先聊聊伯努利方程的解法，再聊點(diǎn)彈性的運(yùn)算，最后介紹曼昆的第六條原理。

開始學(xué)習(xí)——

part 1 同濟(jì)《高等數(shù)學(xué)》常微分方程部分

昨天我們聊了一階線性微分方程的解法，今天我們來(lái)聊一種可以轉(zhuǎn)化為一階線性微分方程的一階非線性微分方程——伯努利方程。

伯努利方程——形如dy/dx+P（x）y=Q（x）y^n的微分方程——其中n不為0、1。

解法——

1. 做一個(gè)簡(jiǎn)單的變換我們就可以把它轉(zhuǎn)化為一階線性微分方程——兩邊同時(shí)除以y^n，將方程變形為——[y^（-n）]dy/dx+P（x）[y^（1-n）]=Q（x）；

2. 令z=y^（1-n），dz/dx=[（1-n）y^（-n）]（dy/dx），[y^（-n）]dy/dx=[1/（1-n）]dz/dx；

3. 將2中各式代入1，得到——[1/（1-n）]dz/dx+P（x）z=Q（x）；

4. 將3中式子乘以（1-n），得到——dz/dx+（1-n）P（x）z=（1-n）Q（x）；

5. 第4步所得式子即為關(guān)于x的函數(shù)z的一階線性微分微分方程，我們按照解一階線性微分方程的方法接出z，y=z^[1/（1-n）]。

這就是伯努利方程的解法。

part 2.1?經(jīng)濟(jì)學(xué)概念——高鴻業(yè)

高鴻業(yè)《西方經(jīng)濟(jì)學(xué)》第二章第五節(jié)：彈性——

第五節(jié)引入彈性的概念——

彈性——一般來(lái)說(shuō)，只要兩個(gè)經(jīng)濟(jì)變量之間存在函數(shù)關(guān)系，我們就可用彈性來(lái)表示因變量對(duì)自變量變化的反應(yīng)敏感程度。

彈性一般公式——彈性系數(shù)=因變量的變動(dòng)比例/自變量的變動(dòng)比例。

弧彈性公式——e=（ΔY/ΔX）（X/Y）——e：彈性系數(shù)，ΔX、ΔY變量X、Y的變動(dòng)值。

點(diǎn)彈性公式——ΔX趨于0時(shí)，e=lim?（ΔY/ΔX）（X/Y）=（dY/dX）（X/Y）——極限值。

——前面的筆記有點(diǎn)錯(cuò)，這里修正了。

需求的價(jià)格彈性含義——表示在一定時(shí)期內(nèi)一種商品的需求量變動(dòng)對(duì)于該商品的價(jià)格變動(dòng)的反應(yīng)程度；或者說(shuō)，它表示在一定時(shí)期內(nèi)一種商品的價(jià)格變化百分之一時(shí)所引起的該商品的需求量變化的百分比。

需求的價(jià)格彈性公式——需求的價(jià)格彈性系數(shù)=需求量變動(dòng)率/價(jià)格變動(dòng)率。

需求的價(jià)格彈性分兩種——弧彈性和點(diǎn)彈性，今天來(lái)介紹第二種——

點(diǎn)彈性——當(dāng)需求曲線上兩點(diǎn)之間的變化量趨于無(wú)窮小時(shí)，需求的價(jià)格彈性要用點(diǎn)彈性來(lái)表示；也就是說(shuō)，它表示需求曲線上某一點(diǎn)的需求量變動(dòng)對(duì)于價(jià)格變動(dòng)的反應(yīng)程度。

點(diǎn)彈性公式——ΔP趨于0時(shí)，ed=lim[-（ΔQ/Q）/（ΔP/P）]=-（dQ/dP）*（P/Q）。

需求的價(jià)格點(diǎn)彈性的計(jì)算——給一個(gè)需求函數(shù)，給出一點(diǎn)的價(jià)格P；dQ/dP即為該函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，由函數(shù)求出這一次點(diǎn)需求量Q；代入公式即可。

需求的價(jià)格點(diǎn)彈性的幾何意義——

A.線性需求函數(shù)——即圖像為一條直線

1. 線性需求曲線上的任何一點(diǎn)的彈性，都可以通過(guò)該點(diǎn)出發(fā)向價(jià)格軸或數(shù)量軸引垂線的方法來(lái)求得——

2. 在線性需求曲線上的點(diǎn)的位置越高，相應(yīng)的點(diǎn)彈性系數(shù)值就越大；……越低，……越??；

3. 與Q軸交點(diǎn)ed=0，與P軸交點(diǎn)ed=∞——由斜率可知——

4. 平行于Q軸的需求曲線每一點(diǎn)的點(diǎn)彈性均為無(wú)窮大；

5. 平行于P軸的需求曲線每一點(diǎn)的點(diǎn)彈性均為零。

B.非線性需求函數(shù)——圖像為曲線

1. 曲線的不同形狀和曲線上的點(diǎn)的位置不同，都會(huì)影響需求點(diǎn)彈性系數(shù)值的大??；

2. 直角雙曲線每一點(diǎn)的點(diǎn)彈性均為1，——形如Q=K/P（其中K為大于零的常數(shù)）——不管價(jià)格的變化率為多少，需求量總是以相同的比率呈反方向變化——反比例函數(shù)。

需求曲線的斜率和需求的價(jià)格彈性——

1. 彈性沒有單位，斜率可以有；

2. 價(jià)格點(diǎn)彈性不僅取決于需求曲線斜率的倒數(shù)dQ/dP，還取決于一點(diǎn)的價(jià)格-需求量比值P/Q。

part 2.2?經(jīng)濟(jì)學(xué)概念——曼昆

我們來(lái)逐一介紹曼昆《經(jīng)濟(jì)學(xué)原理》上的原理，曼昆的經(jīng)濟(jì)學(xué)的十條原理第六條：

markets are usually a good way to organize economic activity貿(mào)易是更好的組織經(jīng)濟(jì)活動(dòng)的方式——對(duì)應(yīng)高鴻業(yè)書上第4條?市場(chǎng)是聯(lián)系與組織人類分工和交易的紐帶——

1. 計(jì)劃經(jīng)濟(jì)認(rèn)為只有政府可以調(diào)節(jié)經(jīng)濟(jì)活動(dòng)以達(dá)到更好的效果，市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)認(rèn)為市場(chǎng)可以更好地調(diào)節(jié)經(jīng)濟(jì)；

2. 乍一看不合理，因?yàn)槭袌?chǎng)仿佛無(wú)目標(biāo)；

3. 但是亞當(dāng)斯密提出來(lái)“看不見的手”，價(jià)格是這只手的工具，用來(lái)調(diào)節(jié)經(jīng)濟(jì)。

明天繼續(xù)！