題目選自2022年考研數(shù)學(xué)二

已知可微函數(shù)滿足:

且

(1)記，求

(2)求函數(shù)表達(dá)式和極值

解:(1)令

則

所以

(2)因?yàn)?/p>

對(duì)積分得到

因?yàn)?img type="latex" class="latex" src="http://api.bilibili.com/x/web-frontend/mathjax/tex?formula=g(x%2Cy)%3Df(x%2Cy-x)" alt="g(x%2Cy)%3Df(x%2Cy-x)">

所以

令

當(dāng)時(shí)

所以為極小值點(diǎn)

當(dāng)時(shí)

所以不是極值點(diǎn)

所以的極小值為

本題選自2022年考研數(shù)學(xué)二，實(shí)際上該題為偏微分方程的定解問題，偏微分方程并不屬于考研數(shù)學(xué)的大綱要求內(nèi)容，但是正如所見，命題人在第一小問給出函數(shù)的提示，將偏微分方程轉(zhuǎn)化為帶關(guān)于帶參數(shù)的不定積分的形式，使題目求解成為可能。

這個(gè)題目告訴我們，考研數(shù)學(xué)可能考察一些超綱的知識(shí)，包括2022年考研數(shù)學(xué)二中瑞利商和2022年考研數(shù)學(xué)一中條件期望問題等，但是會(huì)給予一定的提示。

當(dāng)然我們?cè)谄綍r(shí)練習(xí)的時(shí)候，在學(xué)有余力的情況下，也可以通過題目去適當(dāng)了解一些，比如本題中考察到的偏微分方程，實(shí)際上，在數(shù)學(xué)系或者一些數(shù)理要求較高的專業(yè)所開設(shè)的偏微分方程課程中，常見的一種處理方法有分離變量法，這種方法就是將二元函數(shù)分解成兩個(gè)函數(shù)乘積的形式，即，這樣帶入偏微分方程即可分解成兩個(gè)常微分方程的形式，進(jìn)行求解。

回到本題中，拋開偏微分方程這個(gè)超綱的內(nèi)容，從大綱角度看，本題是一道極具綜合性的題目，從第一小問的偏微分變換，到帶關(guān)于帶參數(shù)的不定積分求解，最終確定二元函數(shù)并求解極值，總體上，考察了3-4個(gè)知識(shí)點(diǎn)。

在二元函數(shù)極值求解及判斷的計(jì)算過程中，不建議直接求二階偏導(dǎo)數(shù)，因?yàn)閷?duì)于待定的極值點(diǎn)，其一階偏導(dǎo)數(shù)必為0，所以在求對(duì)應(yīng)點(diǎn)的二階偏導(dǎo)數(shù)時(shí)，可以通過導(dǎo)數(shù)定義的方法求解，這樣計(jì)算量會(huì)減小，雖然，我前面所寫的用定義求二階偏導(dǎo)數(shù)過程好像內(nèi)容比較多，但是實(shí)際上比直接帶參數(shù)x,y直接求更不容易出錯(cuò)。