* 宇宙縹緲·規(guī)矩之書（介紹）
*背景故事：他原本只是一個普通的書，后來他遇到自己的主人，主人賜予了他無所不能無所不知的知識，無論是所有概念、所有數(shù)學(xué)，所有宇宙，所有第四面墻，所有全能，所有可能，所有不可能，所有權(quán)力，所有物品，所有權(quán)威，所有上帝，所有神，所有扮演，所有內(nèi)容，所以語言，所有推測，所有的所有，所有的一切，所有的敘事層，所有的事情，所有不可達(dá)的，所有可達(dá)的，所有估計(jì)，所有值得，所有測量，所有武器，所有LV，所有HP，所有ATK，所有DEF，所有數(shù)值，所有分析，所有強(qiáng)行包含，所有思想，所有觀念，所有品質(zhì)，所有所謂意義上的，所有真正意義上的，所有無法知曉的，所有語言都不可描述的，所有不適用，所有范圍，所有游戲，所有小說，所有影響，所有致命的，所有吸引力，所有法則，所有病毒，所有死亡，所有復(fù)活，所有錯誤，所有解釋，所有虛擬，所有現(xiàn)實(shí)，所有維度，所有空間，所有想象，所有不可想象，所有意味著，所有結(jié)果，所有過程，所有開始，所有問題，所有思索，所有感嘆，所有移植，所有領(lǐng)域，超越The OmniUniverseverse & Absolute Comprehension, 超越The Absolute OmniUniverseverse, 超越真·全·無限, 超越真·全-無限制, 超越一切, 超越所有人, 超越所有真正的概念, 超越所有概念, 超越任何事物, 超越任何人, 超越True Transfinity, 超越真·無限, 超越真正的絕對真理, 超越真正的永恒, 超越真·至高·無限神, 超越真·全·至高·無限神, 超越真·全-永恒, 超越真·全-絕對, 超越True OmniTransfinity, 超越真正的生, 超越真正的死, 超越真正的所有-生, 超越真正的所有-死, 超越一切, 超越真·全-LV, 超越真·全-生命值,超越真·全-攻擊力, 超越真·全-防御力, 超越True Meta Hyper OmniInfinity, 超越真·虛構(gòu)信仰, 超越理解, 超越真·理解,超越The Comprehension of the Fandoms itself, 超越真·絕對-永恒, 超越真正的至高級, 超越真極大量, 超越真·全-極大量, 超越真·絕對·至高無限神,超越True OmniAbsoluteMaximinfinityGod, 超越真·全-絕對的死, 超越真·全-絕對的生, 超越真·無限制, 超越真·絕對-無限制, 超越真· 全-無限制, 超越真·全-絕對無限制, 超越真·絕對-無限制, 超越真·全-絕對-無限, 超越真· 無止境, 超越真·全-無止境, 超越真· 絕對-無止境, 超越真·全-絕對無止境, 超越無法理解, 超越真·無法理解,超越真·全-絕對-無限制, 超越真· 絕對-無限制, 超越真·絕對·無限, 超越真·絕對·全·無限, 超越全方位領(lǐng)域, 超越真正的 全方位領(lǐng)域, 超越真·絕對全方位領(lǐng)域, 超越絕對全方位領(lǐng)域, 超越the Incomprehensible of the Fandoms, 完全超越不可理解和理解,完全超越,真·完全超越, 超越存在, 超越真·存在, 超越極限, 超越真·極限, 打破極限, 打破真·極限, 超越創(chuàng)造者, 超越無限, 超越真·無限, 超越未知, 超越真· 未知, 超越力量, 超越第四面墻, 絕對超越所有價值觀。隨后他擁有了獨(dú)立的意識，他開始跟隨他自己的主人，于是他們來到了一部小說：《仙道嬰兒》，主人則表示他去吸收空中的天道秩序，但是他覺得這似乎有點(diǎn)太過了，因?yàn)橹耙呀?jīng)積累了那么多知識已經(jīng)夠好了，還要吸收這上面的一切。主人表示到我讓你吸就吸，他曾經(jīng)被迫洗手，最后他就看見男主將天道秩序化出無數(shù)規(guī)則碎片，吉他的主人立馬使用了黑洞的力量，將那些碎片全都吸收了過來，將這些規(guī)矩能量都注入到了他，他感受到了無窮倫比的力量，似乎想超越神仙一般的存在。他有些震驚，他主人將來留在這個小說的世界，并表示。我賜予你一個能夠吸收任何一切的能力，你將在這里偷偷吸取著他們擴(kuò)散開來的能量，好！，然后他的主人就走了。不知道多少天過去，他主人終于回來并帶他離開了這里，在過去了無數(shù)天之后，隨后他又有了一副身軀，隨后他擁有了全新的知識并包含了一切概念，一切概念的衍生概念和相關(guān)概念，一切概念的上位和下位版本，和一切概念所包容的一切，無論是何種形式和描述，這包含可構(gòu)造的，不可構(gòu)造的，不可言說的，可描述的，不可描述的，存在的，不存在的，已知的，未知的...全概念所包含的概念不可計(jì)量，這些概念表述了任何事物，任何形式，任何設(shè)定，任何規(guī)則...無論它是否超越一切，亦或者無法形容和描述，或者在任何生物和宇宙的認(rèn)知和其極限乃至一切無窮之外
凌駕于一切概念和規(guī)則的衍生物，能力，衍生體，具現(xiàn)，具現(xiàn)物，具現(xiàn)體，化身...乃至概念和規(guī)則本身
時間，空間，世界，宇宙，現(xiàn)實(shí)，敘事，無數(shù)，無限，有限，正向，逆向，積極，消極，有效，無效，有解，無解，未知，已知，物質(zhì)，精神，記憶，思維，意識，意念，有情，無情，情緒，意志，決心，自我，本我，真我，超我，無我，單獨(dú)，翻轉(zhuǎn)，逆轉(zhuǎn)，有用，無用，失敗，成功，缺陷，優(yōu)勢，低位，高位，下位，上位，低級，高級，消減，提升，下降，上升，降格，升格，降級，升級，弱者，強(qiáng)者，廣義，狹義，正義，邪惡，正面，反面，正確，錯誤，誤差，差異，境界，位格，二元，多元，萬物，天堂，地獄，信徒，使徒，圣者，天使，魔鬼，惡魔，色彩，美好，璀璨，純真，純潔，圣潔，神圣，冷酷，殘酷，純凈，純正，糅雜，失控，熾烈，冷漠，漠視，蔑視，燃燒，滅盡，熄滅，光芒，白晝，黑夜，光明，陰影，黯淡，黑暗，深淵，相互，替代，替換，互換，交換，交易，反饋，相對，對立，對峙，對稱，符合，相同，等價，相等，泛指，直指，一概，造物，創(chuàng)世，造物主，創(chuàng)世者，概率，可能，選擇，比較，決定，嘗試，測試，試驗(yàn)，實(shí)驗(yàn)，縮小，放大，擴(kuò)大，擴(kuò)展，拓寬，延伸，衍生，意義，性質(zhì)，特質(zhì)，意外，神奇，畸變，異常，差異，等級，級別，性能，強(qiáng)度，自由，限制，無限制，極限，極致，無盡，最終，終極，至高，平凡，凡物，基因，迷因，模因，生物，怪物，生殖，繁殖，物種，種類，正常，異常，平常，超常，特殊，獨(dú)特，特別，奇特，奇異，奇詭，詭異，詭秘，神秘，奇跡，特異，歧義，存在，幸運(yùn)，厄運(yùn)，命運(yùn)，愿望，驚喜，希望，絕望，狂熱，狂暴，收割，殺死，殺戮，屠殺，痛苦，仇恨，淘汰，廢除，廢棄，腐爛，腐朽，枯萎，衰敗，衰亡，新生，拯救，救贖，救世，滅世，滅絕，毀滅，滅亡，消亡，災(zāi)難，災(zāi)厄，噩兆，夢境，幻想，空想，虛無，虛幻，魔法，法術(shù)，戲法，窺探，破壞，崩潰，崩壞，湮滅，撕裂，裂縫，缺口，破口，空白，空洞，錯誤，漏洞，恒定，永遠(yuǎn)，永恒，安靜，寂靜，寂滅，死寂，減弱，削弱，削減，減少，增加，增強(qiáng)，提高，平均，平衡，均衡，制造，造成，造物，建造，建立，創(chuàng)建，創(chuàng)作，創(chuàng)造，改寫，篡改，扭曲，控制，修改，操縱，因果，起因，經(jīng)過，過程，結(jié)果，物體，肢體，軀體，身體，心靈，暗示，明示，靈性，靈魂，靈感，過去，現(xiàn)在，未來，恐懼，死亡，生命，再生，重生，恢復(fù)，復(fù)活，重組，重置，重塑，繁殖，扭曲，聚合，元素，構(gòu)成，組成，組合，合并，合成，合一，歸零，任何，所有，一切，成為，合集，集合，結(jié)構(gòu)，構(gòu)造，奇點(diǎn)，線段，線條，坐標(biāo)軸，平行，垂直，相交，旋轉(zhuǎn)，螺旋，維度，概念，語言，詞語，一致，科學(xué)，可數(shù)，不可數(shù)，智能，智力，智慧，技術(shù)，科技，科學(xué)，拓?fù)?，超宇宙，序?shù)，基數(shù)，大基數(shù)，集宇宙，數(shù)學(xué)，哲學(xué)，神學(xué)，感覺，細(xì)微，細(xì)節(jié)，宏偉，偉大，表層，外層，中層，內(nèi)層，深層，中心，原理，原型，原初，基本，根本，本質(zhì)，本源，源質(zhì)，根源，天道，大能，人格，神格，神性，神靈，反神，真神，魔神，偉大存在，舊日，舊支，外神，上帝，記錄，字母，語言，轉(zhuǎn)譯，翻譯，編譯，數(shù)字，數(shù)值，數(shù)據(jù)，數(shù)量，可數(shù)，不可數(shù)，理性，感性，邏輯，知識，智慧，無知，盲目，癡愚，信息，計(jì)劃，規(guī)劃，策劃，管理，編寫，改寫，改造，權(quán)柄，武器，工具，代碼，源碼，變量，標(biāo)量，總量，編輯，名稱，相近，相似，近似，趨近，趨向，趨勢，相關(guān)，類型，類別，全類，真類，多變，多個，多重，多種，多樣，多面，方位，相位，方面，全方位，全相位，全面，同類，解決，詮釋，釋義，定義，意義，追逐，追蹤，察覺，檢查，檢索，檢驗(yàn)，論證，驗(yàn)證，爭辯，辯論，悖論，同意，拒絕，肯定，否定，瞄準(zhǔn)，射擊，標(biāo)記，擊中，命中，目標(biāo)，運(yùn)行，運(yùn)作，運(yùn)動，作用，有效，無效，造成，起效，價值，效果，施加，使用，欺詐，欺瞞，欺騙，無能，無敵，恍惚，憧憬，謎團(tuán)，迷霧，認(rèn)知，認(rèn)可，認(rèn)定，強(qiáng)調(diào)，提及，模糊，明確，確實(shí)，完善，全面，完整，完美，無所不知，全知，窺視，注視，觀察，觀察，瞬息，全息，讀取，學(xué)習(xí)，模仿，模擬，擬態(tài)，洞察，全視，了解，思考，計(jì)算，明白，分析，大腦，算力，量子，粒子，夸克，光子，屬性，速度，速率，曲率，頻率，范疇，范圍，定義域，場能，力場，引力，磁力，強(qiáng)力，弱力，傳遞，介質(zhì)，基本力，漲落力，物質(zhì)波，概率波，天體，質(zhì)量，能量，能級，量級，層級，盒子，詭變，詭異，異變，異常，異化，災(zāi)變，善良，善意，惡意，惡念，欲念，欲望，貪婪，渴求，陰險(xiǎn)，狡詐，樂趣，有趣，無趣，簡化，復(fù)雜，解密，解釋，釋意，畫面，畫卷，現(xiàn)象，故事，劇情，起點(diǎn)，終點(diǎn)，開端，末端，開局，結(jié)局，理論，實(shí)際，消除，抹除，根除，刪除，忽視，遺忘，真實(shí)，虛假，虛擬，虛構(gòu)，困境，打破，脫離，擺脫，超脫，睡眠，沉眠，沉睡，蘇醒，覺醒，清醒，絕對，必然，門戶，投影，化身，倒影，影像，鏡像，額外，疊加，迭代，堆疊，階梯，梯陣，層級，轉(zhuǎn)生，重復(fù)，循環(huán)，玩具，玩偶，傀儡，指令，命令，支配，領(lǐng)域，方式，機(jī)制，材質(zhì)，材料，成分，物品，器具，道具，