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這篇文章分析 Rayleigh 衰落信道下的誤比特率，在 AWGN 信道誤比特率的基礎(chǔ)上推導(dǎo)有 Rayleigh 衰落情況下的誤比特率。

發(fā)送符號(hào) x 用 BPSK 調(diào)制，h 是復(fù)高斯分布的隨機(jī)變量，其中每一維度（實(shí)部和虛部）是滿足均值為 0 ，方差為 1/2 的高斯分布，則 h 的模長(zhǎng)的平方，符合 Rayleigh 分布：

如果信號(hào)的能量為 Es， 不考慮 h 情況下的信噪比為：

考慮 h 后，信噪比就變成


其中? a = |h|,? 根據(jù)高斯白噪聲信道下 BPSK 調(diào)制后的誤比特率公式：

而 h 本身也是隨機(jī)變量，所以，再根據(jù) h 的概率分布，計(jì)算 公式 (1) 下的平均誤比特率：


把 (2) 代入 (6) 有：
把 Q 函數(shù)也代入 (7):

對(duì)公式 (8) 的內(nèi)層積分做積分變量代換，令:

?則公式 (8) 變成（第二個(gè)等號(hào)是做積分順序交換）：

公式 (9) 的最內(nèi)層積分中，我們令

則公式 (9) 變成：

公式 (11) 中的內(nèi)層積分，就是均值為 0 ，方差為? 的高斯分布的方差，則公式 (10) 就推導(dǎo)為：

將 (10) 代入 （12）有：

對(duì)公式 (13) 的積分再做變量代換，令：
則當(dāng)：


則公式 (13) 變成：

其中：

以及

把公式 (17)(18) 代入公式 (16) 有：

其中

則：

把 (20) 代入 （19）得到：

注意： 很多教科書(shū)和資料中，公式 (21) 是寫成：

那是因?yàn)閷?duì)信道系數(shù) h 的統(tǒng)計(jì)特性，有不同的假設(shè)，即假設(shè)均值為 0 ，方差為 1 的，也就是公式 （2）變成：




另外需要注意的是，使用 (2) 和 (22) 的公式得出的曲線，這兩個(gè)是會(huì)不一樣，因?yàn)?h 的概率分布變了，自然誤比特率也有不同。