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原文出處：拓端數(shù)據(jù)部落公眾號

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這篇文章是關于 copulas 和重尾的。在全球金融危機之前，許多投資者是多元化的。
看看下面這張熟悉的圖：

?

黑線是近似正態(tài)的。紅線代表Cauchy分布，它是具有一個自由度的T分布的一個特殊情況。也許是因為Cauchy和t分布混在一起。我們總是可以計算出經(jīng)驗方差。請看下圖。這是對1自由度的t分布（紅色的Cauchy分布）和5自由度的t分布（藍色）的模擬結(jié)果。

為了比較不同的尾部行為，我們有我們所謂的尾部指數(shù)。簡而言之，在幾乎任何分布中，某個閾值之后的觀測值（比如說最差的5%的情況下的觀測值）都是漸進式的帕累托分布。

??

其中x_m是截止點，α將決定尾巴的形狀。α也被稱為尾部指數(shù)。

現(xiàn)在大家都知道，金融收益呈現(xiàn)出厚尾。這使得保持投資組合為左尾事件做好準備變得更加重要，因為在那個區(qū)域，由于相關性的增加，你會同時受到所有資產(chǎn)的影響（正如金融危機所證明的那樣）。在這個討論中，copulas發(fā)揮了重要的作用。copulas的概念是相當巧妙的。copula這個詞起源于拉丁語，它的意思是捆綁。當我們有兩個（或更多）資產(chǎn)類別的收益，我們可以假設或模擬它們的分布。做完這些之后，我們可以把它們 "粘貼 "在一起，只對相關部分進行建模，而不考慮我們最初對它們各自分布的建模方式。怎么做？
?

我們從英國統(tǒng)計學家 Ronald Fisher 開始，他在 1925 年證明了一個非常有用的性質(zhì)，即任何連續(xù)隨機變量的累積分布函數(shù)都是均勻分布的。形式上，對于任何隨機變量 X，如果我們表示?

?作為 X 的累積分布，則?

。請記住，當我們說?

?，它僅意味著概率，?

。這就是 [0,1] 的來源，因為它只是一個概率。從三種不同的分布進行模擬：指數(shù)、伽瑪和學生-t，變換它們并繪制直方圖：

1. 


2. par(mfrow=c(3,1)) # 分割屏幕

3. 


4. apply(tm, 2, hist,xlab="", col = "azue") # 繪制

您可以通過這種方式轉(zhuǎn)換任何連續(xù)分布?，F(xiàn)在，將兩個變換后的隨機數(shù)表示為?

?和?

. 我們可以將它們“綁定”（copula）：?

. 其中，?

?是一些函數(shù)，并且因為原始變量是“不可見的”（當我們將其轉(zhuǎn)換為 Uniform 時消失了），所以我們現(xiàn)在只討論兩個變量之間的相關性。例如?

?可以是具有一些相關參數(shù)的二元正態(tài)分布。我不會在這里寫出雙變量正態(tài)密度，但它只是一個密度，因此，它將說明在中心地帶觀察到兩個變量在一起的概率，和/或在尾部一起的概率。這是繞過原始變量的分布，只談相關結(jié)構的一種方式。

現(xiàn)在讓我們對金融和消費必需品之間的相關結(jié)構進行建模。從拉取數(shù)據(jù)開始：

1. 


2. 


3. da0 = (getSymbols(sym[1])

4. 


5. 


6. for (i in 1:l){

7. 


8. da0 = getSymbols

9. w <- dailyReturn

10. w0 <- cbind(w0,w1)

11. 


12. }

13. 


14. 


15. apply(rt0, 2, mean) # 定義平均數(shù)

16. 


17. apply(rt0, 2, var) # 和標準差

18. 


19. 


20. 


21. cor(et0) # 無條件的相關關系。

22. 


我們現(xiàn)在要做的是按照討論的方法對數(shù)據(jù)進行轉(zhuǎn)換（稱之為概率積分轉(zhuǎn)換），并將其繪制出來。同時，我們模擬兩個具有相同（量化-非條件）相關性的隨機常模，并比較這兩個數(shù)字。?

1. 


2. desiy <- kde2d

3. 


4. contour

5. 


6. # 現(xiàn)在從兩個具有相同相關性進行模擬。

7. 


8. 


9. 


10. smnom <- rmvnorm

11. 


12. trnorim_rm <- appl

13. mdni_im <- kde2d

14. plot

15. contour

16. title

?

乍一看，這兩個數(shù)字看起來差不多。但更詳細的觀察發(fā)現(xiàn)，角落更快地收斂到（0,0）、（1,1）坐標。這也是由這些區(qū)域的深色等值線顏色表明的。請記住，模擬數(shù)據(jù)使用的是與真實數(shù)據(jù)相同的經(jīng)驗相關性，所以我們在這里討論的其實只是結(jié)構。

現(xiàn)在讓我們生成一個copula函數(shù)

，我們可以用它來 "包裹 "或 "捆綁 "我們的轉(zhuǎn)換后的收益。我們定義了一個重尾（df=1）和一個輕尾（df=6）的copula。我們可以直觀地看到這個函數(shù)實際上是什么樣子的。這樣做的方式與我們可視化正態(tài)密度的方式差不多，但現(xiàn)在因為它是一個雙變量函數(shù)，所以它是一個三維圖。
?

1. she <- 0.3

2. 


3. 


4. persp(colahevy)

接下來你可以看到通常的相關性度量是相同的，除了尾部指數(shù)，因為我們只討論結(jié)構，而不是大小。

1. tau(colight)

2. 


1. tau(coheavy)

2. 


1. 


2. 


3. rho(colight)

4. 


5. 


?

1. 


2. rho(copheavy)

3. 


4. 


1. 


2. tailIpulight)

3. 


1. 


2. tailIheavy)

3. 


上下尾不一定相同。這只是 t-copula 是對稱函數(shù)的一個特征。在應用中，應該使用更真實的非對稱 copula。

現(xiàn)在我們定義邊緣，并估計 copula 參數(shù)。為簡單起見，我為收益定義了 Normal 邊緣分布，但 copula 仍然是 t-dist 且重尾：

1. # 用從數(shù)據(jù)中估計的參數(shù)來定義你的邊際。

2. 


3. copurmal <- mvdc

4. 


5. # 擬合copula。這個函數(shù)的默認值是隱藏警告，所以如果發(fā)生錯誤。

6. 


7. # 添加 "hideWarnings=FALSE"，這樣它就會告訴你是否有什么錯誤

8. 


9. coporm <- fitMvdc

10. 


11. 


12. 該函數(shù)返回一個有那些可用的S4類。

13. 


14. 


15. 


16. copurm@mvc@cpla

17. 


18. coporm@estiat

19. coporm@fittng.sas

20. 


21. coporm@va.st

22. 


23. print

24. summary

1. est <- coeffic # 我們自己的估計值

2. 


3. mycop <- mvdc

4. 


5. # 從擬合的copula進行模擬

6. 


7. simd <- rMvdc

8. 


9. plot

10. 


相關結(jié)構看起來還不錯--但你肯定可以看到正態(tài)邊緣是不夠的，有幾個黑點（真實數(shù)據(jù)）在紅色模擬簇之外。

順便提一下，現(xiàn)在我們也可以估計那些沒有預先指定形狀的copulas，比如正態(tài)或t，但它們本身就是估計。這屬于 "非參數(shù)copulas "這個更復雜的主題。

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