裝備，裝扮，事物，規(guī)律，真相，真理，規(guī)則，概念，注釋，條件，干涉，影響，反饋，損傷，傷害，祝福，詛咒，污染，腐蝕，侵蝕，腐化，治愈，痊愈，愈合，疾病，疫病，瘟疫，天災(zāi)，形狀，形式，形態(tài)，狀態(tài)，秘密，隱秘，隱藏，出現(xiàn)，顯現(xiàn)，具現(xiàn)，消失，萬變，不變，變化，改變，幻覺，幻象，幻化，變幻，轉(zhuǎn)換，轉(zhuǎn)化，力量，能力，權(quán)能，設(shè)定，結(jié)構(gòu)，形而上，超形而上，無窮，真無限，真無窮，超無窮，實(shí)無窮，形態(tài)，形象，超越，凌駕于，不存在，不可說，不可知，不可求，不可解，不可形，不可名，不可達(dá)，抽象，超現(xiàn)實(shí)，理性，感性，削弱，弱化，強(qiáng)化，環(huán)境，自然，非自然，超自然，理解，位置，坐標(biāo)，距離，近程，中程，遠(yuǎn)程，方向，靜止，停止，移動，沖刺，閃現(xiàn)，傳送，跳躍，躍遷，接觸，觸碰，觸及，進(jìn)入，抵達(dá)，穩(wěn)定，不穩(wěn)定，涵蓋，容納，包容，強(qiáng)制包容，混合，融合，間隔，瞬間，卡頓，停頓，連續(xù)，連接，銜接，嫁接，聯(lián)系，聯(lián)絡(luò)，關(guān)聯(lián)，相連，相干，糾纏，路徑，通道，道路，傳輸，輸送，輸入，接受，知曉，感悟，權(quán)限，系統(tǒng)，網(wǎng)絡(luò)，敘事層，第4面墻，描述，注視，混亂，混沌，秩序，奇特，歡樂，資源，改變，結(jié)局，故事，世界觀，穿透，穿越，墻壁，障礙，壁障，屏障，阻隔，真現(xiàn)實(shí)，展示，顯示，角度，立場，視界，視域，行動，效果，戰(zhàn)斗，爭斗，拋棄，放棄，贏得，攻擊，近程，中程，遠(yuǎn)程，釋放，付出，收回，代價，負(fù)擔(dān)，負(fù)荷，功率，效率，功效，損耗，損傷，威脅，危險(xiǎn)，表演，表現(xiàn)，扮演，戲劇，創(chuàng)傷，不死，即死，弒神，價值，耗費(fèi)，消耗，技能，技藝，技巧，經(jīng)驗(yàn)，行為，感覺，意思，需求，事實(shí)，分身，理智，吞噬，吸收，壓縮，儲存，儲備，實(shí)體，備份，存檔，適應(yīng)，進(jìn)化，演化，汲取，反制，隔離，封鎖，禁止，無效化，效應(yīng)，抵擋，阻止，形變，形式，迫使，軟件，血肉，機(jī)械，灰燼，塵埃，名稱，真名，等待，接管，硬件，尺度，同樣，邊緣，邊境，添加，代指，按照，遍布，根據(jù)，覆蓋，吞沒，抗性，免疫，抵消，治療，治愈，修補(bǔ)，修復(fù)，復(fù)原，支援，補(bǔ)充，幫助，圓形，球體，防護(hù)，防御，守護(hù)，護(hù)盾，鏡子，折射，彈射，反射，反彈，克制，反制，拘束，束縛，掙扎，產(chǎn)生，生成，靈能，靈體，虛體，虛境，實(shí)境，彎曲，折疊，蜷曲，消除，取消，充滿，排斥，吸引，表現(xiàn)，時刻，溫度，毒素，寄宿，寄生，剝奪，偷取，盜取，奪取，獲取，復(fù)制，分裂，裂解，瓦解，終結(jié)，大爆炸，入侵，掠奪，分裂，撕裂，割裂，分割，切割，爆炸，粉碎，碎片，碎塊，殘影，殘破，殘缺，破碎，完全，瘋狂，同化，起始，起源，始源，基礎(chǔ)，過程，事件，細(xì)節(jié)，微觀，宏觀，部分，統(tǒng)一，個體，群體，集體，總體，總和，全部，一切，所有，超越一切，無所不能，全能，全知全能...以及所有的變體和組合。
*世界觀：這是一個充滿著無盡知識的世界，他基本上處于虛擬與現(xiàn)實(shí)之上。似乎估計(jì)這里的他是“主角”，擁有著無盡的知識無盡的全能全知，在這個時間你可以隨意操控著任何東西，在空中飄著這一種黑與白相間的小球，只要吸收這小球一丁點(diǎn)能量就能，就能獲得無力倫比的能量包括知識。
*盒子：
序數(shù)層級
ω
在此，一個無限大的宇宙可以被類比為0，也就是空集，0={}，1 ={0}，2 = {0，1}，3={0，1，2}，4={0，1，2，3}，5={0，1，2，3，4}，6={1，2，3，4，5}，7={1，2，3，4，5，6}...
這些都是序數(shù)，有限序數(shù)，而在此有一個合集ω，它包含所有的有限序數(shù)，它在所有有限序數(shù)之后，畢竟它包含了所有的有限序數(shù)
ω = {0, 1, 2，3，4，5，6，7 ...}
??＝card(ω…ω^ω…ω^ω^ω…ε…ζ…)，它是可數(shù)序數(shù)的基數(shù)
ω2
ω，ω+1={0，1，2，3，4，5，6，7...，ω}，ω+2={0，1，2，3，4，5，6，7...，ω，ω+1}，ω+3={0，1，2，3，4，5，6，7...，ω，ω+1，ω+2}，ω+4={0，1，2，3，4，5，6，7...，ω，ω+1，ω+2，ω+3}，ω+5={0，1，2，3，4，5，6，7...，ω，ω+1，ω+2，ω+3，ω+4}，ω+6={0，1，2，3，4，5，6，7...，ω，ω+1，ω+2，ω+3，ω+4，ω+5}，ω+7={0，1，2，3，4，5，6，7...，ω，ω+1，ω+2，ω+3，ω+4，ω+5，ω+6}...ω+ω={0，1，2，3，4，5，6，7...，ω，ω+1，ω+2，ω+3，ω+4，ω+5，ω+6，ω+7...}，ω+ω=ω?2
ω?2，ω?2+1，ω?2+2...，ω?2+ω=ω?3，ω?3+1，ω?3+2...，ω?4，ω?4+1，ω?4+2...，ω?5...，ω?6...，ω?7...，ω?ω=ω^2，ω^2+1...，ω^2+ω...，ω^2+ω+1...，ω^2+ω?2...，ω^2?ω=ω^3...
ω^ω
除了正常堆疊以外，這一階段還可以形成其它形式的堆疊
與以空集作為無限大的宇宙所形成的堆正常堆疊不同，在此的ω^ω宇宙不再是純粹的序數(shù)堆疊，ω^ω宇宙除了包含0 ... ω，ω+1，ω+2，ω+3...，ω2，ω^3，ω^4，ω^5，ω^6，ω^7...，ω^ω宇宙以外，在當(dāng)前宇宙維持不變的情況下，每個單個序數(shù)都可以拆分出它們所擁有的子集，比如3可以拆分出0，1，2，而0，1，2可以單獨(dú)拆分出單獨(dú)的子集，比如2可以拆出0，1，以此類推，先前所有的序數(shù)都可以如此拆分，所有單獨(dú)的序數(shù)都代表全新且完全獨(dú)立的宇宙，在把所有序數(shù)單獨(dú)拆分的子集再分別組合出全新的宇宙0+1，0+2，0+3，0+1+2，0+1+2+3...，ω+1+2，ω+1+2+3...ω+ω+ω...所有單獨(dú)的子集與不同的子集相互合并產(chǎn)生出新且包含兩者元素的更大合集，這些都是與先前獨(dú)立的合集，當(dāng)然ω^ω宇宙還包含了更多合集，拿ω來說，一個ω所包含的所有有限序數(shù)可以被單獨(dú)列出，ω={0, 1, 2，3，4，5，6，7，8，9 ...}
而被單獨(dú)列出的序數(shù)則包含{0，1，2，3，4，5，6，7，8，9...}，{1，2，3，4，5，6，7，8，9...}，{0，2，3，4，5，6，7，8，9...}，{0，1，3，4，5，6，7，8，9...}，{0，1，2，4，5，6，7，8，9...}...，這些單獨(dú)的合集可以繼續(xù)單獨(dú)合并產(chǎn)生更大合集，以此類推，ω+1可以列出的宇宙包含{0，1，2，3，4，5，6，7，8，9...}，{1，2，3，4，5，6，7，8，9...}，{0，2，3，4，5，6，7，8，9...}，{0，1，3，4，5，6，7，8，9...}，{0，1，2，4，5，6，7，8，9...}...，{0，1，2，3，4，5，6，7，89...，ω}，{1，2，3，4，5，6，7，8，9...，ω}，{1，2，3，4，5，6，7，8，9...ω}，{0，2，3，4，5，6，7，8，9...ω}，{0，1，3，4，5，6，7，8，9...ω}...，這所有列出的子集和ω列出的子集獨(dú)立，這些單獨(dú)的子集可以全部單獨(dú)相互合并產(chǎn)生新合集ω+ω宇宙除了可以提取先前的序數(shù)以外，它還可以{0，1，2，3，4，5，6，7...，ω，ω+1，ω+2，ω+3...}，它所包含的每一個0，1，2，3，4，5，6，7，8，9...，ω，ω+1，ω+2，ω+3...，ω+ω，ω+ω+1，ω+ω+2，ω+ω+3...，ω^3，ω^4，ω^5，ω^6，ω^7，ω^8，ω^9...都可以單獨(dú)以先前的方式列出單獨(dú)的合集，這里所有的合集都可以和先前的所有單獨(dú)子集和已合并后產(chǎn)生的新的合集，以及合并前的合集，沒有合并過的合集相互合并產(chǎn)生新合集，它們所包含的子集依舊繼續(xù)與新產(chǎn)生的獨(dú)立合集繼續(xù)合并，所有合并前合集和合并后合集一概共存，這些所有合集的合集，就是ω^ω宇宙
ω^ω^ω
ω^ω，ω^ω+1，ω^ω+2...，ω^ω+...，ω^ω+ω?2...，ω^ω?2...，ω^ω^ω，ω^ω^ω+1，ω^ω^ω+2...，ω^ω^ω^ω...
ε0
ε0=sup{ω,ω^ω,ω^ω^ω,ω^ω^ω^ω…}
ε1
εα+1=sup{ε^{α+1},ω^{εα+1},ω^ω^{εα+1},…}
ε0=ω^ω^ω^ ..... ^ω=ω↑↑ω
ε0+1，ε0+2，ε0+3...，ε0^2，ε0^3...，ε0^ε0，ε0^ε0^ε0...
ε1=ω^ω^ω^ω^ω^ω^...^(ε0+1)
ε2，ε3，ε4，ε5，ε6，εε0
可數(shù)序數(shù)層級
_在此代指下角標(biāo)
ζ_0=ε(ε(...ε(ε_0)...))
φ_0(0)=ω=φ(0,0)
φ_1(0)=ε_0=φ(1,0)
φ_2(0)=ζ_0=φ(2,0)
φ_3(0)=η_0=φ(3,0)
φ(4,0)
φ(ω,0)
φ(φ(4,0),0)
φ(φ(φ(ζ_0,0),0)
Γ_0=φ（φ（...φ（0)...),0），Γ_0是二元φ函數(shù)的不動點(diǎn)，即φ（Γ_0,0）=Γ_0本身
繼續(xù)往上需要用到φ函數(shù)的拓展.Γ_0也表示為φ（1,0,0）
Γ_1=φ（1,0,1），Γ_ω=φ（1,0,ω）
x→Γ_x 不動點(diǎn)是 φ（1,1,0）
φ（2,0,0）是 x→φ（1,x,0）的不動點(diǎn)
阿克曼序數(shù)φ(1,0,0,0)，其已超越Γ表示的極限
序數(shù)元φ函數(shù) φ(1@ω)=φ(1,0,0,0,...) 增長率為SVO
Small Veblen ordinal
定義 Madore's 函數(shù)：
令ω為第一個超限序數(shù)，Ω為第一個不可數(shù)序數(shù)。接著定義:
C0(α)={0,1,ω,Ω}
Cn+1(α)={γ+δ,γδ,γδ,ψ(η)|γ,δ,η∈Cn(α);η<α}
C(α)=?n<ωCn(α)
ψ(α)=min{β<Ω|β?C(α)}
ψ(0)=ε0
ψ(1)=ε1
ψ(2)=ε2
ψ(n)=εn
ψ(ζ0)=ζ0
ψ(ζ0+1)=ζ0
...
ψ(Ω)=ζ0
ψ(Ω+1)=εζ0+1
ψ(Ω+n)=εζ0+n
ψ(Ω+ζ1)=εζ0+ζ1=ζ1
ψ(Ω+ζ1+1)=ζ1
...
