? 在上文中得出了對于形如 的函數(shù)分析量綱時

? 那么對于最熟知的兩種變換——拉普拉斯變換和傅里葉變換。

先來看傅里葉變換的一個例子，如果對于進行傅里葉變換則，利用在上文中所提到的

令就可以輕易得到。所以由此可見，在變換中的一些問題，也可以量綱來做分析有一個更加深入的了解。

? 因為虛數(shù)也是無量綱數(shù)，所以在接下來的分析中可以避免出現(xiàn)復(fù)數(shù)。下文中用拉普拉斯變換來進行分析。???可以發(fā)現(xiàn)由于，所以也就是說，經(jīng)過拉普拉斯變換成功把時域函數(shù)轉(zhuǎn)變?yōu)閺?fù)頻域函數(shù)，變換前的函數(shù)稱之為原函數(shù)，變換后的函數(shù)稱之為象函數(shù)。

? 而拉氏變換通常情況下有幾種常用的性質(zhì)，首先可以利用積分是線性變換來證明拉普拉斯變換的線性性質(zhì)：。其次在對拉氏函數(shù)?進行微分或者積分的操作時，也會有對于量綱的平衡。微分性質(zhì)寫作,可以得知由于，所以量綱減少了所以在象函數(shù)中需要乘來使兩邊的量綱保持不變。對于后面的，由于拉普拉斯變換在時域上是使量綱增加了t，所以在處應(yīng)該是量綱減少了，在求導(dǎo)次數(shù)增加時以此類推。證明：，進行分部積分可以得到，由于存在性原理可以得到，因此可以得到的遞推式，然后經(jīng)過n次迭代，就可以得到上述微分性質(zhì)。

? 相應(yīng)的積分性質(zhì)寫作?由此可以直觀看出對于n重積分，量綱就增加了所以在轉(zhuǎn)變?yōu)轭l域時一定要乘?來平衡量綱。證明：由于已經(jīng)有了上面的微分性質(zhì)，所以可以考慮一個換元：，顯然可以得到初值，帶入到上面的結(jié)論就可以得到，在經(jīng)過n次迭代就可以得到積分性質(zhì)。這也正好對應(yīng)了上面的微分性質(zhì)，這樣就可以粗略看出對于原函數(shù)積分或者微分過后的的象函數(shù)，大約就是用乘或除來保持原有量綱平衡并不影響原拉氏變換后的象函數(shù)。

? 接下來就是時域和頻域上的平移和尺度伸縮：1.時移性 2.頻移性 3.尺度變換。

1. 時移性表現(xiàn)為原函數(shù)變?yōu)?img type="latex" class="latex" src="http://api.bilibili.com/x/web-frontend/mathjax/tex?formula=f(t-t_0)" alt="f(t-t_0)">，即時間上的初始位置平移。證明：令，

2. 頻移性表現(xiàn)為原函數(shù)變?yōu)?img type="latex" class="latex" src="http://api.bilibili.com/x/web-frontend/mathjax/tex?formula=e%5E%7Bat%7Df(t)" alt="e%5E%7Bat%7Df(t)">，即復(fù)頻域上的變量平移，證明：

3. 尺度變換表現(xiàn)為時域函數(shù)的時間縮放映射到復(fù)頻域函數(shù)的變量縮放，證明：

   以上可以發(fā)現(xiàn)，平移不改變量綱而伸縮改變長度。所以需要用來平衡掉多出來的量綱。

   ? 而對于熟知的函數(shù)最友好的便是多項式函數(shù)，所以可以用多項式函數(shù)先來舉例子。當時，，這樣就可以利用n次分部積分法來解得。此時可以輕易的發(fā)現(xiàn)所以對進行拉氏變換后必須有這一項，分子上面的階乘則代表了分部積分的次數(shù)。