前言

? ? ? ? 人類很早就掌握了一元二次方程的解法，但是對(duì)一元三次方程的研究，則是進(jìn)展緩慢。古代華夏、希臘和印度等地的數(shù)學(xué)家，都曾努力研究過(guò)一元三次方程，但是他們所發(fā)明的幾種解法，都僅僅能夠解決特殊形式的三次方程，對(duì)一般形式的三次方程就不適用了。 在十六世紀(jì)的歐洲，隨著數(shù)學(xué)的發(fā)展，一元三次方程也有了固定的求解方法。在很多數(shù)學(xué)文獻(xiàn)上，把三次方程的求根公式稱為“卡爾丹公式”。歷史事實(shí)并不是這樣，數(shù)學(xué)史上最早發(fā)現(xiàn)一元三次方程通式解的人，是十六世紀(jì)意大利的另一位數(shù)學(xué)家尼柯洛·馮塔納(Niccolo Fontana)。

卡爾丹諾公式

? ? ? 馮塔納出身貧寒，少年喪父，家中也沒(méi)有條件供他念書(shū)，但是他通過(guò)艱苦的努力，終于自學(xué)成才，成為十六世紀(jì)意大利最有成就的學(xué)者之一。由于馮塔納患有“口吃”癥，所以當(dāng)時(shí)的人們昵稱他為“塔爾塔利亞”(Tartaglia)， 也就是意大利語(yǔ)中“結(jié)巴”的意思。后來(lái)的很多數(shù)學(xué)書(shū)中，都直接用“塔爾塔利亞”來(lái)稱呼馮塔納。經(jīng)過(guò)多年的探索和研究，馮塔納利用十分巧妙的方法，找到了一元三次方程一般形式的求根方法。這個(gè)成就，使他在幾次公開(kāi)的數(shù)學(xué)較量中大獲全勝，從此名揚(yáng)歐洲。但是馮塔納不愿意將他的這個(gè)重要發(fā)現(xiàn)公之于世，因?yàn)槟莻€(gè)年代意大利盛行打數(shù)學(xué)擂臺(tái)賽，馮塔納把他解三次方程的秘訣作為法寶，是他獲得比賽的勝利的寶劍。

? ? ?? 當(dāng)時(shí)的另一位意大利數(shù)學(xué)家兼醫(yī)生卡爾丹(卡爾丹諾，Girolamo Cardano)，對(duì)馮塔納的發(fā)現(xiàn)非常感興趣。他幾次誠(chéng)懇地登門(mén)請(qǐng)教，希望獲得馮塔納的求根公式?？墒邱T塔納始終守口如瓶，滴水不漏。雖然卡爾丹諾屢次受挫，但他極為執(zhí)著，軟磨硬泡地向馮塔納“挖秘訣”。后來(lái)，馮塔納終于用一種隱晦得如同咒語(yǔ)般的語(yǔ)言，把三次方程的解法“透露”給了卡爾丹諾。馮塔納認(rèn)為卡爾丹諾很難破解他的“咒語(yǔ)”，可是卡爾丹諾的悟性太棒了，他通過(guò)解三次方程的對(duì)比實(shí)踐，很快就徹底破譯了馮塔納的秘密?？柕ぶZ把馮塔納的三次方程求根公式，寫(xiě)進(jìn)了自己的學(xué)術(shù)著作《Ars Magna》中，但并未提到馮塔納的名字。隨著《Ars Magna》在歐洲的出版發(fā)行，人們才了解到三次方程的一般求解方法。由于第一個(gè)發(fā)表三次方程求根公式的人確實(shí)是卡爾丹諾，因此后人就把這種求解方法稱為“卡爾丹諾公式”或“卡丹公式”。卡爾丹諾剽竊他人的學(xué)術(shù)成果，并且據(jù)為已有，這一行為在人類數(shù)學(xué)史上留下了不甚光彩的一頁(yè)。這個(gè)結(jié)果，對(duì)于付出艱辛勞動(dòng)的馮塔納當(dāng)然是不公平的。但是，馮塔納堅(jiān)持不公開(kāi)他的研究成果，也不能算是正確的做法，起碼對(duì)于人類科學(xué)發(fā)展而言，是一種不負(fù)責(zé)任的態(tài)度。