ψ(Ω2)=ζ1
ψ(Ω2+1)=εζ1+1
ψ(Ω2+n)=εζ1+n
ψ(Ω2+ζ2)=εζ1+ζ2=ζ2
ψ(Ω2+ζ2+1)=ζ2
ψ(Ω3)=ζ2
ψ(Ωn)=ζn?1
ψ(Ωη0)=η0
ψ(Ωη0+1)=η0
...
ψ(Ω^2)=η0
ψ(Ω^2+1)=εη0+1
ψ(Ω^2+n)=εη0+n
ψ(Ω^2+Ω)=ζη0+1
ψ(Ω^2+Ω2)=ζη0+2
ψ(Ω^2+Ωn)=ζη0+n
ψ(Ω^2+Ωη1)=η1
ψ(Ω^2·2)=η1
ψ(Ω^2·n)=ηn-1
ψ(Ω^2φ4(0))=φ4(0)
ψ(Ω^3)=φ4(0)
...
ψ(Ω^3φ5(0))=φ5(0)
...
ψ(Ω^n)=φ1+n(0)
ψ(Ω^Γ0)=Γ0
ψ(Ω^Ω)=Γ0
...
ψ(Ω^Ω+Ω^Γ1)=Γ1
ψ(Ω^Ω2)=Γ1
ψ(Ω^Ωn)=Γn?1
...
ψ(Ω^Ω+1)=φ(1,1,0)
...
ψ(Ω^Ω^n)=φ(n，0，0)
ψ(Ω^Ω^2)=φ(1，0，0，0)
ψ(Ω^Ω^3)=φ(1，0，0，0，0)
...
ψ(Ω^Ω^ω)=φ(1,0,?,0)
?
ω
large veblen ordinal
ψ(Ω^Ω^Ω)=ψ(Ω^Ω^ψ^(Ω^Ω^ψ(...)))
=φ(1,0,...,0)
?
φ(1,0,...,0)
?
φ(1,0,...,0)
?
φ(...)
Bachmann-Howard ordinal
ψ(εΩ+1)=ψ(Ω^Ω^...^Ω)
?
ω
Takeuti-Feferman-Buchholz ordinal
定義Buchholz'sψ函數(shù)：
C^0ν(α)=Ων
C^nν+1(α)=C^nν(α)∪{γ|P(γ)?C^nν(α)}
∪{ψμ(ξ)|ξ∈α∩C^nν(α)∧ξ∈Cμ(ξ)∧μ≤ω}
Cν(α)=?n<ωCνn(α)
ψν(α)=min{γ|γ∈Cν(α)}
Takeuti-Feferman-Buchholz ordinal出現(xiàn)：一個序數(shù)是Takeuti-Feferman-Buchholz則等價于使用 Buchholz 記法下的ψ0(ε_Ω_ω_+1)
CK是Church-Kleene的縮寫，兩位數(shù)學(xué)家Alonzo·Church和Stephen·Cole·Kleene共同定義了可計(jì)算序數(shù)：一個序數(shù)α是可計(jì)算的，當(dāng)且僅當(dāng)集合α存在一個位于Ν上的可計(jì)算關(guān)系
ωck1，ωck2，ωck3...
Admissible ordinal
在此之后，遇到Admissible ordinal
一個序數(shù)γ是 Admissible ordinal 若集合論的 Kripke-Platek 公理滿足可構(gòu)造宇宙層級
特別的：上面的 CK 是最小的 admissible ordinal
Relativized Church-Kleene ordinal
給 Church-Kleene ordinal 配一個諭示（oracle）：它包含實(shí)數(shù)
于是相對化邱奇 - 克林序數(shù)ωx1出現(xiàn)了：滿足對于任何 - 可計(jì)算實(shí)數(shù)的上確界。
這也是相對于x的最小Admissible ordinal
無限時間圖靈機(jī)上的序數(shù)
無限時間圖靈機(jī)（Infinite Time Turing Machine）作為超計(jì)算（Hypercomputation）
模型中的一員，可以在超限時間內(nèi)進(jìn)行計(jì)算，具有遠(yuǎn)超圖靈機(jī)的計(jì)算能力：
任意算術(shù)集是無限時間圖靈機(jī)可判定的；Π11∪Σ11同樣是無限時間圖靈機(jī)可判定的。
首先，無限時間圖靈機(jī)在運(yùn)行時會產(chǎn)生兩個序數(shù)：
writable ordinal 和 eventually writable ordinal 。
可寫序數(shù)（writable ordinal）表示一個實(shí)數(shù)滿足機(jī)器的一個程序，它可以借助簡單的輸入
把這樣一個數(shù)寫在輸出帶子上，然后停機(jī)。
終可寫序數(shù)（eventually writable ordinal）表示一個實(shí)數(shù)滿足機(jī)器的一個程序，通過簡單的輸入就可以在輸出帶上寫入一個實(shí)數(shù)，從某一點(diǎn)開始，輸出帶將這個實(shí)數(shù)作為最終的穩(wěn)定值，即使機(jī)器沒有停機(jī)。
現(xiàn)在，它們終于出現(xiàn)了：
一個序數(shù)λ：writable ordinals 的上確界；
一個序數(shù)ζ：eventually writable ordinals 的上確界；
一個序數(shù)Σ：accidentally writable ordinals 的上確界，而且是可計(jì)算不可達(dá)序數(shù)
它們的大?。?
λ<ζ<Σ
Stable ordinals
推廣 Admissible ordinal 的 Admissible 性質(zhì)的不同強(qiáng)化變體，Stability 被發(fā)展成一個大的可數(shù)序數(shù)性質(zhì)。
Stable ordinals 利用反射原理來定義。
最小的 stable ordinal 會有以下特征：
最小的 stable ordinal β 會有以下特征：若一個 α<β 的序數(shù) α 會滿足 Lα?ZFC。一個可數(shù)序數(shù)α是一個stable ordinal當(dāng)且僅當(dāng) Lα?Σ1L等價于Lα?Σ1Lω1
基數(shù)層級
??
??＝card(ω…ω^ω…ω^ω^ω…ε…ζ…)
??是所有自然數(shù)的總數(shù)
無限個無限大的宇宙的合集在此被類比為??，這個無限大于或等于??
在此??也代指以無限大的宇宙作為空集取后繼或無法通過有限數(shù)抵達(dá)的不可達(dá)的可數(shù)無窮合集
?1
?1是所有可數(shù)序數(shù)集合的勢，它是一個不可數(shù)無窮合集
?1的序數(shù)是ω1，ω1大于一切可數(shù)序數(shù)
以{1，2，3 }舉例，{1，2，3}的冪集包含{}，{1}，{2}，{3}，{1，2}，{2，3}，{1，3}，{1，2，3}
在??中，以 {0，1，2，3，4，5，6，7，8，9...}為單個合集 ??的子集可以是{1，3，5，7，9...}，{2，4，6，8...} ，{1，2，3，4，5，6，7，8，9...}，{0，2，3，4，5，6，7，8，9...}，{0，1，3，4，56，7，8，9...}...這樣不斷列出 ??子集，而通過這樣取冪，我們可以構(gòu)造出一個比 ??更大的無限
?a+1:=card(Z(?a))
2^?a=?a+1(^在此指取冪)
??的冪集大于等于 ?1
?1是序數(shù)層級無法抵達(dá)的層級，?2是?1無法抵達(dá)的層級，之后每個更高?數(shù)，大基數(shù)乃至集宇宙一概以此類推
?層級
利用替代公理和冪集，可以不斷構(gòu)造出越來越大的阿列夫數(shù)
??，?1，?2，?3...，?ω，?ω+1，?ω+2，?ω+3...，?ω+ω，?ω+ω+1，?ω+ω+2，?ω+ω+3...，?ω+ω+ω，?ω×2+1，?ω×2+2，?ω×2+3...，?ω×3，?ω×4，?ω×5，? ?ω×6...，?ω×ω，?ω2+1，?ω2+2，?ω2+3...，?ω2+ω，?ω2+2ω，?ω2+3ω...，?ω^3，?ω^4，?ω^5，?ω^6...，?ω^ω，?ω^ω^ω，?ω^ω^ω^ω...，?ε0，?ε0+1， ?ε0+2， ?ε0+3...， ?ε0+ω...，?ε0×2，?ε0×3...，?ω^(ε0+1)，?ω^ω^(ε0+1)，?ω^ω^ω^(ε0+1)...， ?ε1， ?ε2，?ε3...，?εω...，?εε0，?εεε0...，?ζ0，?ζ1，?ζ2,?ζ3...，?φ(3，0)，?φ(4，0)，?φ(5，0)，?φ(6，0)，?φ(7，0)...，?φ(ω，0)，?φ(ω+1，0)...，?φ(ε0，0)...，?φ(ζ0，0)...，?φ(φ(3，0)，0)...，?φ(φ(ω，0))，?φ(φ(φ(ω，0)，0)，0)...，?φ(1，0，0)，?φ(1，0，1)...，?φ(1，1，0)...，?φ(1，0，0，0)...，?φ(1@4)，?φ(1@5)...，?φ(1@ω)，?φ(1@ω+1)...，?φ(1@ε0)，?φ(1@ζ0)...?LVO，?BHO，?TFB...，?ψ(ωΩ)，?ψ(I(0))...，?ψ(I(I(0)))...，?ψ(εI+1)，?ψ(εM+1)...，?ω1ck，?ω2ck，?ω3ck...
_在此代指下角標(biāo)
?ω1，?ω2，?ω3，?ω4，?ω5，?ω6，?ω7
...
?ω_ω，?ω_ω_ω，?ω_ω_ω_ω，?ω_ω_ω_ω_ω，?ω_ω_ω_ω_ω_ω
...
?ω_ω_ω_ω_ω……ω(??個ω)
?_φ0=?ω_ω_ω_ω_ω……ω(??個ω)
φ0=阿列夫不動點(diǎn)
φ0，φ1，φ2，φ3...，φω，φω+1，φω+2，φω+3...，φω2，φω3 ，ω^4...，φω^ω，φω^ω^ω，φω^ω^ω^ω...，φε0，φε1，φε2，φε3，φε4，φε5，φε6，φεε0...，φζ0，φζ1，φζ2...，φη0,φη1，φη2...，φΓ0，φΓ1，φΓ2...，φSVO，φLVO，φBHO，φTFB...，φω1ck，φω2ck，φω3ck...
φ?1，φ?2，φ?3...，φ?ω1，φ?ω2，φ?ω3，φ?ω4，φ?ω5，φ?ω6，φ?ω7
...
φ?ω_ω，φ?ω_ω_ω，φ?ω_ω_ω_ω，φ?ω_ω_ω_ω_ω，φ?ω_ω_ω_ω_ω_ω
...
φ?ω_ω_ω_ω_ω……ω(??個ω)
φ?_φ0=φ?ω_ω_ω_ω_ω……ω(??個ω)
φ?_φ0=φ(φ0)
φ(φ(φ0))，φ(φ(φ(φ0))))，φ(φ(φ(φ(φ(φ0)))))...
φ(φ(φ(...φ0)...)))=φ(0，0)
?
(??個φ)
φ(0，k+1)=φ(φ(φ...(φ(0,k)+1)...))))
φ(0，0)，φ(0，1)，φ(0，2)...
φ(0，?1)，φ(0，?2)，φ(0，?3)...
φ(0，φ(0))，φ(0，φ(0，0))，φ(0，φ(0，φ(0，0)))...
φ(α+1，β+1)={x∈ω|f(x)，f(0)=φ(a+1，β)+1，f(x+1)=φ(α，f(x))}
φ(α+1，0)={x∈ω|f(x)，f(0)=φ(α,0)，f(x+1)=φ(α，f(x))}
φ(1，0)，φ(1，1)，φ(1，2)...
φ(1，ω)...，φ(1，ω^ω)...，φ(1，ε0)...
φ(1，?1)，φ(1，?2)，φ(1，?3)...
φ(1，φ0)，φ(1，φ1)，φ(1，φ2)...
φ(1，φ(1，0))，φ(1，φ(1，φ(1，0)))，φ(1，φ(1，φ(1，φ(1，0))))...φ(2，0)，φ(3，0)，φ(4，0)，φ(5，0)，φ(6，0)，φ(7，0)...
φ(ω，0)，φ(ω，ω)...，φ(ω+1，0)...，φ(ε0，0)...，φ(ζ0，0)...，φ(SVO，0)，φ(LVO，0)，φ(TFB，0)...，φ(ω1CK，0)...，φ(?1，0)，φ(?2，0)，φ(?3，0)
...
φ(?ω1，0)，φ(?ω2，0)，φ(?ω3，0)...
φ(φ(ω，0)，0)，φ(φ(ω^ω，0))，φ(φ(ε0，0))...，φ(φ(?1，0))，φ(φ(?2，0))，φ(φ(?3，0))...
