命題3.9：

如果圓內(nèi)一點(diǎn)向能向圓上引兩條以上相等的線段，那么該點(diǎn)是該圓的圓心

已知：圓ABC，點(diǎn)D在圓ABC內(nèi)，由點(diǎn)D向圓上引AD=BD=CD

求證：點(diǎn)D是圓ABC的圓心

解：

連接AB，BC

（公設(shè)1.1）

取AB，BC中點(diǎn)E，F(xiàn)

（命題1.10）

過點(diǎn)D，點(diǎn)E作直線交圓ABC于點(diǎn)G，K

（公設(shè)1.1）

過點(diǎn)D，點(diǎn)F作直線交圓ABC于點(diǎn)H，L

（公設(shè)1.1）

證：
∵點(diǎn)D是圓ABC的圓心

（已知）

∴AD=BD

（定義1.15）

∵AE=BE，DE公用

（已知）

∴△ADE≌△BDE，∠AED=∠BED

（命題1.8）

∴∠AED，∠BED是直角

（定義1.0）

∴DE⊥AB

（定義1.10）

∵點(diǎn)E是AB中點(diǎn)

（已知）

∴圓ABC的圓心在直線DE上

（命題3.1推論）

同理可證，圓ABC的圓心在直線DF上

∵DE，DF交于點(diǎn)D

（已知）

∴點(diǎn)D是圓ABC的圓心

證畢

此命題將在命題3.25中被使用

PS：此命題實(shí)際上包含在命題3.7中，但在此命題中歐幾里得并沒有直接使用命題3.7進(jìn)行反證