寫在最前：創(chuàng)新類的解題技巧或者說思維方法其實(shí)不光是對于高考的新定義大題與選填最后一道壓軸，對于數(shù)競或者其他學(xué)科也有一定的思想體現(xiàn)。并不是說這些方法必須死記硬背下來，而是希望能借此篇文章能啟發(fā)讀者思維，換一種方式看待問題。

要善于退，足夠的退，退到原始而又不失去重要性的地方是學(xué)好數(shù)學(xué)的訣竅——華羅庚

一、極端原理

eg.?某游戲開始時(shí)，有紅色精靈m個(gè)，藍(lán)色精靈n個(gè)，游戲規(guī)則是：任意點(diǎn)擊兩個(gè)精靈，若兩精靈同色，則合并成一個(gè)紅色精靈，若兩精靈異色，則合并成一個(gè)藍(lán)色精靈，當(dāng)只剩下一個(gè)精靈時(shí)，游戲結(jié)束，那么游戲結(jié)束時(shí)，剩下的精靈的顏色：

A.只與m的奇偶性有關(guān)

B.只與n的奇偶性有關(guān)

C.與m、n的奇偶性都有關(guān)

D.與m、n的奇偶性都無關(guān)

?法一：買房原理 極端原理

與其進(jìn)行毫無頭緒的思考，不如去動(dòng)手實(shí)踐試一試?？墒牵瑖L試也不是漫無目的，它也講究技巧，蘊(yùn)含著智慧。

我們不妨就特殊而來，由特殊推一般，由小見大。

①紅精靈為0個(gè)，藍(lán)精靈為1個(gè)

紅偶藍(lán)奇，結(jié)果剩藍(lán)精靈

②紅精靈為0個(gè)，藍(lán)精靈為2個(gè)

紅偶藍(lán)偶，同色合并，結(jié)果剩紅精靈

此時(shí)可以稍見端倪，貌似藍(lán)精靈的奇偶影響著最后的結(jié)果

③紅精靈為1個(gè)，藍(lán)精靈為0個(gè)

紅奇藍(lán)偶，結(jié)果剩紅精靈

④紅精靈為2個(gè)，藍(lán)精靈為0個(gè)

紅偶藍(lán)偶，同色合并，結(jié)果依舊是紅精靈

此處便可以發(fā)現(xiàn)，似乎紅精靈的奇偶不影響著最后的結(jié)果

⑤紅精靈為1個(gè)，藍(lán)精靈為1個(gè)

紅奇藍(lán)奇，異色合并，結(jié)果為藍(lán)精靈

此時(shí)基本可以認(rèn)定最終結(jié)果與紅精靈奇偶即m的奇偶無關(guān)，與藍(lán)精靈奇偶即n的奇偶有關(guān)，故選b

?法二：推理法

推理的前提需要的是一雙慧眼，這有一定的思維要求，不過在看完題或者剛剛用完法一后不知諸位有沒有這樣一種感覺：既然同色合并成一個(gè)紅精靈，那豈不就是任意個(gè)紅精靈相消其實(shí)就等價(jià)為一個(gè)紅精靈，那紅精靈的個(gè)數(shù)自然就與結(jié)果無關(guān)了。而藍(lán)精靈同樣與藍(lán)精靈之間相消，生成的紅精靈不用管因?yàn)榧t精靈最后一定消成一個(gè)，所以只有兩種情況，一個(gè)是全消（藍(lán)精靈同歸于盡），另一個(gè)是最終只剩一個(gè)藍(lán)精靈，兩者分別對應(yīng)n為偶和n為奇的情況。

?法三：奇偶類比法

這種方法更為巧妙。正所謂將文字轉(zhuǎn)化類比成其它我們熟悉的形式。就有很多人說啊，這題目每個(gè)字都認(rèn)識，但一連起來就不是人話了。那我們不妨將其轉(zhuǎn)化成能看得懂的東西。當(dāng)然，類比不是盲目的類比，它們要有相似的地方才行。就好比把一本書比作知識的海洋，書的內(nèi)容豐富對應(yīng)海的寬闊，兩者都有“大”的含義。但你說這書就像是老婆，這就不太合適了吧，雖然書中自有顏如玉，人的xp是……，不過你也好歹找個(gè)更相近一點(diǎn)的吧。