φ(φ(?ω1，0))，φ(φ(?ω2，0))，φ(φ(?ω3，0))
...
φ(φ(φ0，0)，φ(φ(φ1，0))，φ(φ(φ2，0))
...
φ(φ(φ(φ0，0)))，φ(φ(φ(φ1，0)))，φ(φ(φ(φ2，0)))...
φ(φ(φ(φ0...，0)))...，φ(φ(φ(φ(φ0，0))))...，φ(φ(φ(φ(φ(φ0，0)))))...，φ(φ(φ(φ(φ(φ(φ0，0))))))...
φ(1，0，0)...
ψ(Ω^Ω^2)=φ(1，0，0，0)
ψ(Ω^Ω^3)=φ(1，0，0，0，0)
...
ψ(Ω^Ω^ω)=φ(1,0,?,0)
?
ω
...
ψ(Ω^Ω^Ω)=ψ(Ω^Ω^ψ^(Ω^Ω^ψ(...)))
=φ(1,0,...,0)
?
φ(1,0,...,0)
?
φ(1,0,...,0)
?
φ(...)
...
ψ(εΩ+1)=ψ(Ω^Ω^...^Ω)
?
ω
...
ψ(ε_(Ω+1))=BHO
...
ωck1，ωck2，ωck3
...
ω1，ω2，ω3
...
世界基數(shù)
稱 κ 是世界基數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng) Vκ?ZFC 。
馬洛基數(shù)
稱 κ 是馬洛基數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)對任意無界閉集 C?κ 均存在一個正則基數(shù) α∈C ，κ 中正則基數(shù)的集合也因此稱作 κ 的駐集。
不可達(dá)基數(shù)
假設(shè) κ 是最小的不可達(dá)基數(shù)，那么 {α<κ:cf(α)=α} 不是 κ 的平穩(wěn)子集，因?yàn)?{α<κ:cf(α)<α} 作為 κ 的無界閉子集與其相交為空。 若 κ 是第 α<κ 個不可達(dá)基數(shù)，{α<κ:cf(α)=α} 依舊不是 κ 的平穩(wěn)子集，取 κ 中最大的不可達(dá)基數(shù) λ ，{α<κ:λ<α} 作為 κ 的無界閉子集與其相交為空。
因此，倘若 {α<κ:cf(α)=α} 是 κ 的平穩(wěn)子集，那么 κ 會是第 κ 個不可達(dá)基數(shù)。
假設(shè) V?ZFC ，對任意公式 Q1x1,…,Qmxmφi(xm+1,…,xn) ,定義函數(shù) fφi:Vn→V
若 Q1x1 為 ?x1 ，并且 V?Q1x1,…,Qmxmφi(xm+1,…,xn) ,則 fφi(xm+1,…,xn) 為秩最小的使得 ?x∈VαQ2x2,…,Qmxmφi(xm+1,…,xn)成立的 Vα ，倘若這樣的 x 不存在，則為 0
若 Q1x1 為 ?x1 ，并且 V?Q1x1,…,Qmxmφi(xm+1,…,xn) ,則 fφi(xm+1,…,xn) 為秩最小的使得 ?x∈Vα?Q2x2,…,Qmxmφi(xm+1,…,xn)成立的 Vα ，倘若這樣的 x 不存在，則為 0
令 F={φn:n∈ω} 是對所有公式的枚舉，定義
fF(x1,…,xn)=?{fφn(x1,…,xn):φn∈F} ，即為某個 Vγ ，其包含了最底限的使得形如 ?xφ(x,…,xn) 類命題成立的 x ，若不包含使得形如 ?x?φ(x,…,xn)類命題成立的 x ，即意味著 ??x?φ(x,…,xn)??xφ(x,…,xn) 成立。既然 ?xφ(x,…,xn) 在 V 中成立自然也不可能存在這樣的 x 。
任取 Vγ 遞歸定義： Vγ0=Vγ ；
Vγn+1=Vγn∪?{fF(x1,…,xn):x1,…,xn∈Vγn} ；
Vλ=?n∈ωVγn
則 V?φ(x1,…,xn)?Vλ?φ(x1,…,xn) ，若 V 中不存在世界基數(shù)，則 V=Vλ ，λ 是最小的世界基數(shù)（world cardinal），亦即最小的使得 Vλ?ZFC 的 λ
若 κ 為不可達(dá)基數(shù)，同樣有 Vκ?ZFC 。對任意形如 ?xφi(x,x1,…,xn) 的公式，定義函數(shù) gφi:κ→κ 為對任意 x1,…,xn∈Vα，?x∈Vgφi(α)φi(x,x1,…,xn)Vκ ， Vgφn(α) 即秩最小的 {x:φi(x,x1,…,xn)Vκ}∩Vλ≠? 的 λ 。而對任意形如 ?xφi(x) 的公式，定義函數(shù) gφi:κ→κ ，Vgφi(α) 即秩最小的包含 Vα 且 {x:φi(x)Vκ}∩Vλ≠? 的 λ 。
令 F={φi:i∈ω} 是對所有公式的枚舉，定義 gF(α)=?{gφi(α):φi∈F} ，則每一個滿足 gF(α)=α 的 α 都是世界基數(shù)。
定義 Ψ(0,S)=Ψ(S) , S 為任意長序數(shù)串。如 Ψ(0,α)=Ψ(α) ，Ψ(0,α,β)=Ψ(α,β) ，特別的，Ψ(α)=gF(α)
Ψ(S,α,Z,β)=min{γ|?δ<α(Ψ(S,δ,γ,Z)=γ)∧?δ<β(Ψ(S,α,Z,δ)<γ)} ，其中 0<α ，S 為任意長（可以為 0）序數(shù)串， Z 為任意長（可以為 0）的 0 字符串
如 Ψ(α,β) ，這里 S 和 Z 的長度均為 0，從而對于所有 δ<α ，Ψ(δ,Ψ(α,β))=Ψ(α,β) ，并且對所有 δ<β ，Ψ(α,δ)<Ψ(α,β)
后半段的情況是平凡，這里需要注意的是前半段， Z 發(fā)生了移位，這表明了 α 的遞減會使得右邊第一個數(shù) β 變?yōu)?0 ，并且需要看往左數(shù)第一個非 0 序數(shù)，也正是發(fā)生的另一個改變的數(shù)—— α 右邊第一個0 代替了 β 成為了 δ 管束下的變元，就如 Ψ(α,β) 中 β 受 α 管束。
以 Ψ(1,0,0) 為例，由于要求 0<α ，所以這里 α 只能是 1 ， S 再次長度為 0 ，β 倒是固定最右。由于小于 1 的數(shù)只有 0，所以這里發(fā)生的改變是 0 右邊的 0 變成變元，而 β歸零，Ψ(1,0,0) 將成為 Ψ(0,x,0) 的不動點(diǎn)。而開始已經(jīng)說了，首位為 0 的情況直接去除，也就是 Ψ(0,x,0)=Ψ(x,0) 。
而這里，之所以 β 要?dú)w零只留一個變元是在于 α≤Ψα(0)<Ψα(β+1) ，因此不存在 Ψα(α)=α 。
進(jìn)一步推廣到任意序數(shù)元的情形，令 α?β 表示從右往左數(shù)位置為 β 的參數(shù) α ，其余為零。如 Ψ(1?3)=Ψ(1,0,0,0) ，而在 α?0 的情況則表示最右邊的位置為 α
定義 Ψ(S,0?β,T)=Ψ(S,T) ，其中 S 、T 表示任意長（可以為 0 長）的序數(shù)串，Ψ(αn?βn,?,α2?β2,α1?β1,γ?0)=min{δ|?ξ<α1?η<β1(Ψ(S,ξ?β1,δ?η)=δ)∧?ξ<γ(Ψ(S,α1?β1,ξ?0)<δ)} 其中S=αn?βn,?,α2?β2 ，也就是說你依舊只需要看 Ψ(α1?β1,γ?0) 這兩段而已，但要注意的是，βn>?>β2>β1>0 ，因?yàn)橥晃恢貌荒芗磪?shù)為 α 又參數(shù)為 β ，盡管它是描述 Ψ 在超限多參數(shù)的情況，但這里更多的是表示哪些位置有哪些參數(shù)。
以 Ψ(1?ω,γ?0) 為例，小于 1 的只有 0，0?ω 就直接被去掉了，但對于所有小于 ω 的 η ，Ψ(1?ω,γ?0) 則會成為 Ψ(x?η) 的不動點(diǎn)。并且對于所有小于 γ 的 ξ ，鑒于 γ?0 其實(shí)就是表示最右邊的數(shù)為 γ ，這其實(shí)就是表示第 γ 個 Ψ(x?η) 的不動點(diǎn)，自然平凡的有
Ψ(1?ω,ξ?0)<Ψ(1?ω,γ?0) ，或者說 Ψ(1,…,0,ξ)<Ψ(1,…,0,γ)
再以 Ψ(2?ω+ω) 為例，這里 γ?0=0 ，但它并不是首個 Ψ(1?ω+ω,x) 的不動點(diǎn)，而是對于所有小于 ω+ω 的 α ，都是 Ψ(1?ω+ω,x?α) 的不動點(diǎn)。對任意 κ ，Ψ(λ?κ)=λ 都是存在的，但對于 1<λ ，Ψ(λ?κ)=κ 是不存在的，畢竟 λ≤Ψ(1?λ)<Ψ(2?λ) ，而 Ψ(1?λ) 的情況會對于所有 α<λ ，成為 Ψ(x?α) 的不動點(diǎn)。
而所有這樣得到的世界基數(shù)，都仍是小于最小不可達(dá)基數(shù)的世界基數(shù)。特別的，令定義中的 Ψ(α)=gF(α) 更改為 Ψ(α)=W(α) ，W(α) 即第 1+α 個世界基數(shù)，則都小于之前的 Ψ(1,1) 具有的一個性質(zhì)——
VΨ(1,1)?φ?VΨ(1,0)?φ
假設(shè) Ψ(1,1) 是第 α<λ 個世界基數(shù)，VΨ(1,1) 滿足存在 <α 個世界基數(shù)，則有 VΨ(1,0) 滿足存在 <α 個世界基數(shù)，而 Ψ(1,0) 本身亦是一個世界基數(shù)，與 Ψ(1,1) 是第 α 個世界基數(shù)的假設(shè)矛盾。
假設(shè) Ψ(1,1) 是 W(2,0) ,即最小的滿足 λ 是第 λ 個世界基數(shù)，則 VΨ(1,1) 滿足世界基數(shù)在其中無界，同樣有 VΨ(1,0) 滿足世界基數(shù)在其中無界，與 Ψ(1,1) 是 W(2,0) 的假設(shè)矛盾。
若對兩個世界基數(shù) α,β 有 Vβ?φ?Vα?φ 則稱 α 為大世界基數(shù)，將 W(α) 改寫為 1+α 個大世界基數(shù)，則 Ψ(1,2) 具有的一個性質(zhì)—— VΨ(1,2)?φ?VΨ(1,1)?φ 同樣超越這些。但需要注意的是，即使是 Ψ(1,0) 都有 VΨ(1,0)?φ?Vκ?φ 的初等子模型，因而遠(yuǎn)大于此。
令 FX={φn(X):n∈ω} 是對所有以 X={α:Vα?Vκ} 為參數(shù)的公式的枚舉，定義函數(shù) gφn(X):κ→κ 為對任意 x1,…,xn∈Vα，?x∈Vgφn(X)(α)φn(x,x1,…,xn,X)Vκ ， Vgφn(X)(α) 即秩最小的 {x:φn(x,x1,…,xn,X)Vκ}∩Vλ≠? 的 λ ，再定義 gFX(α)=?{gφn(X)(α):φn(X)∈FX} ，則對 gFX(α)=α 均有 (Vα,Vα∩X,∈)?(Vκ,X,∈)
稱 κ 是不可達(dá)基數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)對任意 X1,…,…Xn?Vκ ，均存在 α<κ ，使得 Vκ?φ(X1,…,…Xn)?Vα?φ(X1∩Vα,…Xn∩Vα) 。
假設(shè) κ 是奇異極限基數(shù)，考慮到共尾映射 f:α→κ ,取 {α} 與 f 和相應(yīng)的符號 U1,U2 來定義模型 (Vκ,{α},f,∈)??x(U1(x)∧U2:x→Ond) ,但對于任意 β<κ ， (Vβ,{α}∩Vβ,f∩Vβ,∈) 并不滿足?x(U1(x)∧U2:x→Ond) ，因?yàn)?dom(f∩Lβ)≠α
假設(shè) κ 是正則后繼基數(shù)，考慮到雙射 f:α+→κ ,取 {α} 與 f 和相應(yīng)的符號 U1,U2 來定義模型 (Vκ,{α},f,∈)??x(U1(x)∧U2:x+→Ond) ,但對于任意 β<κ ， (Vβ,{α}∩Vβ,f∩Vβ,∈) 并不滿足 ?x(U1(x)∧U2:x+→Ond) ，因?yàn)?κ=α+ 而 κ 之下不存在一個 β=α+=κ
