講外心定理前, 我們先了解一下, 中垂線的概念.

中垂線, 也稱垂直平分線, 是過一條線段的中點, 且垂直于該線段的直線.

例如, 下圖中, M 是線段 AB 的中點,

過? 作 直線 ,

點 是直線 上異于 的任意一點,

利用三角形全等, 可以證明

這就是, 中垂線的性質(zhì):

中垂線上的點, 到線段兩端距離相等.

當(dāng)然, P 和 M 重合時, AP = BP 也成立.

另外, 利用 HL 定理, 可以證明:

如果一個點, 到線段兩端的距離相等, 那么, 它一定在線段的中垂線上.

這條定理, 可用于判定中垂線.

下面, 我們就走進(jìn)三角形.

首先, 考慮銳角 ΔABC,

我們先作出 AB 和 AC 的中垂線, 設(shè)交點為 O,

連接

?在? ?的中垂線上,

,

在? ?的中垂線上,

,

則有 ,

即, 點 O 到 B 和 C 的距離相等,

所以, O 也在 BC 的中垂線上.

這就是外心定理:

三角形三邊的中垂線交于一點, 該點為此三角形的外心.

所謂外心, 就是外接圓的圓心,

在以? 為圓心的圓上,

我們把, 經(jīng)過三角形 3 個頂點的圓, 叫做該三角形的外接圓;

它的圓心 O, 就是三角形的外心.

然后, 我們考慮直角三角形,

在 Rt ΔABC 中, ∠BAC = 90°, O 是 BC 的中點,

顯然, AB, AC, BC 的中垂線, 都經(jīng)過點 O,

以斜邊 BC 為直徑, 作出的圓, 就是 Rt ΔABC 的外接圓.

對于鈍角 ΔABC, 其中 ∠BAC 為鈍角,

我們用同樣的方法, 可以證明, 它三邊的中垂線交于一點.

只不過, 這次的交點 O 在三角形外部, 而且是在最長的邊這一側(cè).

如下圖所示, 外接圓的上方好空曠的:

以上, 就是外心定理的證明.

下面, 我們來思考一個, 和外心定理有關(guān)的問題.

如果, 我們想用盡可能小的圓, 來包圍一個三角形, 應(yīng)該如何確定這個圓呢?

這里的"包圍" 是指, 該三角形上任意一點, 都位于圓內(nèi)或圓周上.

顯然, 對于銳角三角形, 或直角三角形, 那我們肯定要用外接圓.

但是, 對于鈍角三角形, 它的外接圓, 并不是滿足條件的最小的圓.

以鈍角所對的邊為直徑, 作圓, 這個圓比上述的外接圓還小:

為什么它比外接圓小呀?

我們看下方的圖, 藍(lán)色的圓弧, 是外接圓的一部分,

設(shè)外接圓半徑為? ,

在 ΔBOC 中,

因此, 外接圓的直徑, 大于 BC 邊的長度.

本期內(nèi)容比較簡單, 不過, 下期可不是喝涼水哦^_^