鄭濤（Tao Steven Zheng） 著

【問題】

科布-道格拉斯生產(chǎn)函數(shù)（Cobb-Douglas production function）是美國經(jīng)濟(jì)學(xué)家保羅·道格拉斯（Paul Douglas, 1892-1976）和數(shù)學(xué)家查爾斯·科布（Charles Cobb, 1875-1949）在1927年提出的一種計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)模型。他們將總產(chǎn)量建模為勞動(dòng)力（labour） 和資本投資 （capital investment） 的函數(shù)：

其中 。

如果預(yù)算約束方程（budget constraint equation）為 ，其中 是勞動(dòng)力和資本的單位成本（unit cost of labour and capital）。求使生產(chǎn)實(shí)現(xiàn)最大化的勞動(dòng)力和資本投資價(jià)值（數(shù)值）。

【題解】

這個(gè)問題需要使用拉格朗日乘數(shù)法（Lagrange multipliers）?？紤]以下函數(shù)：

計(jì)算出偏導(dǎo)數(shù)，然后寫下成列方程式 ：

這里 是指

所以，

利用以上兩個(gè)方程式來求解 ，得

因此，

把 代入預(yù)算約束方程來解 。然后使用新發(fā)現(xiàn)的 數(shù)值解算 。

因此，最大化生產(chǎn)集解是