上一篇筆記討論了動(dòng)量守恒：

其中

但是對(duì)Maxwell應(yīng)力張量的物理意義還留著一些問題。

1. 如果把電磁場想像成固體的話，-T就相當(dāng)于這個(gè)固體的應(yīng)力張量。但是這個(gè)只是形式上的類比，對(duì)于固體你可以說原子之間的作用，但是對(duì)于電磁場，free space之間的作用力算什么？施力者是誰？受力者又是誰？實(shí)際上根本不存在。實(shí)際上這里壓根不應(yīng)該用“力”這個(gè)概念，而應(yīng)該用更本質(zhì)的“動(dòng)量”概念。從動(dòng)量來理解，T刻畫的無非是兩塊區(qū)域的電磁場之間的動(dòng)量交換罷了。涉及粒子的動(dòng)量交換體現(xiàn)為力，對(duì)于電磁場，動(dòng)量交換就單純是動(dòng)量交換，沒有什么”力“的概念。

2. 所以說，“應(yīng)力張量”只是一個(gè)類比的說法，同理，“光壓”p=u/3也只是一個(gè)類比的說法。真正的物理含義必須退回連續(xù)性方程，即動(dòng)量交換。

3. 再次強(qiáng)調(diào)一次，關(guān)于電磁場能量和動(dòng)量的困擾，都必須回到連續(xù)性方程去解決。

4. 所以綜上所述，電磁場中每一個(gè)點(diǎn)都有一個(gè)應(yīng)力張量，它可以類比為“應(yīng)力”，但不是應(yīng)力，只是電磁場動(dòng)量的交換速率，并不存在一個(gè)“電磁場的應(yīng)力”。

5. 但是我們看到很多地方用T來計(jì)算光對(duì)介質(zhì)的作用力，這又是怎么回事？難道T真的代表某種力？下面仔細(xì)研究這個(gè)問題。

首先來看積分形式的動(dòng)量守恒：

1. 物理意義很明顯，一個(gè)區(qū)域內(nèi)部總的動(dòng)量變化，等于外界輸入的動(dòng)量。

2. 所有的經(jīng)典電磁學(xué)規(guī)律都蘊(yùn)含在Maxwell+Lorentz里面，沒有任何多出來的部分。所以光壓本質(zhì)上就是Lorentz力，而不是一個(gè)基于應(yīng)力張量計(jì)算出來的新的力。應(yīng)力張量是包含了Lorentz力在里面的。

3. 很多note給我們這樣一種誤導(dǎo)：光壓就是來自于Maxwell應(yīng)力張量點(diǎn)乘dA。這個(gè)說法大錯(cuò)特錯(cuò)。光壓就是Lorentz力，如果你想用Lorentz力的公式去計(jì)算，結(jié)果肯定是完全一樣的。用Maxwell應(yīng)力張量算，只是換了一個(gè)角度來計(jì)算罷了。

4. Lorentz力公式著眼點(diǎn)在于微觀的單個(gè)粒子受力；而積分形式的動(dòng)量守恒公式則著眼于宏觀的受力。就像很多時(shí)候，我們不需要知道能量轉(zhuǎn)化的具體原子機(jī)制，就可以通過能量守恒計(jì)算出能量轉(zhuǎn)化的精確數(shù)值，對(duì)于動(dòng)量也是一樣的，動(dòng)量轉(zhuǎn)移的具體原子機(jī)制是一個(gè)個(gè)小的Lorentz力，但是用動(dòng)量守恒可以繞開具體的原子機(jī)制計(jì)算宏觀的動(dòng)量轉(zhuǎn)移。微觀的Lorentz力公式和宏觀的動(dòng)量守恒是吻合的，怎么方便怎么算，本質(zhì)上是一回事。

5. 所以動(dòng)量守恒其實(shí)給我們提供了一種繞過微觀機(jī)制計(jì)算物質(zhì)受電磁力的方法。比如說，對(duì)于穩(wěn)恒的電磁場，畫一個(gè)Gauss面把物質(zhì)圈在里面。電磁場是穩(wěn)恒的，所以p_{field}是一個(gè)定值。積分形式的動(dòng)量守恒給出：

從動(dòng)量守恒的角度看，這個(gè)式子平平無奇：輸入?yún)^(qū)域內(nèi)的動(dòng)量，沒有增加電磁場的動(dòng)量，所以全部跑到粒子身上去了。但是從信息的角度看，「只需要知道物體周圍一個(gè)曲面上的電磁場，就可以知道物體受的總的電磁力」。這是相當(dāng)神奇的。可以這樣理解：

（比如說）電磁波打進(jìn)來，物體產(chǎn)生一個(gè)散射的電磁場。一個(gè)面上的散射場和入射場的信息，就包括了這個(gè)物體受電磁力的所有信息。

這就是用Maxwell應(yīng)力張量計(jì)算物體受電磁力的方法：繞一個(gè)Gauss面，計(jì)算總的“應(yīng)力”。這個(gè)宏觀方法可以和Lorentz力這個(gè)微觀方法平行適用，有時(shí)候非常簡便。特別是，如果我們不清楚物質(zhì)具體的微觀機(jī)制，但是對(duì)于宏觀的信息有了解，那么動(dòng)量守恒是個(gè)好辦法。

