? ? ? ?什么是純擴(kuò)域？“純”是一個(gè)形容詞，形容后面的詞語“擴(kuò)域”。什么是擴(kuò)域？“擴(kuò)”是一個(gè)動詞，作用在后面的“域”上，那什么是域呢？

? ? ? ? 域是一個(gè)數(shù)學(xué)概念，如果有一堆數(shù)，這些數(shù)之間任意有限加減乘除的結(jié)果還在這堆數(shù)內(nèi)(當(dāng)然，除數(shù)不能為零)，那么，這些數(shù)被稱作一個(gè)數(shù)域。

? ? ? ? ?順便提一句，如果一些東西在某運(yùn)算后的結(jié)果仍在這些東西內(nèi)。我們就稱這些東西對某運(yùn)算封閉。例如，上面的表述可以寫成：數(shù)域是對加減乘除封閉的數(shù)集。

? ? ? ? 跑題了，我們接著講。首先，有理數(shù)就是一個(gè)數(shù)域，任意有理數(shù)有限加減乘除肯定蹦不出個(gè)根號2。實(shí)數(shù)自然也是。但是，整數(shù)不屬于數(shù)域，例如3除以2，結(jié)果就是分?jǐn)?shù)，不是整數(shù)。

? ? ? ? ?事實(shí)上，有理數(shù)域是所有數(shù)域中最小的，實(shí)數(shù)就要大一些，那就有一個(gè)問題出現(xiàn)了，有沒有比有理數(shù)域大，比實(shí)數(shù)域小的數(shù)域呢？

? ? ? ? ?是有的！例如由形如a+b√2的數(shù)(其中a,b都是有理數(shù))?組成的數(shù)域，很明顯它比有理數(shù)大，比實(shí)數(shù)小，那它是否為域呢？加減很好說，乘除呢，也是一樣，你們可以驗(yàn)算一下，這里就給出乘法的結(jié)果。

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? ? ? ? 好，既然它是一個(gè)域，而且是從有理數(shù)中加入√2擴(kuò)充而來的，如果有理數(shù)域記做Q，我們就把它記為Q(√2)。并把這種擴(kuò)充叫做擴(kuò)域。

? ? ? ? 實(shí)際上，?不光√2，像√3，√5，乃至三次根2，四次根2.......等等等等，在有理數(shù)域中加入這樣的數(shù)依然可以構(gòu)成域，也是一個(gè)擴(kuò)域。

? ? ? ? 講到這，純擴(kuò)域的定義也就呼之欲出了：把一個(gè)數(shù)域中的某個(gè)數(shù)開n次方，且得到的數(shù)不屬于原來的域(防止類似√4＝2的情況導(dǎo)致原域不變)，那么把加入這樣的數(shù)形成的擴(kuò)域稱為n次純擴(kuò)域。

? ? ? ? 純擴(kuò)域可以應(yīng)用到方程上，例如，所謂根式可解，就可以理解成方程的根所在的域在方程系數(shù)的域不斷純擴(kuò)域的結(jié)果里。這可以解釋為啥方程的根是根號套根號的形式，歷史上，伽羅瓦就是通過這種方式探到了五次方程不可解的奧秘，這里就不細(xì)談了。

? ? ? 如本文有錯漏，請第一時(shí)間在評論里回復(fù)，謝謝。

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