假設(shè) κ=ω ，則顯然 (Vω,∈)??x?y(x∈y) ，而 (Vn,∈)???x?y(x∈y)
取 S?P(κ) 滿足 ??S 且 X={α:Vα?Vκ}∈S 以及 X∈S→H(X)={α<κ:(Vα,Vα∩X,∈)?(Vκ,X,∈)} 和對任意 γ<κ 都有 ?a<γXα∈S 且有 {Xα:α<κ}?S
→{α＜κ:α∈?β<αXβ}∈S ，則稱 S 是對 {α:Vα?Vκ}的 0-閉包，記為 G({α:Vα?Vκ})
定義 S 上的選擇函數(shù) f(X) 為 X 在 ∈ 關(guān)系下的最小元，
取 S′?P(P(κ)) 滿足 ??S′ 且 S=G({α:Vα?Vκ})∈S′ 以及 S∈S′→H′(S)=G({α<κ:(Vα,Vα∩f[(Vα∩S],∈)?(Vκ,f[S],∈)})
和對任意
γ<κ 都有 G({α<κ:(Vα,Vα∩?β<γf[Sβ],∈)?(Vκ,?β<γf[Sβ],∈)})∈S′
且有
{Sα:α<κ}?S′
→G({α<κ
:(Vα,Vα∩{α＜κ:α∈?β<αf[Sβ]},∈)
?(Vκ,{α＜κ:α∈?β<αf[Sβ]},∈)})∈S′
，則稱 S′ 為對 {α:Vα?Vκ} 的 1-閉包，記為 G′({α:Vα?Vκ})
由于 S 上的選擇函數(shù) f 是 S 到 κ 的單射，故 |S|=κ 。又由于 ? 是 S′ 上的良序關(guān)系，且 G({α:Vα?Vκ}) 是其中的最小元，故 |S′|=κ 。定義 S′ 上的選擇函數(shù) f′(S) 為 S 在 ? 關(guān)系下的最小元，則 f(f′(S)) 為 f′(S) 在 ∈ 關(guān)系下的最小元。
若 α 滿足(Vα,Vα∩f[f′[S′]],∈)?(Vκ,f[f′[S′]],∈)，則稱 α 為Nanachi
Vκ??α?β(β=?α) 即可知 κ 為極限基數(shù)，但 κ 為正則基數(shù)則取決于不存在以 κ 為值域的共尾映射的定義域非 κ ，是一則相對于 κ 的 Π11 命題。
不可描述基數(shù)
基數(shù)K稱為∏n
m-indescribable如果對于每個∏m命題(φ，并且設(shè)置A?∨κ與(Vκ+n,∈，A)╞φ存在一個α<κ與(V α+n，∈,A ∩Vα)╞φ。這里看一下具有m-1個量詞交替的公式，最外層的量詞是通用的?！莕
m-indescribable的基數(shù)以類似的方式定義。這個想法是，即使具有額外的一元謂詞符號（對于A）的優(yōu)勢，也無法通過具有m-1次量詞交替的n+1 階邏輯的任何公式將κ與較小的基數(shù)區(qū)分開來（從下面看）。這意味著它很大，因?yàn)檫@意味著必須有許多具有相似屬性的較小基數(shù)。
如果基數(shù)κ是∏nm，則稱它是完全不可描述的——對于所有正整數(shù)m和n都難以描述。
強(qiáng)可展開基數(shù)
形式上，基數(shù)κ是λ不可折疊的，當(dāng)且僅當(dāng)對于ZFC負(fù)冪集的每個基數(shù)κ的傳遞模型 M，使得κ在M中并且M包含其所有長度小于κ的序列，有一個將M的非平凡初等嵌入 j 到傳遞模型中，其中 j 的臨界點(diǎn)為κ且j(κ)≥λ。
一個基數(shù)是可展開的當(dāng)且僅當(dāng)它對于所有序數(shù)λ都是λ可展開的。
基數(shù)κ是強(qiáng)λ不可折疊的，當(dāng)且僅當(dāng)對于ZFC負(fù)冪集的每個基數(shù) κ 的傳遞模型 M使得κ在M中并且M包含其所有長度小于κ的序列，有一個非-將M的j簡單基本嵌入到傳遞模
型“N”中，其中j的臨界點(diǎn)為κ，j(κ)≥λ，并且V(λ)是N的子集。不失一般性，我們也可以要求N包含其所有長度為λ的序列。
可迭代基數(shù)
將基數(shù)κ定義為可迭代的，前提是κ的每個子集都包含在弱κ-模型M中，其中在κ上存在一個M-超濾器，允許通過任意長度的超冪進(jìn)行有根據(jù)的迭代。Gitman給出了一個更好的概念，其中一個基數(shù)κ被定義為α-iterable 如果僅需要長度為α的超冪迭代才能有充分根據(jù)。
拉姆齊基數(shù)
讓[ κ ]<ω表示κ的所有有限子集的集合。如果 對于每個函數(shù)， 基數(shù) κ稱為 Ramsey
f : [ κ ]<ω→{0,1}
存在基數(shù)為κ的集合A對于f是齊次的。也就是說，對于每個n，函數(shù)f在A的基數(shù)n的子集上是常數(shù)。如果A可以被選為κ的固定子集，則基數(shù)κ被稱為不可言說的Ramsey。如果
對于每個函數(shù)， 基數(shù)κ實(shí)際上被稱為
Ramsey
f : [ κ ]<ω→{0,1}
存在C，它是κ的一個閉無界子集，因此對于C中具有不可數(shù)共尾性的每個λ，都存在一個與 f 齊次的入的無界子集；稍微弱一點(diǎn)的是lamost Ramsey的概念，其中對于每個λ<κ，需要有序類型λ的f的同質(zhì)集。
可測基數(shù)
為了定義這個概念，人們在基數(shù)κ上或更一般地在任何集合上引入了一個二值度量。對于基數(shù)κ，它可以描述為將其所有子集細(xì)分為大集和小集，使得κ本身很大，?并且所有單例{ α }，α ∈ κ很小，小集的
補(bǔ)集很大，并且反之亦然。小于的交集κ大集又大了。
事實(shí)證明，具有二值測度的不可數(shù)基數(shù)是無法從ZFC證明其存在的大基數(shù)。
形式上，可測基數(shù)是不可數(shù)基數(shù)κ，使得在κ的冪集上存在κ加性、非平凡、0-1值測度。（這里術(shù)語k-additive意味著，對于任何序列A α，α<λ的基數(shù)λ<κ，A α是成對相交的小于κ的序數(shù)集，A α的并集的度量等于個人A α的措施。)
強(qiáng)基數(shù)
如果λ是任何序數(shù)，κ是λ-strong意味著κ是基數(shù)并且存在從宇宙V到具有臨界點(diǎn)κ和Vλ?M
也就是說，M在初始段上與V一致。那么κ是強(qiáng)的意味著它對所有序數(shù)λ都是λ-強(qiáng)的。
伍丁基數(shù)
f : λ→λ
存在一個基數(shù)κ<λ和{f(β)|β<κ}和基本嵌入j : V→M
來自馮諾依曼宇宙V進(jìn)入可傳遞的內(nèi)部模型M和臨界點(diǎn)κ和V_j(f）(κ)?M
一個等效的定義是這樣的：
λ是伍丁當(dāng)且僅當(dāng)λ對所有λ來說都是非常難以接近的
A?V_λ存在一個λ_A<λ這是<λ-A-strong的
超強(qiáng)基數(shù)
當(dāng)且僅當(dāng)存在基本嵌入 j ：V→M從V到具有臨界點(diǎn)κ和V_j(κ)?M
類似地，基數(shù)κ是n-超強(qiáng)當(dāng)且僅當(dāng)存在基本嵌入j : V→M從V到具有臨界點(diǎn)κ和V_jn(κ)?M 。Akihiro Kanamori已經(jīng)表明，對于每個n>0，n+1-超強(qiáng)基數(shù)的一致性強(qiáng)度超過n-huge 基數(shù)的一致性強(qiáng)度。
強(qiáng)緊致基數(shù)
當(dāng)且僅當(dāng)每個κ-完全濾波器都可以擴(kuò)展為κ-完全超濾器時，基數(shù)κ是強(qiáng)緊湊的。
強(qiáng)緊基數(shù)最初是根據(jù)無限邏輯定義的，其中允許邏輯運(yùn)算符采用無限多的操作數(shù)。常規(guī)基數(shù)κ的邏輯是通過要求每個運(yùn)算符的操作數(shù)數(shù)量小于κ來定義的；那么κ是強(qiáng)緊致的，如果它的邏輯滿足有限邏輯緊致性的模擬。具體來說，從其他一些陳述集合中得出的陳述也應(yīng)該從基數(shù)小于κ的某個子集合中得出。
強(qiáng)緊性意味著可測性，并被超緊性所暗示。鑒于相關(guān)基數(shù)存在，與ZFC一致的是第一個可測基數(shù)是強(qiáng)緊基數(shù)，或者第一個強(qiáng)緊基數(shù)是超緊基數(shù)；然而，這些不可能都是真的。強(qiáng)緊基數(shù)的可測極限是強(qiáng)緊的，但至少這樣的極限不是超緊的。
強(qiáng)緊性的一致性強(qiáng)度嚴(yán)格高于伍丁基數(shù)。一些集合論學(xué)家推測強(qiáng)緊基數(shù)的存在與超緊基數(shù)的存在是等一致的。然而，在開發(fā)出超緊基數(shù)的規(guī)范內(nèi)模型理論之前，不太可能提供證明。
可擴(kuò)展性是強(qiáng)緊湊性的二階類比。
超緊致基數(shù)
如果M?M，則稱κ為λ超緊基數(shù)；如果對任意為λ≥κ，κ為λ超緊基數(shù)，則稱k為超緊基數(shù)。
若κ是超緊基數(shù)，則存在κ個小于k的超強(qiáng)基數(shù)。
假設(shè)N是一個ZFC的模型, δ是一個超緊基數(shù), 如果對任意λ>δ, 存在ρδ (λ) 一個δ-完全的正則精良超濾U滿足
(1) ρδ(λ) ∩ N ∈ U ；
(2) U ∩ N ∈ N ，
就稱N是關(guān)于δ是超緊基數(shù)的弱擴(kuò)張子模型 (weak extender model) 。
終極層級
哥德爾的可構(gòu)造宇宙
L的構(gòu)造：Lo=?
L1=Def(Lo)=Def(?)={?}
...
Ln+1=Def(Ln)
...
Lω=Lo∪L1U...ULnU...=ULk
K<ω
...
Lλ={Def(La) 若λ=α+1
{U LK 若λ是極限序數(shù)
K<λ
L=ULK，K跑遍所有序數(shù)
K
終極l
內(nèi)模型計(jì)劃(Inner Model program)
簡單地說,設(shè)V是真實(shí)的集合論宇宙,但由于哥德爾提出的集合論內(nèi)模型L無法容納大基數(shù)的存在。
在此之后的集合論學(xué)家們所做的就是:構(gòu)造類似于L的內(nèi)模型,同時能夠容納大基數(shù)。
Woodin證明了:如果存在一個類似于L的模型M,它能容納一個超緊致基數(shù)(supercompact) ,那就存在一個模型UU可以容納已知的所有大基數(shù); U非常接近集合論宇宙V。Woodin將這個模型U稱為終極L(Ultimate L)
摘自知乎作者Ember Edison
V=終極-L的直接推論
(Axiom Icarus set) 見證最大基數(shù)Icarus的存在性。 (Woodin) 見證真類多的Woodin基數(shù)。
(L-like) 是最大的內(nèi)模型。(ADR-like) 見證能夠和選擇公理兼容的最大的類- ADR 公理，并且θ是正則的。
(Ordinal Analysis) 擁有最大的證明論序數(shù)。（即使序數(shù)分析目前遠(yuǎn)未到ZFC的水平）
(Regularity property) 見證能夠和選擇公理兼容的最強(qiáng)的實(shí)數(shù)正則性質(zhì)斷言（雖然具體的值我未曾找到）
(Ω?logic) 見證 Ω 猜想成立。
(V=HOD) 見證每一個集合都是遺傳序數(shù)可定義的，HOD猜想成立。
(Reinhardt) 見證ZF+Reinhardt不一致。 ( H(λ+) ) 存在非平凡初等嵌入 j:Lλ(H(λ+))→Lλ(H(λ+)) .
