基礎夯實(不像數(shù)分 像微積分的數(shù)分……)

數(shù)學分析(華東 第五版) 筆記 By三角函數(shù)(ZKX)

宋浩老師這個視頻比較適合非數(shù)學系和復習

一、實數(shù)及其性質(zhì)

實數(shù)(Real Number)

數(shù)分研究對象 定義在實數(shù)集上的函數(shù)

有理數(shù)與無理數(shù)統(tǒng)稱為實數(shù)

(這本書并沒有給出實數(shù)是如何被構(gòu)造的 可去rudin P15學習)

有理數(shù):p/q(p,q屬于Z,q不等于0) (證明題常用)

有限小數(shù)可以化成無限小數(shù)

a?.a?a? … a?=a?.a?a? … a???99999…

eg:0.999…=1

簡要論證:0.999…=Σ(i=1,i<n n->+∞)9*10^(-i)

等比數(shù)列可得左式=0.9/(1-0.1)=1

補充:凡能寫成十進制小數(shù)形式的數(shù)叫做實數(shù)

對于無限循環(huán)小數(shù)化成分數(shù)求法

eg:0.777… 令x=0.777…

10x-x=7 x=7/9(非嚴格論證 僅用于快速判斷)

0.a?a? … a?…(a?a? … a?的循環(huán))=(a?a? … a?)/(999…9 (共n個9))

規(guī)定 0可表示為0.0000…

總結(jié):P1主要關于實數(shù)的定義 有理數(shù)的定義 以及有限小數(shù)與無限小數(shù)間可以互相轉(zhuǎn)化(有理數(shù)和無理數(shù)都能用無限小數(shù)表示) 為基礎概念性知識

定義1:有兩個非負實數(shù),x=a?.a?a? … a? y=b?.b?b? … b? (非負實數(shù)比較大小)

1>a?=b?(k=0,1,2,…,n) 則x=y

2>I.a?>b? x>y

II.a?=b?(k=0,1,2…,l) a???>b???

對于負數(shù)x 則比較-x(x<0 -x>0 運用定義1)

非負實數(shù)大于負實數(shù)

定義2:x=a?a? … a?… 非負實數(shù)

n位不足近似 x=a?a? … a?

eg:3.1415926535 5位不足近似:3.14159

eg:3.1415926535 2位過剩近似:3.15

定義與非負實數(shù)相反

eg:-3.1415926 2位不足近似:-3.15

不足小 過剩大 可以用數(shù)軸快速判斷

注:不足近似xn 當n增大時不減

eg:1.1220456789…

1位不足近似 1.1

2位不足近似 1.12

3位不足近似 1.122

4位不足近似 1.1220

注:過剩近似xn 當n增大時不增

eg:1.12204…

1位過剩近似 1.2

2位過剩近似 1.13

3位過剩近似 1.123

4位過剩近似 1.1221

注:不足近似與過剩近似都是有理數(shù)

x,y屬于R x<y 求證:存在r屬于Q x<r<y

法一:書P2 x<y

=>?n∈N x的n位過剩近似<y的n位不足近似(定義1)

令r=(x的n位過剩近似+y的n位不足近似)/2∈Q(注意III)

且x<=x的n位過剩近似<r<y的n位不足近似<=y

=>x<r<y Q.E.D.

常用數(shù)集

C={x|x為復數(shù)} R={x|x為實數(shù)} Q={x|x為有理數(shù)}

Z={x|x為整數(shù)} N={x|x為自然數(shù)} ……

*實數(shù)的性質(zhì)

1.四則運算是封閉的

2.實數(shù)集是有序的

3.實數(shù)的大小關系具有傳遞性

4.實數(shù)具有Archimedes性

5.實數(shù)集具有稠密性

實數(shù)的四則運算是封閉的

?a,b∈R 都有

a+b,a-b,ab,a/b(b≠0)∈R

實數(shù)集是有序的

?a,b∈R 則一定有以下三種關系的一種

a>b或a=b或a<b

有序集的性質(zhì) 顯然實數(shù)集也為有序集 故符合

實數(shù)的大小具有傳遞性

?a,b,c∈R 若a<b,b<c 則a<c

實數(shù)的Archimedes性

?a,b∈R,0<a<b,?n∈N* 使得na>b

證:(rudin P8)

設A是所有滿足na組成的集 則n遍歷正整數(shù)(A={na|n∈N*,a∈R})

若na>b不成立 即na≤b

則b為A中一個上界 如此R中便有A的最小上界

令η=supA 則因為a>0

η-a<η且η-a不是A的上界 因此對m∈N*

有η-a<ma 如此η<(1+m)a∈A 這是不可能的

因為η是A的上界 故na>b Q.E.D.

