12705
Input [31] >> v1 =v1/norm(v1,1)
v1 =
? 3x1 double
????? -0.6771
???? -0.23125
??? -0.091646
Input [32] >> v1 = -v1
v1 =
? 3x1 double
?????? 0.6771
????? 0.23125
???? 0.091646
最后，我們得到 love, space, money 在我們心中的重量的的數(shù)值 (這就完成了從定性分析
?? ??? ?到定量分析) :
?? ?love? 0.6771,? space 0.23125 ,? money 0.091646

下面我們就分析 AI 和 MATH 兩個(gè)專業(yè) 對(duì)各個(gè)因素來說的重要性是多大。
例如
對(duì)于 love 而言，? AI 的重要性如果是1， 那么MATH 的重要性是多大? 選項(xiàng)有
非常不重要， 不重要， 有點(diǎn)不重要， 同種重要， 有點(diǎn)重要， 重要， 非常重要
分別對(duì)應(yīng)數(shù)字? 1/7, 1/5, 1/3, 1, 3, 5, 7
于是我們得到一個(gè)矩陣
B1 = [? 1??? 5
?? ??? ??? ??? ?1/3??? 1
???????? ];
這里的數(shù)字不一定要保持很好的一致性，因?yàn)橄葐朅I 是1，小芳可能選了MATH 是 5，
但是但再次問到 MATH 是1， 小芳可能選 AI 是 1/3.
我們也要對(duì) AI 和 MATH 在 LOVE 的重要程度排序，并且給出一個(gè)重要性的一個(gè)具體數(shù)字,
我們對(duì)矩陣B1 也做轉(zhuǎn)置，變成列和是1 這樣的操作，得到
Input [37] >> B1 = [? 1?? ? ? 5
Input [37] >>????????????? 1/3??? 1
Input [37] >>????????? ];
Input [38] >> B1 = B1';
Input [39] >> for j=1:2
?????? ... >>?? B1(:,j) = B1(:,j)/norm(B1(:,j),1);
?????? ... >>?? end
Input [40] >> B1
B1 =
? 2x2 double
????? 0.16667???????? 0.25
????? 0.83333???????? 0.75
我們也求B1的模最大的特征值對(duì)應(yīng)的特征向量
Input [41] >> [V1,D1] = eig(B1)
V1 =
? 2x2 double
???? -0.70711???? -0.28735
????? 0.70711???? -0.95783
D1 =
? 2x2 double
??? -0.083333??????????? 0
??????????? 0??????????? 1
我們對(duì)模最大的特征值對(duì)應(yīng)的特征向量做一個(gè)縮放，把它變成一個(gè)概率
Input [42] >> vb1 = V1(:,2)/norm(V1(:,2),1);
Input [43] >> vb1
vb1 =
? 2x1 double
???? -0.23077
???? -0.76923
Input [44] >> vb1 = - vb1
vb1 =
? 2x1 double
????? 0.23077
????? 0.76923

那么對(duì)于 love 而言，我們就可以得到AI 的重要性是 0.23077, MATH 的重要性是 0.76923.


然后對(duì) space? 和 money 都做類似的事情，得到兩個(gè)專業(yè)對(duì)space 和 money的重要性。

最后我們總結(jié)一下
love, space, money 對(duì)目標(biāo)的重要性貢獻(xiàn)率:? a1, a2, a3
AI 和 MATH 對(duì) love 的貢獻(xiàn)?? b_{1,1}, b_{1,2}
AI 和 MATH 對(duì) space 的貢獻(xiàn)?? b_{2,1}, b_{2,2}
AI 和 MATH 對(duì) money 的貢獻(xiàn)?? b_{3,1}, b_{3,2}

最后 AI 和 MATH 對(duì)目標(biāo)的重要性的數(shù)值為
[a1 a2 a3]*[ b_{1,1}; b_{2,1}; b_{3,1}]
和
[a1 a2 a3]*[ b_{1,2}; b_{2,2}; b_{3,2}]

詳情大家可以從網(wǎng)上搜索各種資料來看，可以看到層次分析法的各種變形，
但是從page rank 借鑒而來的做法，我在別的地方還沒有查到， 而且由于時(shí)間
所限，我也沒有對(duì)各種方法做比較。 歡迎感興趣的朋友們進(jìn)一步研究。