上一文中，筆者給出了隨機(jī)變量的基本定義：一個(gè)可測(cè)映射，從結(jié)果空間到實(shí)數(shù)集，我們的目的是為了引入函數(shù)這個(gè)數(shù)學(xué)工具到考研概率論中，但是我們?cè)诂F(xiàn)實(shí)中面對(duì)的一些事情結(jié)果，映射而成的隨機(jī)變量和其對(duì)應(yīng)的概率值，并不能映射一個(gè)有太多用的函數(shù)。這就是離散型隨機(jī)變量。我們先討論它，因?yàn)殡x散型隨機(jī)變量有關(guān)的分布都比較簡單。如果要學(xué)習(xí)離散型隨機(jī)變量，必須要引入可數(shù)集的概念。

1.為什么要單獨(dú)提出來離散型隨機(jī)變量？

2.離散型隨機(jī)變量的個(gè)數(shù)可以是無限個(gè)嗎？

3.先給出"離散"的定義

4.什么是可數(shù)集？什么是不可數(shù)集？

5.可數(shù)和離散的關(guān)系？

6.從可數(shù)集的角度來定義離散型隨機(jī)變量

7.從概率質(zhì)量函數(shù)的角度來看離散型隨機(jī)變量

1.為什么要單獨(dú)提出來離散型隨機(jī)變量？

這主要是因?yàn)槲覀冊(cè)诳佳形⒎e分中學(xué)到的所有基本函數(shù)，在其單個(gè)定義域內(nèi)都是連續(xù)的。所有的數(shù)學(xué)工具都是基于此的。如果是一個(gè)定義域完全離散的函數(shù)，它每個(gè)點(diǎn)都不可導(dǎo)，求不出極值和導(dǎo)函數(shù)，也無法應(yīng)用牛頓-萊布尼茨積分公式，那其實(shí)這個(gè)概率函數(shù)就在考研范圍內(nèi)沒什么討論價(jià)值。

對(duì)于這些概率函數(shù)所對(duì)應(yīng)的隨機(jī)變量，我們就單獨(dú)拿出來叫做離散隨機(jī)變量，我們也可用一些函數(shù)去擬合它們，但就考研來講，更常用的工具是分布列去研究它們。

2.離散型隨機(jī)變量的個(gè)數(shù)可以是無限個(gè)嗎？

可以是無限個(gè)，但是是有條件的。嚴(yán)格定義應(yīng)該是離散型隨機(jī)變量的實(shí)數(shù)集必須是有限集或者可數(shù)集。通俗理解就是映射集合中任意兩個(gè)數(shù)之間，只能有限個(gè)數(shù)的。但是本文就不討論怎么定義兩個(gè)數(shù)緊挨，因?yàn)?strong>實(shí)數(shù)集中任意兩個(gè)數(shù)只要不相等，中間就一定有無限個(gè)數(shù)字。最常見的可數(shù)集就是自然數(shù)集。

3.先給出"離散"的通俗定義

離散的通俗定義，就是任取兩個(gè)數(shù)字，中間只有有限個(gè)數(shù)字。這是因?yàn)樵趯?shí)數(shù)集中，任取兩個(gè)不相等的數(shù)字，中間一定有無限個(gè)數(shù)字。也就是我們常認(rèn)為那種兩個(gè)數(shù)字之間緊挨的情況實(shí)際上是找不到的，所以只要有有限個(gè)數(shù)字，那么一定無法連續(xù)。

4.什么是可數(shù)集？什么是不可數(shù)集？

自然數(shù)集是最常見的無窮可數(shù)集，實(shí)數(shù)集是最常見的無窮不可數(shù)集。

解釋1：可數(shù)集還有一個(gè)名字就是可列集，就是可排列的數(shù)集合，實(shí)際是指你在一個(gè)集合中任取兩個(gè)數(shù)字，它們中間的數(shù)字可以被排列。如果你想排列一組數(shù)據(jù)，無論是什么排列法則，你都需要遍歷一遍，如果兩個(gè)數(shù)字中間有無窮個(gè)數(shù)字，那你就無法遍歷了，也就無法排序。所以可以看做是可數(shù)集就是任取兩個(gè)數(shù)字，中間只能有有限個(gè)數(shù)字。

解釋2：可數(shù)集就是能與自然數(shù)集的某個(gè)子集一一對(duì)應(yīng)的集合，就是一定可以和{1、2、3、4.....}構(gòu)成一個(gè)雙射，至于無限個(gè)還是有限個(gè)，到是無所謂。注意自然數(shù)集是一個(gè)離散型的數(shù)集。

（筆者認(rèn)為定義2更好理解，書上也是這樣定義的）

5.可數(shù)和離散的關(guān)系？

簡單來說，可數(shù)就代表離散。不可數(shù)就代表連續(xù)。因?yàn)榭蓴?shù)集的定義就是能跟自然數(shù)集的某個(gè)子集形成雙射，而自然數(shù)集就是離散的。

6.從可數(shù)集的角度來定義離散型隨機(jī)變量。

之前我們都是從數(shù)集的角度來看，但是我在好多書上，都是從結(jié)果空間/樣本空間來定義離散型隨機(jī)變量。

定義：如果一個(gè)隨機(jī)變量的結(jié)果空間能跟一個(gè)可數(shù)集或者有限集構(gòu)成映射，則認(rèn)為是離散型隨機(jī)變量。

（有些書上的定義，有個(gè)至多可數(shù)集，其實(shí)就是可數(shù)集-有限集）

6.從概率質(zhì)量函數(shù)的角度來看離散型隨機(jī)變量

有的資料也有從函數(shù)角度來看隨機(jī)變量的。就是指如果一個(gè)隨機(jī)變量對(duì)應(yīng)的概率函數(shù)的定義域是離散的，也就是如果這個(gè)概率函數(shù)是一個(gè)離散函數(shù)，那就認(rèn)為是離散型隨機(jī)變量。不過考研是不研究離散函數(shù)的性質(zhì)的，就不繼續(xù)討論了。

最后給出離散型隨機(jī)變量的定義：

***定義1：如果一個(gè)隨機(jī)變量的結(jié)果空間能跟自然數(shù)集的某個(gè)子集構(gòu)成映射，則認(rèn)為是離散型隨機(jī)變量。

定義2：如果一個(gè)隨機(jī)變量的結(jié)果空間能跟一個(gè)可數(shù)集或者有限集構(gòu)成映射，則認(rèn)為是離散型隨機(jī)變量。

定義3：如果一個(gè)概率函數(shù)是一個(gè)離散函數(shù)，那其定義域?qū)?yīng)的隨機(jī)變量就是離散型隨機(jī)變量。