實數(shù)的稠密性

?a,b∈R,a≠b,一定?c∈R,c在a,b之間

c既可以是有理數(shù) 也可以是無理數(shù)

證明有理數(shù)同例1

法二(rudin P8):

我們剛剛證明過實數(shù)的Archimedes性:

由x<y得y-x>0 于是我們便可提供n∈N* 滿足n(y-x)>1(0<a<b,na>b,n∈N*)

再次應用實數(shù)的Archimedes性 可以得到m?,m?∈N*

合于m?>nx,m?>-nx,便有-m?<nx<m?

因此有m∈N*,-m?≤m≤m?使得m-1≤nx<m

將這些聯(lián)立得nx<m≤1+nx<ny

n>0,顯然x<m/n<y,而m/n∈Q

Q.E.D.

數(shù)軸

任意實數(shù)都對應數(shù)軸上唯一的一點；反之.數(shù)軸上的每一個點也都唯一地代表一個實數(shù)

設a,b屬于R 證明:若對任何正數(shù)ε,有a<b+ε則a<=b

書P3 反證法(廣泛運用)

假設結(jié)論不成立即a>b

令ε=a-b,則ε>0且a=b+ε

與假設a<b+ε相矛盾 從而必有a<=b Q.E.D.

附錄I 實數(shù)理論(P263)

二、絕對值與不等式

定義

幾何意義:點a到原點的距離(絕對值有關的方程與不等式常用 方便分類討論和幾何方法解決)

實數(shù)的絕對值性質(zhì)

1.|a|=|-a|>=0 當且僅當a=0時有|a|=0

2.-|a|<=a<=|a|

3.|a|<h<=>-h<a<h,|a|<=h<=>-h<=a<=h(h>=0)

4.三角不等式:|a|-|b|<=|a+(-)b|<=|a|+|b|

簡證:

性質(zhì)2 -|a|<=a<=|a|得

-|a|<=a<=|a| -|b|<=b<=|b|

-|a|-|b|<=a+b<=|a|+|b|

性質(zhì)3 -h<=a<=h(h>0)得

-(|a|+|b|)<=a+b<=|a|+|b|

|a+b|<=|a|+|b| 這里b為-b 則|a-b|<=|a|+|b|

不等式右側(cè)證畢

而|a|=|(a-b)+b|

由剛剛證明的結(jié)論可得|a|<=|a-b|+|b|

|a|-|b|<=|a-b|

綜上 |a|-|b|<=|a-b|<=|a|+|b| Q.E.D.

5.|ab|=|a||b|

簡證:不妨令a<=b(a與b等價)

<1>a>=0 =>b>=0 =>ab>=0

|ab|=ab |a||b|=a?b=ab |ab|=|a||b|(絕對值的定義)

<2>a<=0<=b =>ab<=0

|ab|=-ab |a||b|=(-a)b=-ab |ab|=|a||b|

<3>b<=0 =>a<=0 =>ab>=0

|ab|=ab |a||b|=(-a)(-b)=ab |ab|=|a||b|

三、區(qū)間與鄰域

{x|a<x<b}=(a,b) a到b的開區(qū)間

{x|a<=x<=b}=[a,b] a到b的閉區(qū)間

{x|a<=x<b}=[a,b) a到b的左閉右開區(qū)間

{x|a<x<=b}=(a,b] a到b的左開右閉區(qū)間

以上四種均為有限區(qū)間

{x|x>a}=(a,+∞) {x|x>=a}=[a,+∞)

{x|x<a}=(-∞,a) {x|x<=a}=(-∞,a]

R=(-∞,+∞)

以上五種為無限區(qū)間

注:a,b屬于R,a一定小于b

(符號不好打 直接截圖了)

確界原理(極其重要)

上界的定義

下界的定義

有界集必須既有上界也有下界

否則則為無界集(無上界或下界)

