數(shù)學(xué)史上向來(lái)存有這樣一個(gè)問(wèn)題：

對(duì)于和，是否存在一個(gè)通項(xiàng)公式？在清代，中國(guó)數(shù)學(xué)家李善蘭就已經(jīng)證明了這個(gè)通項(xiàng)確實(shí)存在，并求出了它。這就是自然數(shù)冪求和公式。

面對(duì)這樣抽象的表達(dá)式，我們可以通過(guò)幾個(gè)例子來(lái)說(shuō)明。

首先是最著名的：（我們將記作）

得到這一等式可以用逆序求和的方法，也就是把正寫一遍再倒寫一遍（對(duì)齊），將兩式相加再除以2即可。

我們?cè)賮?lái)看一個(gè)略微復(fù)雜的情況：k=2。解決這個(gè)問(wèn)題的方法有很多。

①累加求和，對(duì)進(jìn)行差分。何為差分？作為的多項(xiàng)式函數(shù)，稱為的差分，記作，但為了表述直觀，我們?cè)谕茖?dǎo)中不這么記。推導(dǎo)如下：

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??

將易得的這n個(gè)等式相加，得到

，而是已知的，因此

這個(gè)方法非常重要。不難發(fā)現(xiàn)這是一個(gè)通法——要求的公式，只需對(duì)進(jìn)行差分。但我們也發(fā)現(xiàn)，這個(gè)方法存在缺點(diǎn)，那就是要求的公式，必須知道所有的公式。也就是說(shuō)，只能由此方法得出對(duì)于任意正整數(shù)k的迭代公式，而非通項(xiàng)。

②整數(shù)裂項(xiàng)：這同樣是一個(gè)通法。

先證明一個(gè)引理：.

證：

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ?

將這n式相加，立得上式。

于是，由于，

因此，得

.

③數(shù)學(xué)歸納法：需要先猜想結(jié)論而后證明，意義并不大。讀者可自行證明。

通過(guò)上述①方法，讀者可證：

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??

有了上述鋪墊，我們可以進(jìn)一步推導(dǎo)任意正整數(shù)k的情況了。在此之前，需說(shuō)明：

①組合數(shù)：,易知

②二項(xiàng)式定理：

它們的含義不是本次的重點(diǎn)，不多贅述。

推導(dǎo)如下：（按推導(dǎo)時(shí)的方法①）

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ?

n式相加，得到

（在此處，我們記）這就是一個(gè)公式了。

同時(shí)還可以進(jìn)一步思考：既然照此思路（按本UP的現(xiàn)有知識(shí)）只能得到迭代公式，那能否分而治之？也就是說(shuō)，最終的公式一定是一個(gè)多項(xiàng)式，那能否探求多項(xiàng)式每一項(xiàng)系數(shù)中的規(guī)律呢？這一思路，本UP正在探索，如有一些微小的發(fā)現(xiàn)，將盡快發(fā)出。上述的那個(gè)不美觀而繁雜的公式，或許各位已經(jīng)在閑暇時(shí)算出來(lái)過(guò)了。

*推薦一個(gè)良心UP @混數(shù)魔王----雨殤（我同學(xué)），數(shù)學(xué)可視化做得很好。