因此，Maxwell應(yīng)力張量并不代表“真正”的力，只是代表電磁場的動(dòng)量交換，但是它可以用來計(jì)算物體所受的“真正”的力。很多書上/講義上用Maxwell應(yīng)力張量來算物體受力，其實(shí)背后隱含的意思是“用動(dòng)量守恒算力”，但是很容易給人一種錯(cuò)覺“Maxwell應(yīng)力張量本身就代表了力”（點(diǎn)名批評(píng)zhq講義）。這樣我們就完全闡釋清楚了Maxwell應(yīng)力張量的物理意義。

最后我們舉幾個(gè)例子來試試如何用應(yīng)力張量算宏觀受力。

【1】一束光以角度\theta打在薄板上，完全吸收（黑體），求光壓。

理論上可以用Lorentz力算，有吸收就代表電子和電磁波有相互作用嘛，表面上的這些電子受到的總的Lorentz力就是宏觀的光壓。但是問題在于我們不知道材料的具體細(xì)節(jié)。所以用動(dòng)量守恒算是比較好的。

首先，我們說的光是平面電磁波。Maxwell方程的平面波解為：

基本的性質(zhì)：光速，橫波，E,B,k構(gòu)成右手坐標(biāo)系。

在薄板上取一個(gè)Gauss面，我們發(fā)現(xiàn)dA這個(gè)小塊受力為-T*n dA。計(jì)算得到時(shí)間平均的受力為：

其中I為輻照度（irradiance），即Poynting矢量的時(shí)間平均。

1.當(dāng)\alpha=90度的時(shí)候，這個(gè)公式就變成我們熟知的光壓公式P=I/c。P為光造成的壓強(qiáng)。

2.當(dāng)\alpha=0的時(shí)候，相當(dāng)于光完全側(cè)向打過來，當(dāng)然沒有光壓。

3.當(dāng)\alpha=45度的時(shí)候，橫向的力最大。

一般用的公式就是直射公式P=I/c。很明顯，光強(qiáng)和光壓成正比，比例系數(shù)對(duì)比一下單位就知道是c。

因?yàn)槌艘粋€(gè)c，所以我們可以看到光壓是一個(gè)很小的力。陽光的輻照度為1367 W/m2，計(jì)算出光壓為4.6 μPa。且不說皮膚，看看更加敏感的人耳，其最低感受到的壓強(qiáng)為2 × 10-5?Pa，比光壓高了一個(gè)數(shù)量級(jí)。不過說起來光的頻率太高，跟耳膜的固有頻率差太遠(yuǎn)，即使光壓足夠大，還是很難聽到的。

BTW，說一下另外一件事。有個(gè)叫Crookes輻射計(jì)的東西，在很多地方能見到，有時(shí)候用來演示光壓：

用光照射時(shí)，暗面遠(yuǎn)離輻射源，亮面靠近輻射源。這其實(shí)并不是光壓，光壓太小，沒法把摩擦力做這么小讓它能敏感到感受光壓。況且，如果真的是光壓驅(qū)動(dòng)，也應(yīng)該是亮面原理輻射源才對(duì)。另外這個(gè)燈泡里面是部分真空的，不能完全真空，如果完全抽成真空就動(dòng)不了了。這也能證明并不是光壓驅(qū)使著它轉(zhuǎn)。正確的解釋其實(shí)到現(xiàn)在還有爭議，但是至少我們可以確定這是一個(gè)熱力學(xué)效應(yīng)。部分的解釋是，黑色一面吸收光之后溫度更高，氣體分子撞上去之后吸收熱量以更高的速率反彈，給予了更多動(dòng)量，于是黑色一面遠(yuǎn)離光源。

【2】光鑷的作用機(jī)制，也可以用Maxwell應(yīng)力張量算，感興趣的讀者可以讀一篇小短文Forces in Optical Near Fields by Lukas Novotny，這里不展開。

【3】一個(gè)靜電學(xué)題。有一個(gè)球體（r），均勻分布了電荷Q。求南半球?qū)Ρ卑肭虻淖饔昧Α?/p>

要是你喜歡就直接積分算嘍，并沒有什么大不了的，只不過好像要六重積分？這里我們炫一下技，用Maxwell應(yīng)力張量算。

畫一個(gè)大半球（R）把北半球包裹起來。

在半球上，容易算出RHS為Q^2/(32\pi\epsilon_0R^2)。

在平面的內(nèi)部，RHS為Q^2/(64\pi\epsilon_0r^2)

在平面的外部，RHS為Q^2/(32\pi\epsilon_0r^2)-Q^2/(32\pi\epsilon_0R^2)

所以總和為3Q^2/(64\pi\epsilon_0r^2)。這是正確的答案，而且計(jì)算過程應(yīng)該要簡單一點(diǎn)；雖然有點(diǎn)高射炮打蚊子的感覺。這套路倒是比較稀奇，用動(dòng)量守恒算庫侖力。