這個問題的研究來源于筆者在一道物理題目中遇到的障礙，完全簡化之后即為一個簡單的三次方程:

x3+3x-2=0

。由于其的實根形式比較復雜，無法一眼看出結(jié)果，而用卡丹公式求解計算又顯暴力，于是筆者思考:是否可以用三角函數(shù)的三倍角公式求解？

筆者的第一想法當然是不能。對于

cos3θ=4cos3θ-3cosθ

和

sin3θ=3sinθ-4sin3θ

，此方程的三次項和一次項同號，又怎么能配湊系數(shù)呢？然而筆者同學大膽提出了配湊復系數(shù)的想法，于是筆者進行了如下嘗試:

(某些術語措辭極不嚴謹，實際上筆者水平不高，見諒)

對于我們最后得出的兩個解族，筆者嘗試化簡，但努力許久未能成功。筆者只好借助現(xiàn)代科技的力量觀察結(jié)果

(圖中p=0)

我們驚奇地發(fā)現(xiàn)，當p=q=0時，z1=z2。而繼續(xù)探究后可知，實際上z1z2的軌跡是重合的，

也就是說這兩個解族本質(zhì)上是同一個!

(由于k為整數(shù) 這句話并不嚴謹 筆者只表達大概)

雖然筆者的化簡工作已經(jīng)減少了1/2，但僅僅如此遠遠不夠。筆者繼續(xù)觀察了此方程的一個實數(shù)根與兩個復數(shù)根。當k=-1，我們的解是一個實數(shù)，即上圖中x1

聰明的朋友已經(jīng)發(fā)現(xiàn)了，當k取不同的整數(shù)值，理論上可以得到x2和x3，這里就可以開始推廣成全體缺項三次方程甚至三次方程的解法了。但是我們并不著急，實際上我們的最終結(jié)果可以進一步化簡

(愚蠢的筆者并沒有意識到一開始就可以對結(jié)果用和角公式 探究了很久)

正如我們所見，最終得到了一個形式較為簡約的根形式

于是筆者開始思考:能否將此方法推廣到全體缺項三次方程？

經(jīng)過一番搜索，筆者發(fā)現(xiàn)了此法的本質(zhì)——

雙曲函數(shù)

如圖中的sinh(x)即是雙曲正弦函數(shù)。關于雙曲函數(shù)定義，可以搜索了解(

其實是筆者也不太懂

)

sinh(x)=(e?-e??)/2

cosh(x)=(e?+e??)/2

我們會發(fā)現(xiàn)雙曲函數(shù)與歐拉公式得到的三角函數(shù)非常相似 即

sinx=[e^ix-e^(-ix)]/2 cosx=[e^ix+e^(-ix)]/2

。借助雙曲函數(shù)，我們可以簡易地表達最終的結(jié)果:

(推導過程類似筆者第一次嘗試的書寫，即圖2。先配湊復系數(shù)成三倍角公式然后利用歐拉公式求解)

至此，我們已基本完成了雙曲函數(shù)對缺項三次方程的解法。而我們熟知，完整的三次方程可以通過換元配湊成缺項三次方程，于是這種方法就推廣到了全體的三次方程。

筆者第一次看到方程x3+3x-2=0就因為系數(shù)否定了配湊三倍角的想法，但在嘗試中，筆者發(fā)現(xiàn)了一個從未見過的領域。大膽探索，小心驗證，往往就是數(shù)學魅力所在OAO

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