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最近我們被客戶要求撰寫關(guān)于泊松Poisson回歸的研究報(bào)告，包括一些圖形和統(tǒng)計(jì)輸出。

這個(gè)問題涉及馬蹄蟹研究的數(shù)據(jù)。研究中的每只雌性馬蹄蟹都有一只雄性螃蟹貼在她的巢穴中。這項(xiàng)研究調(diào)查了影響雌蟹是否有其他男性居住在她附近的因素。被認(rèn)為影響這一點(diǎn)的解釋變量包括雌蟹的顏色（C），脊椎狀況（S），體重（Wt）和甲殼寬度（W）。

數(shù)據(jù)文件：crab.txt。

我們將首先擬合僅具有一個(gè)自變量：寬度（W）的泊松回歸模型

估計(jì)的模型是：$ log（\ hat {\ mu_i}）$ = -3.30476 + 0.16405W ilog(μi^) = - 3.30476 + 0.16405W

估計(jì)的β= 0.164的ASE為0.01997，這是小的，并且該斜率在z值為8.216及其低p值的情況下在統(tǒng)計(jì)學(xué)上是顯著的。

如果我們看一下W對(duì)Sa的散點(diǎn)圖（見下文），我們可能會(huì)懷疑一些異常值

您可以考慮其他類型的殘差，影響度量（如我們?cè)诰€性回歸中看到的）以及殘差圖。

以下是運(yùn)行R代碼其他部分的輸出的一部分：

從上面的輸出中，我們可以看到預(yù)測(cè)計(jì)數(shù)（“擬合”）和線性預(yù)測(cè)變量的值，即預(yù)期計(jì)數(shù)的對(duì)數(shù)值。

我們也可以看到，盡管預(yù)測(cè)是有意義的，但模型并不適合。考慮到殘差統(tǒng)計(jì)值為567.88和df為171 ，p值為零，殘差統(tǒng)計(jì)值/ DF = 567.88 / 171 = 3.321遠(yuǎn)大于1，因此該模型不適合。缺乏適合可能是由于缺少數(shù)據(jù)，協(xié)變量或過度分散。

更改模型

在上述模型中，我們檢測(cè)到一個(gè)潛在的過分散問題，因?yàn)楸壤蜃樱鐨埐钇畹闹? DF遠(yuǎn)大于1。

回想一下，過度分散的原因之一是異質(zhì)性，其中每個(gè)協(xié)變量組合中的主體仍然差異很大。如果是這樣的話，是否違背了Poisson回歸模型的泊松模型的假設(shè)？

上述R程序的輸出：

在這個(gè)模型中，隨機(jī)分量在響應(yīng)具有相同均值和方差的情況下不再具有泊松分布。根據(jù)給定的估計(jì)值（例如Pearson X 2 = 3.1822），隨機(jī)分量的變化（響應(yīng)）大約是平均值的三倍。

除了過度分散之外，如何忽略其他解釋變量？我們可以通過添加其他變量來提高擬合度嗎？

我們來比較一下這個(gè)輸出和只有“W”作為預(yù)測(cè)的模型。我們將“虛擬變量”引入到模型中，以表示具有4級(jí)的顏色變量，其中4級(jí)作為參考級(jí)別。

此外，如果您運(yùn)行anova（model.disp），從下面的輸出中我們可以看到，在考慮寬度后，顏色幾乎沒有統(tǒng)計(jì)上顯著的預(yù)測(cè)因子。

?

此模型是否適合數(shù)據(jù)更好，是否適合過度分散？

R代碼的這部分做以下更改：

將此輸出的部分與上面的輸出相比較，我們將顏色用作分類預(yù)測(cè)器。我們這樣做只是為了記住同一個(gè)變量的不同編碼會(huì)給你不同的擬合和估計(jì)值。

現(xiàn)在估計(jì)的模型是什么？$ \ log {\ hat {\ mu_i}} $ = -2.520 + 0.1496W - 0.1694C。logμi^ = -2.520 + 0.1496W - 0.1694C。

由于添加協(xié)變量沒有幫助，過度分散似乎是由于異質(zhì)性。我們可以用這些數(shù)據(jù)做些什么嗎？

數(shù)據(jù)分組

我們考慮按寬度分組數(shù)據(jù)，然后擬合泊松回歸模型。這里是按W排序的數(shù)據(jù)。

數(shù)據(jù)已分成8個(gè)區(qū)間，如下面的（分組）數(shù)據(jù)所示

請(qǐng)注意，“NumCases”是位于特定區(qū)間內(nèi)的雌性螃蟹的數(shù)量，限定了這些雌性螃蟹的背寬?！癆verWt”是該分組內(nèi)的平均背寬。

更改模型

我們還創(chuàng)建了一個(gè)變量lcases = log（樣本），其中記錄了樣本數(shù)量的對(duì)數(shù)。這是輸出。

模型現(xiàn)在比以前更好還是更差？它顯然更適合。例如，殘差統(tǒng)計(jì)值的值/ DF現(xiàn)在是1.0861。

殘差分析也顯示了良好的擬合度。

我們來比較下圖中的觀察值和擬合值（預(yù)測(cè)值）：

我們可以擬合泊松回歸模型。請(qǐng)注意，該模型不適合分組數(shù)據(jù)，因?yàn)榕c先前的模型相比，殘差統(tǒng)計(jì)的值/ DF約為11.649。

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