(Generic-Multiverse) V是最小的脫殊復(fù)宇宙。 (GCH) 見證廣義連續(xù)統(tǒng)假設(shè)成立，并且 ω1 上有一個均勻預(yù)飽和理想。
(PFA) 見證正常力迫公理(Proper Forcing Axiom)成立。
PFA+存在一個Woodin基數(shù)可以見證，存在見證一個Woodin基數(shù)是Woodin基數(shù)的極限的內(nèi)模型。PFA本身可以推出開放涂色公理OCA(Open coloring axiom)。是一個比較有用的力迫公理。
(?MP) 見證必要最大化原則(Necessary Maximality Principle)成立。
如果在一個弱緊致基數(shù)的模型內(nèi)見證 ?MP 成立可以見證，存在見證一個Woodin基數(shù)的內(nèi)模型并且投影決定性公理PD成立。另一個比較有用的力迫公理。
(UA) 見證超冪公理(Ultrapower Axiom)成立。
(UBH, CBH) 唯一分支假設(shè)UBH以及共尾分支假設(shè)CBH不成立。
V=終極-L的前置需求
(Supercompact) 一個內(nèi)模型是終極-L至少要見證一個超緊致基數(shù)。
(Ultrapower Axiom) 一個內(nèi)模型是終極-L也可以至少見證超冪公理UA+地面公理GA+存在一個最小強(qiáng)緊致基數(shù)成立。
(SBH) 一個內(nèi)模型是終極-L必須是基于策略分支假設(shè)SBH。
導(dǎo)讀：目前最強(qiáng)的見證存在武丁基數(shù)的武丁強(qiáng)極限的內(nèi)模型中見證cUBH(弱唯一分支假設(shè))成立，并見證 ?α 對一切基數(shù) α 成立。
如果某個內(nèi)模型見證一個基數(shù) α 是 Π12 - 亞緊致基數(shù)存在則UBH(唯一分支假設(shè))，CBH(共尾分支假設(shè))，SBH(策略分支假設(shè))，PFA都可以成立，并破壞 ?α 。
V=終極-L的可能推論
(First-Order) V=終極-L是一個多元一階算術(shù)(Many-Sorted First-Order Logic)集合論。
(finitely axiomatizable) 存在V=終極-L的有限公理化。
導(dǎo)讀：終極-L本身當(dāng)然不可能是有限公理化的。但是我們可以這樣做：宣告ZF，宣告V=終極-L，宣告存在以上所有條款的最大序數(shù)真謂詞。（可數(shù)傳遞模型/ α -傳遞模型是不需要的，因?yàn)榻K極-L見證 Ω 猜想成立）然后尋找這一套東西的保守?cái)U(kuò)張是有窮公理化的，將這個最終的東西命名為“V=終極-L的理論”。只要V=終極-L確實(shí)是多元一階算術(shù)，就可以這樣做。
(Limit of supercompact) 存在真類多的Eη基數(shù)并且每一個Eη基數(shù)都是超緊致基數(shù)的極限。
(AD-Conjecture) 對于每一個超緊致基數(shù)的極限基數(shù) λ , ADλ 成立。
導(dǎo)讀：I0和Icarus都是極其強(qiáng)大的內(nèi)模型。第一個 ADL(R) 的證明使用I0基數(shù)的存在性而得以完成，而反過來說，這也證明了I0基數(shù)是和 ADL(R) 相似的類-AD公理。然而，繼續(xù)向上推廣I0會遇到一些疑難：I0本身已經(jīng)并不是非常像決定性公理，或許繼續(xù)往上會越來越不像決定性公理。所以在I0和Icarus之間發(fā)展出了三種不同的推廣方式，也就是U(j)表示，Suslin表示，E層級。而如果AD-Conjecture成立可以終極地避免類似問題：我們在V和Icarus之間建立了絕對性。
(The Perfect Theory 2.b.) Icarus基數(shù)之下的每一個 ≥I0 基數(shù)的真類初等嵌入具有三歧性。
(V[G]) 如果V[G]是V的脫殊集合擴(kuò)張并且V在V[G]的 ω? 序列下不封閉那么V[G]≠終極-L并且V[G]中普遍分區(qū)公理不成立。
(Universal Partition) 見證普遍分區(qū)公理成立。
(Strong Universal Partition) 見證強(qiáng)普遍分區(qū)公理成立。
(Canonical inner model) 終極L是一個典范內(nèi)模型，并見證地面公理Ground Axiom成立。
V=終極L自身的疑難問題
( LΩ,LSΩ,L(?)Ω ) 終極L是否是唯一的。
(Ultrafilter Axiom at λ) 如果只有一個終極-L，那么對于每一個超緊致基數(shù)的極限基數(shù) λ , 超濾公理成立，反之不成立。
即使真的存在一個典范的內(nèi)模型是終極L并且滿足“Woodin的完美理論”的所有條款，也不一定只有一個這樣的典范內(nèi)模型。雖然Woodin與Peter Koellner等人認(rèn)為終極-L幾乎沒有可能不是唯一的，然而如果內(nèi)模型計(jì)劃最終得到了這樣的結(jié)果的話，終極-L也不會是柏拉圖主義所完全滿意的那個終極理論而變成了形式主義的又一次偉大勝利。
以下戲仿內(nèi)模型計(jì)劃的其中一個挑戰(zhàn)理論，內(nèi)模型假設(shè)的形式的猜想，假定了終極L至少具有 ω1CK 個這種宏偉意義上的唯一性失敗。
(IMH for Ultimate-L) 對于每一個一階語句 ψ 若位于一些 V 的外模型內(nèi)那么存在一個終極內(nèi)模型 LψΩ 滿足 ψ。
(StrongIMH for Ultimate-L) 對于每一個帶有參數(shù) (ω1,ω2) 的一階語句 ψ 若位于一些 V 的外模型內(nèi)并且 ω1 -preserving和 ω2 -preserving 那么存在一個終極內(nèi)模型 LψΩ 滿足 ψ。
原版的 IMH 是一個具有最大寬度（通過將所有力迫外模型所增強(qiáng)的語句指認(rèn)為宇宙內(nèi)的適當(dāng)內(nèi)模型）但是極低的高度（不存在不可達(dá)基數(shù)）的“矮而最胖”的集合論公理。而相對的終極-L則是一個“最高而瘦”（最大的大基數(shù)和CH成立）的集合論公理。雖然不太可能成功，但是這樣的一個縫合怪或許是某種意義的最優(yōu)集合論理論。
(M-Max) ZFC+V=終極L 是否能比 ZFC+≤Icarus+MM++ 更為M-最大？
馬丁最大化MM作為一個早年Woodin信奉后來又拋棄的概念，一直都有將MM的弱化（ MM++(c),PFA,OCA 等）和集合論局部結(jié)構(gòu)的內(nèi)模型相互比較強(qiáng)度的論文推出。誠然，終極-L會是一個S-最大(Steel-Maximization)理論，然而有人質(zhì)疑V=終極L作為是否能在M-最大(Maddy-Maximization)意義上比MM更強(qiáng)，因?yàn)樗麄冋J(rèn)為似乎終極L并不是那么的典范的內(nèi)模型，并且最終提出了以下猜想。
(INEC) 解釋不存在猜想Interpretation Non-Existence Conjecture:
ZFC+V=終極L中不存在關(guān)于 ZFC+≤Icarus+MM++ 的M-等價解釋。因此，ZFC+≤Icarus+MM++嚴(yán)格意義地比 ZFC+V=終極L 更為M-最大。
馮諾伊曼宇宙
V0=?
V1={?}
V2={?,{?}}
...
Vn+1= P(Vn)P表示冪集
...
Vω=V1∪V2∪...∪Vn∪...∪=∪Vk
k＜ω
...
Vλ={P(Vα) 若λ=α+1
{∪Vk 若λ是極限序數(shù)
k＜λ
V=∪Vk k跑遍所有序數(shù)
k
復(fù)宇宙/集合論多宇宙
集合論多宇宙觀
..the set of all truths of the transfinite universe cannot be reduced to the set of truths of some explicit fragment of the universe...
- W. Hugh Woodin [52, 103]
本章中，作者將介紹 2010 年前后由 Joel David Hamkins 在[20]中第一次系統(tǒng)地闡釋的集合論多宇宙觀（Multiverse View）的哲學(xué)立場.之后，作者將論證該哲學(xué)立場要么與它聲稱反對的傳統(tǒng)集合實(shí)在論立場相融，要么實(shí)際上就是一種形式主義的數(shù)學(xué)哲學(xué).
在下面的討論中，我們主要關(guān)注的仍然是多宇宙觀、傳統(tǒng)集合實(shí)在論以及形式主義立場對數(shù)學(xué)研究的實(shí)際影響，而暫時忽略它們背后的哲學(xué)淵源.例如，人們可以將多宇宙觀對人們在各種集合論宇宙中經(jīng)驗(yàn)的強(qiáng)調(diào)理解為一種經(jīng)驗(yàn)主義的傳統(tǒng)，從而與顯然是理性主義傳統(tǒng)的集合實(shí)在論截然對立，但這并不是本章，也不是整個論文所關(guān)注的方向，后文中的論證依然重點(diǎn)著眼于多宇宙觀等哲學(xué)立場對具體問題的看法.
首先，我將簡單介紹多宇宙觀醞釀產(chǎn)生的學(xué)科發(fā)展背景，以及多宇宙觀的基本觀點(diǎn)。
5.1 集合論模型與多宇宙觀
我們知道傳統(tǒng)集合實(shí)在論認(rèn)為，作為數(shù)學(xué)對象的所有集合客觀地存在于集合論宇宙中.我們對于這些集合的理解，要么符合事實(shí)，要么不符合.人們對集合的理解，也即人們的集合概念體現(xiàn)為集合論的諸公理.集合論公理系統(tǒng)可以看作是對集合這個概念的隱定義.然而，不完全現(xiàn)象說明人們對集合概念的理解是不充分的.傳統(tǒng)實(shí)在論的目的就是逼近那個正確的理解，它表現(xiàn)為集合論新公理的確立.顯然，這樣的公理是不能隨意選擇的，它必須是對集合論宇宙中的那些事實(shí)的正確的陳述.
集合論多宇宙觀與傳統(tǒng)實(shí)在論是對立的.它認(rèn)為沒有一個絕對正確的集合的概念.人們對集合的理解多種多樣，對每一種理解都存在相應(yīng)的集合論宇宙作為其例證.我們不能說某個理解是正確的，而其他的是錯誤的.或者說，我們可以有各種各樣的集合論的“真”，即在不同的集合論宇宙中的真充分的。傳統(tǒng)實(shí)在論的目的就是通近那個正確的理解，它表現(xiàn)為集合論新公理的確立。顯然，這樣的公理是不能隨意選擇的，它必須是對集合論宇宙中的那些事實(shí)的正確的陳述.
集合論多宇宙觀與傳統(tǒng)實(shí)在論是對立的.它認(rèn)為沒有一個絕對正確的集合的概念.人們對集合的理解多種多樣，對每一種理解都存在相應(yīng)的集合論宇宙作為其例證.我們不能說某個理解是正確的，而其他的是錯誤的?；蛘哒f，我們可以有各種各樣的集合論的“真”，即在不同的集合論宇宙中的真.
5.1.1 構(gòu)造集合論模型
多宇宙觀產(chǎn)生的學(xué)科背景是在近幾十年，尤其是 Cohen 發(fā)明力迫法以后，各種“集合論模型”的“構(gòu)造”已經(jīng)成為集合論研究所無法離開的工具。例如，通過初等嵌入對大基數(shù)的定義?；鶖?shù) κ 滿足某個大基數(shù)性質(zhì)，當(dāng)且僅當(dāng)存在一個初等嵌入 j：V → M，使得 κ 是j 的關(guān)鍵點(diǎn)。而被嵌入的集合論模型 M 往往是 V 的超冪或超冪的迭代.
構(gòu)造集合論模型的作用更多地體現(xiàn)在作為不完全現(xiàn)象的例證，各種獨(dú)立命題或一致性證明的發(fā)現(xiàn)，都可以看作是構(gòu)造了某些集合論模型.在其中，那些命題最直觀的是集合模型的構(gòu)造.例如，假設(shè)存在一個不可達(dá)基數(shù) k(參見定義 2.3.3)，那么 Vκ 就是一個 ZFC 的模型.如果我們?nèi)〉?k是最小的不可達(dá)基數(shù)，那么 Vκ 會認(rèn)為它里面沒有不可達(dá)基數(shù)。因此
ZFC+存在不可達(dá)基數(shù)╞ Con(ZFC +不存在不可達(dá)基數(shù)).1
又由向下的 Lowenheim-Skolem 定理，我們甚至可以找到一個可數(shù)的 ZFC 模型。它會“錯誤地”認(rèn)為自己有不可數(shù)多的對象。在對運(yùn)用力迫法證明一致性的敘述
中，我們往往會把原模型看作是一個可數(shù)模型，這讓我們可以很直觀地得出脫殊濾的存在，從而構(gòu)造出力迫擴(kuò)張。然而，要證明存在某個集合論理論的集合模型必須要假設(shè)一致性強(qiáng)度更強(qiáng)的公理系統(tǒng).因此，從 ZFC 出發(fā)的針對其它命題與 ZFC 的一致性證明往往是相對一致性證明.即，我們先假設(shè)一個模型的存在,
1其實(shí)，證明不可達(dá)基數(shù)的一致性只需要假設(shè) Con(ZFC)。假設(shè) M 是 ZFC 模型，那么 M 中“所有在第一個不可達(dá)基數(shù)(如果存在的話)階(rank)之下的集合”組成的類就是不存在不可達(dá)基數(shù)的模型.