若將紅精靈看成偶數(shù)，藍(lán)精靈看為奇數(shù)，合并的過程看作為兩個(gè)數(shù)之間的加法運(yùn)算。很明顯無論多少個(gè)偶數(shù)相加結(jié)果還是偶數(shù)，最后的結(jié)果取決于奇數(shù)的個(gè)數(shù)

?法四：數(shù)字類比（同奇偶）

和法三一樣的，都是運(yùn)用的類比。在這里說一下，這種類比并非只能有一種，就像我既可以把書類比海也可以把書類比成山（知識的厚重），只要你不類比成老婆就行。

將紅精靈類比成+1，藍(lán)精靈為－1，相消的過程即為相乘的過程，1*1＝1故紅精靈無影響，結(jié)果由－1的奇偶決定。

法五：傻子分析法

作業(yè)幫給的解析，沒必要這么復(fù)雜，而且如果真的沒有一點(diǎn)思路可能也未必看得懂這個(gè)。這個(gè)純粹把所有可能相消的情況都列了一遍然后再分析的，可能大眾化一點(diǎn)吧但我覺得這樣題目瞬間就索然無味了。

【小結(jié)】明顯看出雖然極端原理那里列了許多，但這是最簡單的方法（也是最通用的）。推理有時(shí)候十分復(fù)雜很難看出（畢竟能分析出誰還用作業(yè)幫?。?；類比需要靈感，有的題就是很難類比。包括解析幾何，定值算不出來可以先特殊化試一試，極端一下把交點(diǎn)放在橢圓的頂點(diǎn)，甚至可以用這個(gè)算出來的結(jié)果“瞞天過?！保ㄈ绻腥讼肟吹綍r(shí)候也許能出一個(gè)解析幾何的專欄），總之就是理解問題，思考問題，先猜后證。

二、對稱原理

eg.設(shè)集合M＝{1，2，3，……，100}，現(xiàn)對M的任一非空子集X，令a_X表示X中最大的數(shù)與最小的數(shù)之和，那么這樣的a_X的算術(shù)平均值等于______.

在上面說了，遇到題不會的時(shí)候可以試一試，找極端的來算一算。而對于這種有許多X的，我們稱為大數(shù)據(jù)問題，因?yàn)槔锩娴腦十分繁雜而且必須每種都要考慮不能只看極端，所以我們要有另一種化繁為簡的手段來解題。

對于這類問題既然我們面對的是一堆數(shù)據(jù)，那么就像是整理房間一樣，我們要將物品有調(diào)理的碼放。有條理可以是從大到?。◤男〉酱螅?，也可以是按著周期，也可以是前后對稱，也可以是按照等差（等比）數(shù)列來排等等等。

在這里我用的是對稱。

大家耳熟能詳?shù)母咚骨蠛捅闶菍?shù)排成對稱的形式從而簡便運(yùn)算。同高斯求和將大數(shù)與小數(shù)互相組合，我們?nèi)稳》强誜，設(shè)最大值為A，最小值為b，那么a_X＝A+b。這時(shí)我們就要給它配對了，我們構(gòu)造Х'＝{101－x|x∈X}，那它的最大值即為101－b，最小值為101－A，a_X'＝202－A－b，則(a_X+a_X')/2＝101，由于對于每一個(gè)X都有唯一的X'與之對應(yīng)，每個(gè)正好是M不重且不落的所有可能，最終結(jié)果固然就是101了。

【小結(jié)】對于一些大量數(shù)列求和、求積，甚至幾何問題，我們可以用數(shù)列求和、周期性、對稱原理來解決，總而言之就是把龐大的數(shù)據(jù)整理簡潔而明了。