注意：

本試卷為自命題試卷，請不要在平臺上搜索考試答案或者在答題中使用任何軟件。本卷共有6道題，16道小題，滿分150分?？偞痤}時間8小時。開考前你們有10分鐘的時間瀏覽試卷。本試卷不設相應答題卡，答案請寫在桌上的A4紙上，A4紙一人5張。

1.（初等平面幾何）在平面內有正三角形ABC，D是BC上一點，E是ABD的外心，F(xiàn)是ACD的外心。請回答以下問題。

（1）做三角形DEF。求證：DEF是等邊三角形。（2分）

（2）BF、CE交于G，求證G是ABC的中心。（3分）

（3）延長BE、CF交于H，求證GH=GC。（3分）

（4）做a過E垂直于AF；b過F垂直于BE；a與b相交于K。求證：K在AB上。（8分）

命題：咲東、MOKE

審核：一信、二神

2.（代數(shù)基礎分析）已知f(x)=e^x-x^e。

（1）請計算出該函數(shù)的導數(shù)。（3分）

（2）求證：函數(shù)值恒大于等于0。（4分）

（3）請問該函數(shù)有多少個極點？（5分）

（4）請計算出該函數(shù)的零點與所有極點順次連接組成的凸多邊形的面積。（5分）

命題：MOKE、二神

審核：一信

3.（代數(shù)綜合分析）已知函數(shù)y=x*e^（x+a），e為自然底數(shù)。

（1）求該函數(shù)的極點。（5分）

（2）求證：該函數(shù)有且僅有一條漸近線，并寫出這條漸近線的類型。（8分）

（3）求證：f(x)+e^(a-1)≥0。（10分）

（4）當y=tx（t是關于a的函數(shù)）僅有一個根時，求出方程的根。此時at是否有最值？如果有，請寫出這個最值；如果沒有，請說明理由。（10分）

命題：二神、咲東

審核：MOKE

4.（新場景應用）在3*4的網(wǎng)格內有一顆黑子與兩顆白子，按照如下方式移動：黑子開始時處在左上角的格子中，每次移動2格（可以橫向豎向各移動1格，禁止斜向移動）。一個白子處在黑子右下角的一格，兩個白子相距2格，每個白子每次移動一格。黑先白后。當兩個白子都挨在黑子旁邊時黑子就輸了。請問黑方是否有不輸?shù)霓k法？如果沒有，請問白方至多在多少次之后勝利？請給出證明過程。（25分）

命題：MOKE、一信

審核：咲東

5.（平面解析幾何）平面直角坐標系xOy內做一個圓，這個圓的半徑為2，圓心為坐標原點O。A（1，0），B（0，1）。C點是這個圓上的一個動點。

延長BC交x軸于D點，延長AC交y軸于E點。

（1）請求出AD*BE的值。（5分）

（2）分別做DC、EC的中垂線p、q交于K。求證：K在定直線x-y=0上。（7分）

命題：二神

審核：MOKE、咲東

（3）分別做l1、l2過A、B垂直于CD、BD交于K。求證：CK的長度、與坐標軸的夾角與C點所在位置無關，并計算出C點順時針運動360度時CK掃過部分的面積。（12分）

（4）延長KC、KB交圓于M、N，求出K的軌跡方程，并證明JG、KH、AI三線共點。（15分）

6.（數(shù)論）完全平方數(shù)可以由兩個相同的數(shù)相乘得到，它寄寓了人們對一切美好事物的無止境追求。

（1）是否存在一個八位完全平方數(shù)，使七只由1和4構成？請證明你的結論。（8分）

（2）是否存在2022位完全平方數(shù)使得它只由1、4、9、0構成，而且不以零結尾？請證明你的結論。（12分）

命題：MOKE

審核：一信、咲東

鳴謝名單

總策劃：一信

總負責人：咲東

設備：MOKE、二神

題目順序校驗：二神

題目內容校驗：MOKE（101、201～203、301～302、304、501、503、602）、咲東（102、204、303、401、502、504、601）

6.22初次擬定

6.25定稿

6.29最終審核