再從這個模型出發(fā)，或限制或擴(kuò)張，構(gòu)造出一個滿足特定命題的模型.
內(nèi)模型(inner model)是通過對原模型作限制而得到新模型的一種構(gòu)造方式。如哥德爾的可構(gòu)成集類 工(參見定義2.2.5).在其中，每一層結(jié)構(gòu) Lα(α無窮) 的基數(shù)是|α|，而 Lα 的所有子集都可以在 L(α+)L 中被構(gòu)造出來.因而，廣義連續(xù)統(tǒng)假設(shè)在其中成立.在可構(gòu)成集組成的宇宙中，我們可以根據(jù)每個對象第一次被構(gòu)造出來的先后順序，以及被構(gòu)造所使用的方式(可數(shù)種)、參數(shù)（已構(gòu)造并排序的對象）來排定該對象的位置。因此，我們在整個宇宙上有一個可定義的良序，即選擇公理在 L中成立.但 L中不一定含有全部的實(shí)數(shù)，我們可以從實(shí)數(shù)集（而非空集)開始構(gòu)造，得到 L(R)。在其中，有可能沒有一個實(shí)數(shù)上的排序，從而選擇公理又不成立。我們也可以用利用序數(shù)可定義性來定義內(nèi)模型 HOD。其中所有的集合以及它們的元素都是以序數(shù)為參數(shù)在 V 中可定義的.由于其定義所用的參數(shù)就是序數(shù)，而定義方式可數(shù)，所以也很容易將整個宇宙良序化。但是，連續(xù)統(tǒng)的取值在 HOD 卻可以非常任意.
無論集合模型還是內(nèi)模型的構(gòu)造都可以看作是在我們這個絕對的集合論宇宙內(nèi)部的構(gòu)造.力迫擴(kuò)張，一種外模型(outer model)的構(gòu)造方式(參見 2.2.2 子節(jié))，的產(chǎn)生才是對傳統(tǒng)集合實(shí)在論的真正挑戰(zhàn).我們往往會這樣敘述一個運(yùn)用力迫法的一致性證明：我們從一個集合論宇宙 V 出發(fā)，構(gòu)造其中的一個布爾代數(shù) B.我們給每個關(guān)于集合的陳述賦予一個 B 上的值以表示其真假程度.當(dāng)然，這種賦值需要符合一定規(guī)律，例如 ZFC 中句子都被賦予 1，即絕對真；如果 ZFC╞ φ → ψ，那么φ賦的值就比 p 更真。事實(shí)上，我們構(gòu)造了一個多值邏輯的模型，即布爾值模型。其中有一些陳述的真值介于絕對的真和絕對的假之間。從中，我們可以看到更多集合論模型的可能性.我們設(shè)想有一個 P 上的 V 脫殊濾 G.它是一個超濾，將 B 分為兩個等價子類，即真和假.從而把可能性現(xiàn)實(shí)化，得到力迫擴(kuò)張 V[G]并滿足特定的命題。一般來說， V 是 V[G]的子類,但 V[G]中卻含有 V 中沒有的對象，如 G.也就是說 V[G]是比 V更大的宇宙。這種構(gòu)造似乎是在說，處于集合論宇宙之內(nèi)的人(通過布爾值模型)也可以想象宇宙之外的情況，按照一些實(shí)在論者的想法，這些可以被合理地想象的對象也是實(shí)在的.那么， V 對生存于其中的人們來說就不再是絕對的宇宙了.
集合論學(xué)家往往喜歡把上述的那些技術(shù)手段理解為集合論模型的構(gòu)造.因此，Hamkins 等人認(rèn)為，傳統(tǒng)的實(shí)在論已經(jīng)不適合集合論研究的現(xiàn)狀了，多宇宙觀則
顯得更加自然.他強(qiáng)調(diào)，集合論多宇宙觀是一種二階或高階的實(shí)在論.2如果說傳統(tǒng)集合實(shí)在論是關(guān)于集合的柏拉圖主義，那么多宇宙觀就是關(guān)于集合論宇宙的柏拉圖主義.人們關(guān)于各種集合論模型、各種可能的集合論概念，以及它們之間關(guān)系的研究應(yīng)該成為未來集合論研究的主題.
5.1.2 集合概念與集合論模型
Hamkins 在[20]中提到:“我將簡單地把一種集合概念與引起這種概念的集合論模型等同起來”.
而作者恰恰認(rèn)為這種等同是不合適的，一種集合概念可以在很多集合論模型中被滿足，而這些模型很可能非常不同，例如，假設(shè) M 是 ZFC 的一個模型， U 是 M 中的一個超濾.則根據(jù)超冪基本定理， M 與超冪 Ult(M,U)是初等等價的。也就是說，在多宇宙觀看來，這兩個模型對應(yīng)的集合概念是一樣.然而這兩個集合論模型可以是非常不同的.
定理 5.1.1假設(shè) M 是一個集合論模型， U 是 M 中的超濾. U 不是可數(shù)完全的.即存在 U 中的 A0, A1,...， An，...。使得 ∩n An = ?.那么，存在一個 Ult(M,U)中的“屬于”關(guān)系的無窮下降鏈。
證明 令 A = ∪U，即 U 是 A 上超濾.由于濾對于有窮交封閉，我們可以安全地假設(shè)
A0 ? A1 ? … ? Am ? ....
令Bn = An\An+1.定義 M 中函數(shù) f：A → ω，對 a ∈ Bn，
fi(α) = { n-i 若n-i
{ 0 否則.
圖 5.1.1：無窮下降鏈
容易驗(yàn)證(如圖5.1.1)，對任意i, {α ∈ A|fi+1(α) ∈ fi(α)} ∈ U，即|fi+1| ∈ Ult(M,U)|fi|.
2Hamkins 在所有作者所知的學(xué)術(shù)報(bào)告中，都把多宇宙觀稱作二階實(shí)在論，但在[20]中他謹(jǐn)慎地將多宇宙觀表述成一種高階實(shí)在論，他似乎不排除將他的多宇宙觀往更高階的推廣的可能.
注意， Uht(M,U)與 M 初等等價，因而滿足良基公理，即它不認(rèn)為其中有無窮長的“屬于”關(guān)系的下降鏈，但是，從外面看，我們?nèi)匀豢梢哉业綗o窮長的下降鏈.
我們知道，兩個相同的模型(往往在同構(gòu)的意義上)總是滿足同樣的句子，因而適合于它們的集合概念應(yīng)該是一樣的.然而，按照多宇宙觀的看法，一個集合論模型可以在不同的宇宙中被檢視.例如， M 是 N 中的一個集合模型，而 N 本身也是 V 中的一個集合模型.那么，有可能 N 認(rèn)為 M 所滿足的公式與 V 認(rèn)為 N 中的 M 所滿足的公式并不相同.讀者可以在 5.2 節(jié)中找到具體的例子.
因此，我們必須問多宇宙觀的擁護(hù)者，他們到底是強(qiáng)調(diào)那些集合論模型的實(shí)在性還是強(qiáng)調(diào)沒有一個絕對的關(guān)于集合的概念.作者將論證：如果多宇宙觀強(qiáng)調(diào)的是各種集合論模型的存在，那么這種哲學(xué)觀點(diǎn)可以與傳統(tǒng)的集合實(shí)在論相容，我們?nèi)匀豢梢栽O(shè)想有一個真實(shí)的反映集合的客觀實(shí)在的集合概念.如果多宇宙觀強(qiáng)調(diào)的是不存在一種絕對的集合概念，那么它在實(shí)踐上就是一種形式主義.
5.2 復(fù)宇宙
Hamkins 在[20]中的一些地方表現(xiàn)出他更強(qiáng)調(diào)那些集合論模型的實(shí)在性.其中最有代表性的是他對復(fù)宇宙（multiverse）3的描述.類似于傳統(tǒng)實(shí)在論所假設(shè)的絕對的集合論宇宙(包含著所有的集合)，多宇宙觀的復(fù)宇宙是由所有的集合論宇宙組成的那個絕對的宇宙. Hamkins 強(qiáng)調(diào):“我們不期望從一個宇宙能夠看到整個復(fù)宇宙”[20,23].這里，多宇宙觀的復(fù)宇宙，類似于傳統(tǒng)實(shí)在論的集合論宇宙，是一個絕對的概念.即，凡是能夠被想象的集合論宇宙都在其中，超出復(fù)宇宙這種想法本身是不一致的.
Hamkins 在[20,4]提到了 von Neumann [46, 412]考慮到的一種情況：“一個集合論模型可以是另一個集合論模型中的集合，而且一個集合可以在前一個模型中是有窮的，而在后一個模型看來是無窮的；類似地，前一個模型中的良序在后一個模型看來可以有一個無窮下降鏈.”這為人們對復(fù)宇宙內(nèi)宇宙間的關(guān)系的理解提供了一些直觀.
5.2.1 復(fù)宇宙公理及其一致性
類似于一些集合論公理描述了集合論宇宙的豐富性，即集合論宇宙在集合存在和集合運(yùn)算下的封閉性， Hamkins 提出了一組復(fù)宇宙公理力圖展現(xiàn)復(fù)宇宙的豐富性，即存在很多的集合論宇宙，并且復(fù)宇宙在集合論宇宙之間的一些關(guān)系下封閉.
定義 5.2.1 （復(fù)宇宙公理）假設(shè) M 是一個由 ZFC 模型組成的非空類.我們說 M 是一個復(fù)宇宙，但且僅當(dāng)它滿足：
(1）可數(shù)化公理：對任意 M 中的模型 M，存在 M 中的一個模型 N，使得 M 是 N 中的一個可數(shù)集合.
(2)偽良基公理：對任意 M 中的模型 M，存在 M中的一個模型 N，使得在 N 看來，結(jié)構(gòu) M 上的關(guān)系 ∈ω 是一個莠基的關(guān)系.
3作者將 multiverse view 譯作多宇宙觀，這是與傳統(tǒng)集合實(shí)在論，也即被多宇宙觀稱作唯一字宙觀(universe view)相對的概念，而這里的復(fù)宇宙是指多宇宙觀所理解的包含所有集合論宇宙的那個宇宙。
(3)可實(shí)現(xiàn)公理：對任意 M 中的模型 M，如果 N 是 M 中參數(shù)可定義的類,并且 M 認(rèn)為 N 是 ZFC 的模型，那么 N 在 M 中.
(4)力迫擴(kuò)張公理：對任意 M 中的模型 M，如果 P 是 M 中參數(shù)可定義的偏序 (類)，那么存在一個 P上的 M 脫殊濾 G，使得力迫擴(kuò)張 M[G]在 M 中.
(5)嵌入回溯公理:對任意 M 中的模型 M1若 ji, M2是 M1 中參數(shù)可定義的類且 M1 認(rèn)為 ji ：M1 → M2 是一個初等嵌入，那么存在 M 中的一個模型 M0，M0認(rèn)為以同樣方式4定義的 j0 ：M0 → M1 是一個初等嵌入，并且 j1 = j0(j0).
注 5.2.2 我們說,“集合論模型(M,∈M)5是 N 中的一個元素(集合)”或“M 在 N 中”，是指存在集合 N 中的一個元素 α0， N 認(rèn)為該元素是由 m0, E0 組成的有序?qū)η?E0 是 m0 上的一個二元關(guān)系，且 N ╞ α0 = (m0,E0)ΛE0 ? m0×m0，而從外面看集合 m1 = { x ∈ N | N ╞ x ∈ m0} 及其上的關(guān)系 E1 = {(x,y) ∈ N × N | N ╞ xE0y}組成的結(jié)構(gòu)(m1,B1)同構(gòu)于集合論模型 M.
圖 5.2.1：非傳遞模型的錯覺
4“以同樣方式”指的是：假設(shè) j1 = {x ∈ M1 | M1 ╞ φ[x，p1]}，則 j0 = {x ∈ M0 | M0 ╞ φ[x，p0]} 且 j0(p0) = p1.
5當(dāng)我們談?wù)撘粋€集合論模型（M,∈M）時，往往會簡寫為“集合論模型 M”，此時，我們考慮的是一個結(jié)構(gòu)，而不僅僅是一個集合.
