在結(jié)構(gòu)力學(xué)分析中，我們會(huì)遇到大量有關(guān)應(yīng)力和應(yīng)變的定義。它們可能是第二類皮奧拉-基爾霍夫應(yīng)力（Second Piola-Kirchhoff Stress） 或者對數(shù)應(yīng)變（Logarithmic Strain）。在這篇文章中，我們將調(diào)查這些數(shù)量，討論為什么需要如此多不同定義的應(yīng)力和應(yīng)變，并說明作為有限元分析人員了解這些應(yīng)力和應(yīng)變的重要性。在許多教材中，都能找到張量表達(dá)式與變換的定義，您也可以通過本篇博文末尾的一些網(wǎng)站鏈接查看相關(guān)定義，本文中不再詳細(xì)給出。

拉伸試驗(yàn)

在評估材料的力學(xué)數(shù)據(jù)時(shí)，會(huì)進(jìn)行單軸拉伸試驗(yàn)。拉伸試驗(yàn)實(shí)際測量的是力與位移的關(guān)系曲線，但是為了使這些結(jié)果與試樣尺寸無關(guān)，通常用應(yīng)力與應(yīng)變 的關(guān)系來表示結(jié)果。如果變形足夠大，那么將遇到的一個(gè)問題:我是根據(jù)樣本的原始橫截面積計(jì)算應(yīng)力，還是根據(jù)當(dāng)前的面積計(jì)算應(yīng)力？答案是兩種定義都會(huì)被使用，它們分別被稱為名義應(yīng)力 和真實(shí)應(yīng)力。

第二個(gè)并不是很明顯的問題是：如何測量?相對伸長，即應(yīng)變。將伸長長度與原始長度之間的比率定義為?工程應(yīng)變，?

?。但是，對于較大的拉伸，更常見的是使用拉伸?

?，或者真實(shí)應(yīng)變(對數(shù)應(yīng)變）?

?。

真實(shí)應(yīng)變在金屬試驗(yàn)中更為常見，因?yàn)樗m合許多塑性模型。對于可能具有很大伸長率的材料，例如橡膠，拉伸是一個(gè)更常見的參數(shù)。請注意，對于未變形的材料，拉伸為?

?。

為了在分析中利用測量數(shù)據(jù)，我們必須確保以下兩點(diǎn):

1. 測試中如何定義應(yīng)力和應(yīng)變

2. 您的分析軟件期望它以什么形式應(yīng)用于特定的材料模型

單軸數(shù)據(jù)的轉(zhuǎn)換并不困難，但一定不能忘記。

幾何非線性

大多數(shù)結(jié)構(gòu)力學(xué)問題可以在這樣的假設(shè)下進(jìn)行分析，即變形與結(jié)構(gòu)的尺寸相比非常小，因此可以為未變形的幾何形狀建立平衡方程。在這種情況下，不同應(yīng)力和應(yīng)變測量之間沒有區(qū)別。如果位移、旋轉(zhuǎn)或應(yīng)變變得足夠大，則必須考慮幾何非線性。這時(shí)，我們開始考慮區(qū)域單元實(shí)際上發(fā)生了變化，原始長度和變形長度之間存在差異，且變形過程中方向可能會(huì)發(fā)生變化。在數(shù)學(xué)上，有幾種等價(jià)的方法可以表示這種有限變形。

對于上面的單軸試驗(yàn)，不同的表示非常簡單。然而在現(xiàn)實(shí)生活中，幾何圖形是三維的，具有多軸應(yīng)力狀態(tài)，并且可能在空間中旋轉(zhuǎn)。即使我們只是考慮同樣的拉伸試驗(yàn)，保持應(yīng)力應(yīng)變固定在一定水平，然后旋轉(zhuǎn)試樣，也會(huì)出現(xiàn)問題。我們期待什么樣的結(jié)果？應(yīng)力和應(yīng)變分量的值是否會(huì)發(fā)生變化？

應(yīng)力度量

最基本和最常用的應(yīng)力量是柯西應(yīng)力（Cauchy stress），也稱為真實(shí)應(yīng)力。它是通過研究作用在變形體中無窮小面積單元上的力來定義的。力分量和該區(qū)域的法線在空間上都有固定的方向。這意味著，如果受力物體受到純旋轉(zhuǎn)，應(yīng)力分量的實(shí)際值將會(huì)改變。最初的單軸應(yīng)力狀態(tài)可以轉(zhuǎn)化為包含正應(yīng)力和剪應(yīng)力分量的全張量。在很多情況下，這既不是我們想要使用的，也不是我們所期望的。

例如，考慮纖維是具有一定取向的正交各向異性材料。更有可能的是，我們想看到纖維方向的應(yīng)力，即使分量是旋轉(zhuǎn)的。第二類皮奧拉–基爾霍夫應(yīng)力就具有這個(gè)屬性，它是沿著材料方向定義的。在下圖中，一根原本筆直的懸臂梁頂端受到純力矩的彎曲。圖中顯示了柯西應(yīng)力的xx-分量(上圖)和第二類皮奧拉-基爾霍夫應(yīng)力的xx分量(下圖)。由于應(yīng)力是沿著梁的物理方向，柯西應(yīng)力的xx-分量(與整體x-方向相關(guān))隨撓度減小。然而，第二類皮奧拉-基爾霍夫應(yīng)力在整個(gè)梁上具有相同的全厚度分布，即使在變形結(jié)構(gòu)中也是如此。

我們可能會(huì)遇到的另一個(gè)應(yīng)力度量是第一類皮奧拉-基爾霍夫應(yīng)力（First Piola-Kirchhoff stress）。它是名義(或工程)應(yīng)力的多軸概括。應(yīng)力被定義為當(dāng)前配置中作用在原始區(qū)域上的力。第一類皮奧拉-基爾霍夫張量是非對稱張量，因此不太適合使用。