注:上界,下界不唯一 確界才唯一

例1

<1>有限區(qū)間都是有界集 無限區(qū)間都是無界集

<2>若是有限個數(shù)是有界集

上確界的定義

最小的上界 符號:η=supS 數(shù)集S的上確界為η

下確界的定義

最大的上界 符號:ξ=infS 數(shù)集S的下確界為ξ

上確界和下確界統(tǒng)稱為確界

例2

例3

確界原理

例4

例5

注:若S無上界 則supS=+∞(非正常上確界)

若S無下界 則infS=-∞(非正常下確界)

eg:supN=+∞ infN=0

顯然的基礎結(jié)論:

<1>supS>=infS

令η=supS,ξ=infS則:

?x∈S有η>=x

?x∈S有ξ<=x

所以ξ<=x<=η

即η>=ξ Q.E.D.

<2>supA+supB=sup(A+B) (A+B={x+y|x∈A,y∈B})

?x∈A x<=supA

?y∈B y<=supB

所以x+y<=supA+supB (supA+supB是(A+B)上界)

顯然sup(A+B)<=supA+supB

對?ε>0則

supA-ε/2<x’ supB-ε/2<y’

即x’+y’>supA+supB-ε

而x+y<supA+supB

顯然supA+supB為A+B的上確界

即supA+supB=sup(A+B) Q.E.D.

<3>infA+infB=inf(A+B)

?x∈A x>=infA

?y∈B y>=infB

所以x+y>=infA+infB (infA+infB是(A+B)下界)

顯然inf(A+B)>=infA+infB

對?ε>0則

infA+ε/2>x’ infB+ε/2>y’

即x’+y’<infA+infB+ε

而x+y>infA+infB

顯然infA+infB為A+B的下確界

即infA+infB=inf(A+B) Q.E.D.

二、函數(shù)及其性質(zhì)

定義

兩個實數(shù)集D,M 規(guī)則f

?x∈D 有唯一的y∈M 與之對應

f:D—>M x|—>y

定義域 D

值域 f(D)={y|y=f(x),x∈D}?M(M一般為R)

eg:f(x)=e? D:R f(D):(0,+∞)

決定函數(shù):D與f

兩個函數(shù)相等:<1>D相等 <2>f相等

eg:f(x)=x2 g(x)=(|x|)2 f(x)與g(x)相等

注:不要局限字母

存在域

eg:x^(-1/2) =>(0,+∞)

單值函數(shù):一個x對一個y

多值函數(shù):多個x對一個y

函數(shù)的表示方法

<1>解析

f(x)=x

<2>列表

x -2 -1 0 1 2 3

y -2 -1 0 1 2 3

<3>畫圖 略

函數(shù)y=f(x),x∈D 又可以用有序數(shù)對集合

G={(x,y)|y=f(x),x∈D}表示

分段函數(shù)(符號函數(shù)) sgnx

1(x>0)

sgnx=0(x=0)

-1(x<0)

|x|=xsgnx

Dirichlet函數(shù)

Riemann函數(shù)

函數(shù)的四則運算

f x∈D1;g x∈D2 D=D1∩D2≠?

F(x)=f(x)+g(x),x∈D

G(x)=f(x)-g(x),x∈D

H(x)=f(x)g(x),x∈D

L(x)=f(x)/g(x),x∈D*(除去g(x)=0的x)

若D=空集 則不能進行四則運算

eg:f(x)=sqrt(1-x2) g(x)=sqrt(x2-4)

D1=[-1,1] D2=(-∞,-2]∪[2,+∞) D1∩D2=?

復合函數(shù)

設有函數(shù)y=f(u),u∈D u=g(x),x∈E

E*={x|g(x)∈D}∩E≠?

則y=f(g(x)),x∈E* 或 y=(f ○ y)(x),x∈E*

此為函數(shù)f和g的復合函數(shù) f為外函數(shù) g為內(nèi)函數(shù)

u為中間變量

反函數(shù)

y=f(x),x∈D <=> x=f?1(y),y∈f(D)

則f,g為反函數(shù)

eg:y=2x+1 =>x=1/2y-1/2 =>y=1/2x-1/2

x->y 一一對應

y->x 一一對應

逆函數(shù) 逆映射

常見函數(shù)及其反函數(shù)