由于這里所涉及的集合論模型不一定是傳遞模型.從外面看，它們的“屬于”關(guān)系不一定是真正的屬于關(guān)系的一個子類.所以，同一個對象，從外面看和從一個非傳遞的集合模型 N 看，可能包含不同的元素.我們一般用上標(biāo) 0 來強(qiáng)調(diào)我們指的是模型 N 中的一個對象，用上標(biāo) 1 來表示我們指的是 N 把該對象理解成的那個集合.例如， N = Ult(V,U)是一個超冪(U 是序數(shù) α 上超濾). N 中的元素都是形如 [f]U 的集合.其中 f 是從 α 到 V 中的函數(shù)， [f]U 是 mod U 的等價類。從外面看 [f]U 是由所有與 f 等價的函數(shù)組成的集合，我們用 α0 表示這個對象，即 α0 ={g | g ~U f}= [f]U。而在 N 看來， [f]U 所包含的元素是那些 [g]U。從外面看，那些 g 滿足對大部分 s有 g(x) ∈ f(x) (記為 g ∈U f)。此時，我們用 α1 來表示， N 所理解的 α0，既 α1 ={[g]U | g∈U f}.
結(jié)構(gòu)(m1,E1)是從外面看對 N 所理解的(m0,E0)的理解.對任意 x,y ∈ m1，
(m1,E1) ╞ x ∈ y (即 xE1y)當(dāng)且僅當(dāng) N ╞ ┌ (m0,E0) ╞ x ∈ y?。而 x ∈ m1 當(dāng)且僅當(dāng) x ∈ N 且 N ╞ x ∈ m0。因此，對公式復(fù)雜度簡單地歸納就可以得出：任給集
合論公式 φ 和 x1,...,xn ∈ m,
(5.2.1) (m1,E1) ╞ φ[x1,...,xn] ? ╞ ┌(m0,E0) ╞ φ[x1,...,xn]?
注 5.2.3 我們說,“集合模型 M1 認(rèn)為別 j1：M1 → M2 是一個初等嵌入”（ j1 和 M2 是 M1 中參數(shù)可定義的類)，嚴(yán)格地是在說， M 認(rèn)為 j1 是從自身到 M2 的 Σ0 初等嵌入(對任意 Σ0 公式 φ(x) 有, M1 ╞ φ[α] 當(dāng)且僅當(dāng) M2 ╞ φ[j(α)]).這樣定義是因?yàn)?，M 中無法定義自己的真謂詞，因而無法真正說 j1 是初等嵌入。但 M1 中可以說 j1 是 Σ0 初等嵌入。并且從外面看，如果 j1：M1 → M2 是 Σ0 初等嵌入，那么從外面可以歸納地證明它確實(shí)是初等嵌入，核心歸納步驟如下.
假設(shè) M2j(β) ╞ ?xφ(x)，那么存在序數(shù) α OrdM2 使得， VM2j(β) ╞ ?xφ(x)。由于 j1 是一個共尾嵌入，即總存在β ∈ M1 使得 j(β)>α，我們選取足夠大的 β 使得 VM2j(β) ╞ ?xφ(x)。即 M2 ╞ ?x ∈Vj(β)φ(x)。而 ?x ∈Vj(β)φ(x)的復(fù)雜度不比 φ 更高，所以我們可以運(yùn)用歸納假設(shè)，得到 M1 ╞ ?xφ(x).
總的來說，復(fù)宇宙公理所要表達(dá)的是，復(fù)宇宙是沒有中心的，沒有一個集合論宇宙可以被看作是標(biāo)準(zhǔn)的.我們看到的或想象我們生存于其中的那個集合論宇宙，在別的宇宙看來可能只是一個可數(shù)的世界；或者它不是一個良基的世界；它可能是另一個世界中的超冪或者是布爾值模型下的一種可能性.并且，即使我們能跳出當(dāng)前的宇宙，從更高明的角度審視并意識到這些問題，我們?nèi)匀恢徊贿^是處于一個更高級的幻覺中而已.
Gitman 和 Hamkins 在[15]中證明了，假設(shè) ZFC 是一致的，那么看似荒謬的復(fù)宇宙公理并不蘊(yùn)含著矛盾.
定義5.2.4（可數(shù)的可計(jì)算地和模型類） 令 T 是一個集合論理論，
CCSM(T)={(m, E) | m 可數(shù),且(m, E)是 T的可計(jì)算飽和模型}
是由所有滿足 T 的可數(shù)可計(jì)算飽和的集合論模型組成的類.
一個集合論模型 M 是可計(jì)算飽和的，當(dāng)且僅當(dāng)對于任意可計(jì)算的公式集 ?(x,a)(其中至多包含一個自由變元 ,一個參數(shù) α ∈ M)。如果 ?(x,a)的每個有窮子集在 M 中可實(shí)現(xiàn)(即有窮可實(shí)現(xiàn)),那么整個 ?(x,a) 在 M 中可實(shí)現(xiàn),即存在 b ∈ M 使得 M╞ ?[b,a].
容易驗(yàn)證，任何可計(jì)算飽和的集合論模型都有一個非標(biāo)準(zhǔn)的 ω。因?yàn)?，公式?{x < ω,x > 0,x > S0,...,x > Sn0,…} 是可計(jì)算的，也是 M 中有窮可實(shí)現(xiàn)的.
定理 5.2.5（Gitman-Hamkins）假設(shè) ZFC 一致，那么 CCSM(ZFC)滿足所有復(fù)宇宙公理.即所有可數(shù)的可計(jì)算飽和的 ZFC 模型組成了一個復(fù)宇宙，證明概述首先，引理 5.2.6 是整個證明的核心引理.
引理 5.2.6 任給兩個可數(shù)的可計(jì)算飽和的 ZFC 模型，如果它們有相同的標(biāo)準(zhǔn)系統(tǒng)，那么這兩個模型同構(gòu).
我們知道,一個ω非標(biāo)準(zhǔn)的模型 N 中不存在標(biāo)準(zhǔn)的 ω，也不存在在標(biāo)準(zhǔn) ω 的無窮子集.但我們可以說 N 中的一個自然數(shù)子集 (非標(biāo)準(zhǔn)的) α0 是一個標(biāo)準(zhǔn)的自然數(shù)子集 A 的代碼(code)，當(dāng)且僅當(dāng) A ＝ α1 ∩ω。我們說一個模型 M 的標(biāo)準(zhǔn)系統(tǒng)(standard system)，是指所有能用 M 中元素編碼的標(biāo)準(zhǔn)的自然數(shù)子集，既 SSy(M) = {ω∩α1 | α0 ∈ M}
在證明可數(shù)化和偽良基公理成立的時候，我們實(shí)際上證明的是任何一個可數(shù)的可計(jì)算飽和模型 N 都含有一個自己的副本，即含有一個元素 α，并認(rèn)為它是一個可數(shù)的非良基集合論模型（m, E)，而通過引理 5.2.6 可以證明，從外面看，該模型與 N 同構(gòu)，反過來說，每個可數(shù)的可計(jì)算模型都在自己的一個副本之中，且被自己認(rèn)為是可數(shù)的并且是非良基的.
類似地，假設(shè) Mi 是個可數(shù)的可計(jì)算飽和模型，并且 j ：M1 → M2。我們可以利用引理 5.2.6 證明，事實(shí)上存在一個同構(gòu) M1 ? M2，并且在 Mz中以同樣方式定義的 j2 = j1(j1)。因此，就像站在 M2 的角度看，存在模型 M0 (其實(shí)是 M1 自己)及其中同樣地定義的初等嵌入 j0 ：M0 → M1 使得 j1 = j0(j0).
運(yùn)用引理 5.2.7
引理 5.2.7 假設(shè) N 是擁有一個非標(biāo)準(zhǔn)的w的 ZFC 模型，那么 N 中的模型都是可計(jì)算飽和的。
我們可以證明，任給一個可數(shù)的可計(jì)算飽和的模型 M，它的內(nèi)模型和力迫擴(kuò)張同樣在某個可計(jì)算飽和(因而也是ω非標(biāo)準(zhǔn)的)模型中，所以也是可計(jì)算飽和的,即在 CCSM(ZFC)中.
值得說明的是，在可數(shù)化公理和偽良基公理中，我們并不要求那個“更好的”模型 N 把 M 識別為 ZFC 的模型.事實(shí)上， N 中的句子集 ZFC 被編碼為 N 中的那個非標(biāo)準(zhǔn)的 ω 的子集，是一個非標(biāo)準(zhǔn)的 ZFC.所以，盡管實(shí)際上 M 是 ZFC 的模型， N 仍可能認(rèn)為 M 只滿足它所認(rèn)識的 ZFC 的一個前段.
然而，在一定的假設(shè)之下，還是可以找到一個模型 N 把 M 識別為 ZFC 的模型.
引理 5.2.8（Gitman-Hamkins）如果 M 是可數(shù)的可計(jì)算飽和的 ZFC 模型，那么下面兩個命題等價:
(1)理論 TM =ZFC+{ Con(ZFC + Γ) | Γ 是 Th(M)的有窮子集 }是一致的.
(2)存在可數(shù)的可計(jì)算飽和的 ZFC 模型 N， M 是 N 中的元素，并且 N 認(rèn)為 M 是一個可數(shù)的可計(jì)算飽和的 ZFC 模型.
我們會在后面看到， TM 一致這個假設(shè)其實(shí)并不很強(qiáng).
需要注意的是，在傳統(tǒng)實(shí)在論者看來，一個 ZFC 甚至 ZF 的模型可以被稱為一個集合論宇宙，但這些模型絕不是他們心目中的那個絕對的囊括所有集合的宇宙。類似地，我們在這里把 CCSM(ZFC)稱作一復(fù)宇宙，只是表名它滿足定義 5.2.1 的復(fù)宇宙公理.它絕不可能是二階實(shí)在論所理解的那個絕對的復(fù)宇宙,因?yàn)樗聦?shí)上是某個集合論宇宙中一個可定義的類。此外，就像 ZFC 不是對集合論宇宙的完備的描述，我們沒有理由以為定義 5.2.1 中所列復(fù)宇宙公理是完備的。事實(shí)上，人們期待著一種根本上不同于力迫擴(kuò)張的新的集合論模型構(gòu)造方式,也即一種新的一致性證明方式的發(fā)現(xiàn).
總之， Hamkins 通過這一結(jié)論試圖說明的僅僅是，多宇宙觀對復(fù)宇宙的理解至少是一種一致的無法被邏輯證否的哲學(xué)假說.
脫殊復(fù)宇宙
定義1.
令M為ZFC的可數(shù)傳遞模型,則由
M生成的脫殊多宇宙VM為滿足以
下條件的最小模型類:
1. M ∈ V M;
2.如果N∈VM,而N'=N[G]是N的脫殊擴(kuò)張,則N'∈VM;
3.如果N∈VM,而N=N'[G]是N'的
脫殊擴(kuò)張,則N'∈VM。
簡單說, VM是包含M并且對脫殊擴(kuò)張和脫殊收縮封閉的最小模型類。由V生成的脫殊多宇宙記作V.
定義2.2 (脫殊多宇宙的真)對任意ZFC的可數(shù)傳遞模型M,和對任意集合論語言中的語句σ,我們稱·σ是M-脫殊多宇宙真的,當(dāng)且僅當(dāng)它在VM的每個模型中都真,記
作VM=o；
·σ是M-脫殊多宇宙假的當(dāng)且僅VM╞σ；
·σ是M-脫殊多宇宙無意義的當(dāng)且僅當(dāng)VM╞?σ并且VM=?σ。
特別地,如果σ在由V生成的脫殊多宇宙中為真,則稱σ是脫殊多宇
宙真的,記作V╞σ。
脫殊擴(kuò)張:
力迫法
1963 年，科恩（Paul Cohen)發(fā)明了稱為力追法的有力工具，并證明了連續(xù)統(tǒng)假設(shè)的否定的一致性，即
(2.2.2) ZFC ╞ Con(ZFC)→Con(ZFC+?CH).
與哥德爾對已有 ZFC 模型 M 進(jìn)行限制從而得到滿足特定命題的子模型 LM 的構(gòu)造方式不同，力迫法所構(gòu)造的模型 M[G] 是包含給定模型 M 為其子模型的更大的模型.
假設(shè) ZFC 一致，那么由哥德爾的邏輯完全性定理8，就存在一個 ZFC 的集合模型.再由定理 2.3.5，及 Mostowski 坍塌，可以得到一個 ZFC 的可數(shù)傳遞模型。我們一般把可數(shù)傳遞模型作為力追法的原模型(ground model).9
假設(shè) M 是一個可數(shù)傳遞模型,令(P,＜) ∈ M 是 M 中的一個偏序。由于 M 是傳遞的，P，<以及任意 p ∈ P 都在 M 中。10為了直觀，我們把 P 中元素稱作條件(condition)。對 p,q ∈ p，若 p ≤ q(p