有時(shí)我們也可能會(huì)遇到基爾霍夫應(yīng)力（Kirchhoff stress）?；鶢柣舴驊?yīng)力只是隨體積變化而變化的柯西應(yīng)力。它幾乎沒有物理意義，但在一些數(shù)學(xué)和數(shù)值運(yùn)算中卻很方便。

不幸的是，即使沒有旋轉(zhuǎn)，所有這些應(yīng)力表示的實(shí)際值也不相同。就局部體積變化和拉伸而言，它們的比例都不同。下圖說明了這一點(diǎn)。在梁的固定端繪制了幾個(gè)應(yīng)力的 xx- 分量，其中梁軸與 x- 軸重合。在梁的中心，應(yīng)變和體積變化很小，所有值都相互接近。因此，對于大旋轉(zhuǎn)但應(yīng)變小的情況，應(yīng)力表示可以看作同一應(yīng)力張量的純旋轉(zhuǎn)。

如果我們想計(jì)算某個(gè)邊界上的合力或力矩，實(shí)際上只有兩種可能的選擇:要么在變形邊界上積分柯西應(yīng)力，要么在未變形構(gòu)型中在同一邊界上積分第一類皮奧拉-基爾霍夫應(yīng)力。在 COMSOL Multiphysics 軟件中，這些計(jì)算對應(yīng)于在積分算子設(shè)置中選擇“空間坐標(biāo)系”或“材料坐標(biāo)系”。

應(yīng)變測量

在研究上述單軸拉伸試驗(yàn)時(shí)，引入了三種不同的應(yīng)變表示?？梢詫⑺鼈兌纪茝V到多軸情況，但對于真正的應(yīng)變來說，這并不是微不足道的。它必須通過主應(yīng)變方向的表示來完成，因?yàn)檫@是求張量對數(shù)的唯一方法。對數(shù)應(yīng)變的一般張量表示通常被稱為亨基應(yīng)變（Hencky strain）。

變形還有許多其他可能的表現(xiàn)形式。然而，任何合理的表示都必須能夠表示無應(yīng)變物體的剛性旋轉(zhuǎn)而不產(chǎn)生任何應(yīng)變。工程應(yīng)變在這里失效，因此它不能用于一般的幾何非線性。代表大應(yīng)變的一個(gè)常見選擇是格林-拉格朗日應(yīng)變（Green-Lagrange strain）。它包含相對于原始構(gòu)型的位移導(dǎo)數(shù)。因此，這些值代表材料方向的應(yīng)變，類似于第二類皮奧拉-基爾霍夫應(yīng)力的行為。這允許進(jìn)行物理解釋，但必須認(rèn)識(shí)到，即使對于單軸情況，格林-拉格朗日應(yīng)變相對于位移也是強(qiáng)非線性的。如果一個(gè)物體被拉伸到原來長度的兩倍，格林-拉格朗日應(yīng)變在拉伸方向上為 1.5。如果物體被壓縮到其長度的一半，應(yīng)變將為 -0.375。

一個(gè)更基本的量是變形梯度?

?，它包含變形坐標(biāo)相對于原始坐標(biāo)的導(dǎo)數(shù)，?

?。變形梯度包含關(guān)于固體中局部變形的所有信息，并可用于形成許多其他應(yīng)變量。例如，格林-拉格朗日應(yīng)變?yōu)?

?。類似的應(yīng)變張量是阿爾曼西應(yīng)變張量（Almansi strain tensor）,?

?，但這是基于變形構(gòu)型中坐標(biāo)的導(dǎo)數(shù)。阿爾曼西應(yīng)變張量將指向空間中固定的方向。

共軛量

表示連續(xù)介質(zhì)力學(xué)問題的一般方法是使用弱形式。在力學(xué)中，這被稱為虛功原理，它指出，在當(dāng)前應(yīng)力作用下，無窮小的應(yīng)變變化所做的內(nèi)功等于在載荷作用下相應(yīng)的虛位移所做的外功。然后必須選擇應(yīng)力和應(yīng)變測量值，以使它們的乘積給出準(zhǔn)確的能量密度。這種能量密度可能與未變形或變形的體積有關(guān)，這取決于內(nèi)部虛功是在原始幾何結(jié)構(gòu)上積分還是在變形幾何結(jié)構(gòu)上積分。

下表總結(jié)了一些相應(yīng)的共軛應(yīng)力-應(yīng)變對:

應(yīng)變應(yīng)力對稱體積方向工程應(yīng)變(基于變形幾何)；真實(shí)應(yīng)變；阿爾曼西應(yīng)變柯西(真實(shí)應(yīng)力)對稱的變形的空間的工程應(yīng)變(基于變形幾何)；真實(shí)應(yīng)變；阿爾曼西應(yīng)變基爾霍夫?qū)ΨQ的原始的空間的變形梯度第一類皮奧拉-基爾霍夫(名義應(yīng)力)不對稱的原始的混合的格林-拉格朗日應(yīng)變第二類皮奧拉-基爾霍夫(材料應(yīng)力)對稱的原始的材料

在 COMSOL Multiphysics 軟件的固體力學(xué)接口中，虛功原理總是用未變形的幾何構(gòu)型來表示(“材料坐標(biāo)系”)，然后使用格林-拉格朗日應(yīng)變和第二類皮奧拉-基爾霍夫應(yīng)力。這樣的公式有時(shí)被稱為“全拉格朗日”公式。相反，基于當(dāng)前構(gòu)型中的量的公式被稱為“更新的拉格朗日”公式。