? ? ? ?卡爾丹諾是第一個(gè)把負(fù)數(shù)寫(xiě)在二次根號(hào)內(nèi)的數(shù)學(xué)家，并由此引進(jìn)了虛數(shù)的概念，后來(lái)經(jīng)過(guò)許多數(shù)學(xué)家的努力，發(fā)展成了復(fù)數(shù)的理論。從這個(gè)意義上，卡爾丹諾公式對(duì)數(shù)學(xué)的發(fā)展作出了巨大貢獻(xiàn)。

盛金公式

? ? ?? 解一元三次方程問(wèn)題是世界數(shù)學(xué)史上較著名且較為復(fù)雜而又有趣味的問(wèn)題，虛數(shù)概念的引進(jìn)、復(fù)數(shù)理論的建立，就是起源于解三次方程問(wèn)題。一元三次方程應(yīng)用廣泛，如電力工程、水利工程、建筑工程、機(jī)械工程、動(dòng)力工程、數(shù)學(xué)教學(xué)及其他領(lǐng)域等。用根號(hào)解一元三次方程，雖然有著名的卡爾丹諾公式，并有相應(yīng)的判別法，但是使用卡爾丹諾公式解題比較復(fù)雜，缺乏直觀性。20世紀(jì)80年代，一名中學(xué)數(shù)學(xué)教師范盛金對(duì)解一元三次方程問(wèn)題進(jìn)行了深入的研究和探索，發(fā)明了比卡爾丹公式更實(shí)用的新求根公式——盛金公式，并建立了簡(jiǎn)明的、直觀的、實(shí)用的新判別法——盛金判別法，同時(shí)提出了盛金定理，盛金定理清晰地回答了解三次方程的疑惑問(wèn)題，且很有趣味。盛金公式的特點(diǎn)是由最簡(jiǎn)重根判別式E=b^2-3ac；F=bc-9ad；G=c^2-3bd和總判別式Δ=F^2-4EG來(lái)構(gòu)成，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的有序、對(duì)稱、和諧與簡(jiǎn)潔美，簡(jiǎn)明易記、解題直觀、準(zhǔn)確高效，特別是當(dāng)Δ=F^2-4EG=0時(shí)，盛金公式3：X1=-b/a+K；X2=X3=-K/2，其中K=F/E，(E≠0)，其表達(dá)式非常漂亮，不存在開(kāi)方(此時(shí)的卡爾丹諾公式仍存在開(kāi)立方)，手算解題效率高。盛金公式3被稱為超級(jí)簡(jiǎn)便的公式。盛金公式與判別法及定理形成了一套完整的、簡(jiǎn)明的、實(shí)用的、具有數(shù)學(xué)美的解三次方程的理論體系，范盛金創(chuàng)造出的這套萬(wàn)能的系統(tǒng)方法，對(duì)研究解高次方程問(wèn)題及提高解三次方程的效率作出了貢獻(xiàn)。

? ? ?? 南宋數(shù)學(xué)家秦九韶至晚在1247年就已經(jīng)發(fā)現(xiàn)一元三次方程的求根公式(秦九韶一元三次方程求根公式)，歐洲人在400多年后才發(fā)現(xiàn)。

盛金判別法

盛金定理

? ? ?? 當(dāng)b=0，c=0時(shí)，盛金公式1無(wú)意義；當(dāng)E=0時(shí)，盛金公式3無(wú)意義；當(dāng)E≤0時(shí)，盛金公式4無(wú)意義；當(dāng)T<-1或T>1時(shí)，盛金公式4無(wú)意義。

? ? ?? 當(dāng)b=0，c=0時(shí)，盛金公式1是否成立？盛金公式3與盛金公式4是否存在E≤0的值？盛金公式4是否存在T<-1或T>1的值？盛金定理給出如下回答：

? ? ? 盛金定理1：當(dāng)E=F=0時(shí)，若b=0，則必定有c=d=0(此時(shí)，方程有一個(gè)三重實(shí)根0，盛金公式1仍成立)。