反三角函數(shù)

sinx&arcsinx 正弦/反正弦

sinx:D=R f(D)=[-1,1] T=2π 奇函數(shù)

arcsinx:D=[-1,1] 嚴格單調(diào)遞增 奇函數(shù)

cosx&arccosx 余弦/反余弦

cosx:D=R f(D)=[-1,1] T=2π 偶函數(shù)

arccosx:D=[-1,1] 嚴格單調(diào)遞減

tanx&arctanx 正切/反正切

tanx:D={x|x≠π/2+kπ,k∈Z} f(D)=R T=π 奇函數(shù)

arctanx:D=R f(D)=(-π/2,π/2) 嚴格單調(diào)遞增 奇函數(shù)

cotx&arccotx 余切/反余切

cotx

arccotx

secx&arcsecx 正割/反正割

secx

arcsecx

cscx&arccscx 余割/反余割

cscx

arccscx

sinx/cosx=tanx sin2x+cos2x=1

tan(x)cot(x)=1 secx(x)cos(x)=1 csc(x)sin(x)=1

初等函數(shù) elementary function

基本初等函數(shù)

<1>y=C (C為常數(shù))

<2>y=x^α (α∈R)

<3>y=a^x (a∈(0,1)∪(1,+∞))

<4>y=logax (a∈(0,1)∪(1,+∞))

<5>y=sinx y=cosx y=tanx y=cotx y=secx y=cscx

<6> <5>的反函數(shù)

這里將<3>中α擴充到實數(shù)

初等函數(shù):由基本初等函數(shù)進行有限次四則運算與復合而得到的函數(shù)

注:符號函數(shù) Riemann函數(shù) Dirichlet函數(shù)等不是初等函數(shù)

注:|x|是初等函數(shù)

<1>|x|=xsgnx 這里看當然不是 但

<2>=|x|=(x2)^(1/2) 是由基本初等函數(shù)復合而成

因此|x|是初等函數(shù)

有界函數(shù) bounded function

同有界集一樣 有界函數(shù)定義

已知函數(shù)f,D,?M∈R ?x∈D |f(x)|<=M

eg:y=sinx sinx∈[-1,1] |sinx|<=1 sinx為有界函數(shù)

無界函數(shù):無上界 無下界 無界(同之前無界集定義)

例1

例2

單調(diào)函數(shù) monotone function

已知函數(shù)f 任意x1,x2屬于D x1<x2

<1>f(x1)<=f(x2) 增函數(shù) (與高中定義不同!)

<2>f(x1)<f(x2) 嚴格增函數(shù)

<3>f(x1)>=f(x2) 減函數(shù) (與高中定義不同!)

<4>f(x1)>f(x2) 嚴格減函數(shù)

證明函數(shù)單調(diào)性方法與高中相同

例:求證y=x^3在R上嚴格單調(diào)遞增

任意x1,x2∈R x1<x2 則

x2^3-x1^3=(x2-x1)(x1^2+x^2-x1x2)=1/2(x2-x1)[(x1^2-x2^2)+x1^2+x2^2]>0

即x2^3>x1^3 Q.E.D.

例:求證:y=[x]在R上單調(diào)遞增

我們先來看下x屬于Z的情況

任意x1,x2屬于Z x1<x2 則

顯然[x1]=x1,[x2]=x2

[x1]<[x2] 接下來讓我們把它放縮到兩個整數(shù)間

任意n屬于Z 任意y1,y2屬于[n,n+1) y1<y2則

顯然n=[y1]=[y2]

故綜上[x]在R上單調(diào)遞增

若f在D上嚴格單調(diào)遞增(減) 則f必有f^(-1)且其在f(D)上嚴格單調(diào)遞增(減)

證明:(嚴格單調(diào)遞增 減同理)

令任意x屬于D 有y屬于f(D) 則y=f(x)

任意x1,x2屬于D,x1<x2 有y1=f(x1) y2=f(x2) y1<y2

那么y屬于f(D) x屬于D 滿足f^(-1):y—>x

則必有f^(-1)(y)=x 由于y1<y2 且 x1<x2

那么f^(-1)在f(D)嚴格單調(diào)遞增 Q.E.D.

顯然非嚴格單調(diào)增(減)函數(shù),其反函數(shù)不一定為單值函數(shù)(eg:x^2 1/x 考慮是否連續(xù))

奇偶函數(shù) add even function

重點定義域關于原點對稱?。?！

奇函數(shù):任意x屬于D f(x)=-f(-x) 關于原點對稱

偶函數(shù):任意x屬于D f(x)=f(-x) 關于y軸對稱