條件概率學不懂？一哥20分鐘包教包會用！

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1、條件概率公式

????設A,B是兩個事件，且P(B)>0,則在事件B發(fā)生的條件下，事件A發(fā)生的條件概率（conditional probability)為：

???????????P(A|B)=P(AB)/P(B)

分析：一般說到條件概率這一概念的時候，事件A和事件B都是同一實驗下的不同的結果集合，事件A和事件B一般是有交集的，若沒有交集（互斥），則條件概率為0

如：

① 扔骰子，扔出的點數(shù)介于[1,3]稱為事件A，扔出的點數(shù)介于[2,5]稱為事件B，問：B已經發(fā)生的條件下，A發(fā)生的概率是多少？

也即，做一次實驗時，即有可能僅發(fā)生A，也有可能僅發(fā)生B，也有可能AB同時發(fā)生，

② 同時扔3個骰子，“三個數(shù)都不一樣”稱為事件A，“其中有一個點數(shù)為1”稱為事件B。這一題目中，AB也是有交集的。

用圖更能容易的說明上述問題，我們進行某一實驗，某一實驗所有的可能的樣本的結合為Ω（也即窮舉實驗的所有樣本），圓圈A代表事件A所能囊括的所有樣本，圓圈B代表事件B所能囊括的所有樣本。

由圖再來理解一下這個問題：

“B已經發(fā)生的條件下，A發(fā)生的概率”，

這句話中，“B已經發(fā)生”就相當于已經把樣本的可選范圍限制在了圓圈B中，

其實就等價于這句話：“在圓圈B中，A發(fā)生的概率”，

顯然P(A|B)就等于AB交集中樣本的數(shù)目/B的樣本數(shù)目。

為什么這里用的是樣本的數(shù)目相除，而上面的公式卻是用的概率相除，

原因很簡單，用樣本數(shù)目相除時，把分子分母同除以總樣本數(shù)，這就變成了概率相除。

2、乘法公式

?????1.由條件概率公式得：

????????????P(AB)=P(A|B)P(B)=P(B|A)P(A)???

???????上式即為乘法公式；

?????2.乘法公式的推廣：對于任何正整數(shù)n≥2，當P(A1A2...An-1) > 0 時，有：

?????????P(A1A2...An-1An)=P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)...P(An|A1A2...An-1)

3、全概率公式

????1. 如果事件組B1，B2，.... 滿足

????????1.B1，B2....兩兩互斥，即 Bi ∩ Bj = ? ，i≠j ， i,j=1，2，....，且P(Bi)>0,i=1,2,....;

????????2.B1∪B2∪....=Ω ，則稱事件組 B1,B2,...是樣本空間Ω的一個劃分

?????設 B1,B2,...是樣本空間Ω的一個劃分，A為任一事件，則：

4、貝葉斯公式

???1.與全概率公式解決的問題相反，貝葉斯公式是建立在條件概率的基礎上尋找事件發(fā)生的原因（即大事件A已經發(fā)生的條件下，分割中的小事件Bi的概率），設B1,B2,...是樣本空間Ω的一個劃分，則對任一事件A（P(A)>0),有

上式即為貝葉斯公式（Bayes formula)

Bi 常被視為導致試驗結果A發(fā)生的”原因“，P(Bi)(i=1,2,...)

表示各種原因發(fā)生的可能性大小，故稱先驗概率；

P(Bi|A)(i=1,2...)則反映當試驗產生了結果A之后，再對各種原因概率的新認識，故稱后驗概率。

補充一下條件概率的前置知識與答疑。

概率的乘法公式：P(AB)=P(A) P(B|A)，初學的小伙伴可能會疑惑，印象中的P(AB)不是等于P(A) P(B)嗎？其實是因為如果事件A與B相互獨立，P(B|A)=P(B)

（為啥呢？不妨思考下，如果事件A的發(fā)生不會影響B(tài)的發(fā)生，也就是相互獨立，那么在A發(fā)生情況下B發(fā)生的概率P(B|A)當然還是等于B發(fā)生的概率P(B) ）

而平時接觸獨立事件問題比較多，所以習慣了P(AB)=P(A) P(B)。

而視頻里給出的例子都是相互不獨立的例子，所以計算P(AB)的時候要用P(A)P(B|A)哦

例如視頻第一個例子8:33 中求P(A1C)的時候，就用到的是P(A1) P(C|A1)，其中P(A1)=1/3， P(C|A1)=1/4

說P(AB)為什么不是P(B|A)，注意P(AB)和P(B|A)的含義千差萬別，前者表示發(fā)生了A且發(fā)生了B的概率（相當于兩個時事件都要成立的概率)，后者表示在A已經發(fā)生的情況下B發(fā)生的概率（相當于只算了一件事發(fā)生的概率)，所以后者反應的概率只是前者的一部分。

兩者的關系在概率的乘法公式中得到體現(xiàn)。

再有，大題怎么寫過程呢？

視頻最后有說到，不過有小伙伴沒看完，所以這里提一下:樹狀圖是寫在草稿紙中捋思路的，試卷上首先設出需要用到的事件，然后寫出概率公式，帶值，得到答案。（全概率公式用的最多）

注意，

書本上全概率公式中的每一項為P(A)P(B|A)，視頻寫出的每項為P(AB)，兩者由概率乘法公式可以得出來是一樣的。