? ? ? 盛金定理2：當(dāng)E=F=0時(shí)，若b≠0，則必定有c≠0(此時(shí)，適用盛金公式1解題)。

? ? ? 盛金定理3：當(dāng)E=F=0時(shí)，則必定有G=0(此時(shí)，適用盛金公式1解題)。

? ? ? 盛金定理4：當(dāng)E=0時(shí)，若F≠0，則必定有Δ>0(此時(shí)，適用盛金公式2解題)。

? ? ? 盛金定理5：當(dāng)E<0時(shí)，則必定有Δ>0(此時(shí)，適用盛金公式2解題)。

? ? ? 盛金定理6：當(dāng)Δ=0時(shí)，若E=0，則必定有F=0(此時(shí)，適用盛金公式1解題)。

? ? ? 盛金定理7：當(dāng)Δ=0時(shí)，若F≠0，盛金公式3一定不存在E≤0的值(此時(shí)，適用盛金公式3解題)。

? ? ? 盛金定理8：當(dāng)Δ<0時(shí)，盛金公式4一定不存在E≤0的值。(此時(shí)，適用盛金公式4解題)。

? ? ? ?盛金定理9：當(dāng)Δ<0時(shí)，盛金公式4一定不存在T≤-1或T≥1的值，即T出現(xiàn)的值必定是-1<T<1時(shí)，不一定有E<0。

? ? ? 顯然，當(dāng)E≤0時(shí)，都有相應(yīng)的盛金公式解題。

?? ? ? 注意：反之不一定成立。如：當(dāng)Δ>0時(shí)，不一定有E<0。

? ? ? 盛金定理表明：盛金公式始終保持有意義。任意實(shí)系數(shù)的一元三次方程都可以運(yùn)用盛金公式直觀求解。

費(fèi)拉里的四次方程求根公式

? ? ? 卡爾丹諾在《重要的藝術(shù)》一書(shū)中公布了塔爾塔利亞發(fā)現(xiàn)的一元三次方程求根公式之后，塔爾塔利亞譴責(zé)卡爾丹諾背信棄義，提出要與卡爾丹諾進(jìn)行辯論與比賽。這場(chǎng)辯論與比賽在米蘭市的教堂進(jìn)行，代表卡爾丹諾出場(chǎng)的是卡爾丹諾的學(xué)生費(fèi)拉里。

? ? ? ?費(fèi)拉里(Ferrari L.,1522~1565)出身貧苦，少年時(shí)代曾作為卡爾丹諾的仆人?？柕ぶZ的數(shù)學(xué)研究引起了他對(duì)數(shù)學(xué)的熱愛(ài)，當(dāng)其數(shù)學(xué)才能被卡爾丹諾發(fā)現(xiàn)后，卡爾丹諾就收他作了學(xué)生。

? ? ? 費(fèi)拉里代替卡爾丹諾與塔爾塔利亞辯論并比賽時(shí)，風(fēng)華正茂，他不僅掌握了一元三次方程的解法，而且掌握了一元四次方程的解法，因而在辯論與比賽中取得了勝利，并由此當(dāng)上了波倫亞大學(xué)的數(shù)學(xué)教授。 一元四次方程的求解方法，是受一元三次方程求解方法的啟發(fā)而得到的。一元三次方程是在進(jìn)行了巧妙的換元之后，把問(wèn)題歸結(jié)成了一元二次方程從而得解的。于是，如果能夠巧妙地把一元四次方程轉(zhuǎn)化為一元三次方程或一元二次方程，就可以利用已知的公式求解了。

? ? ?? 巧合的是，就象塔爾塔利亞發(fā)現(xiàn)的一元三次方程求根公式因剽竊被誤稱為卡爾丹諾公式一樣，費(fèi)拉里發(fā)現(xiàn)的一元四次方程求解方法也因剽竊被誤認(rèn)為是波培拉發(fā)現(xiàn)的。

? ? ? ?附帶一提：隨著電腦科技的發(fā)展，解一個(gè)一元三次方程或者一元四次方程，僅僅需要一兩秒。