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五種歐拉法求解一階常微分方程（MATLAB）

2022-04-10 15:19 作者:鳴鳳在竹-白駒食場(chǎng) 0人讀過(guò) | 我要投稿

1. 歐拉法

由拉格郎日中值定理，在區(qū)間 $(x_%7Bk-1%7D%2Cx_%7Bk%7D)$ 內(nèi)必定存在 $%5Cxi%20_%7Bk%7D$ ，使得：

$y(x_%7Bk%7D)-y(x_%7Bk-1%7D)%3Dy'(%5Cxi%20_%7Bk%7D)(x_%7Bk%7D-x_%7Bk-1%7D)$

所以 $y(x_%7Bk%7D)%3Dy(x_%7Bk-1%7D)%2Bhy'(%5Cxi%20_%7Bk%7D)%3Dy(x_%7Bk-1%7D)%2Bhf(%5Cxi%20_%7Bk%7D%2C%20y(%5Cxi%20_%7Bk%7D))$ 。如果知道 $%5Cxi%20_%7Bk%7D$ ，代入這個(gè)遞推公式，那么遞推過(guò)程得到的序列 $y_%7B0%7D%2C%20y_%7B1%7D%2C%20y_%7B2%7D%2C%20...$ ，沒(méi)有誤差。但求 $%5Cxi%20_%7Bk%7D$ 往往很困難，常用一個(gè)易求的值近似地代替 $%5Cxi%20_%7Bk%7D$ 。顯式歐拉法、隱式歐拉法、梯形公式法、中點(diǎn)歐拉方法的區(qū)別是對(duì) $%5Cxi%20_%7Bk%7D$ 和 $y'(%5Cxi%20_%7Bk%7D)$ 的近似方法不同。

(1)顯式歐拉法

顯式歐拉法把 $%5Cxi%20_%7Bk%7D$ 近似為區(qū)間 $%5Bx_%7Bk-1%7D%2Cx_%7Bk%7D%5D$ 的起點(diǎn)，即

$y(x_%7Bk%7D)%3Dy(x_%7Bk-1%7D)%2Bhf(x%20_%7Bk-1%7D%2C%20y(x_%7Bk-1%7D))%EF%BC%8Ck%3D1%2C2%2C...$

顯式歐拉法是單步法，每一輪遞推只用到前面一輪遞推的結(jié)果。歐拉公式具有明顯的幾何意義，就是用折線近似代替方程的解曲線，因而常稱為歐拉折線法。由泰勒展開(kāi)式可知顯式歐拉法具有1階精度。

顯式歐拉法在步長(zhǎng)過(guò)大時(shí)誤差較大；在步長(zhǎng)較小時(shí)需要多步遞推，可能出現(xiàn)誤差累積的現(xiàn)象。由于顯式歐拉法的精度不高，因此在實(shí)際應(yīng)用中用的較少。

(2)隱式歐拉法

隱式歐拉法把 $%5Cxi%20_%7Bk%7D$ 近似為區(qū)間 $%5Bx_%7Bk-1%7D%2Cx_%7Bk%7D%5D$ 的終點(diǎn)，即

$y(x_%7Bk%7D)%3Dy(x_%7Bk-1%7D)%2Bhf(x%20_%7Bk%7D%2C%20y(x_%7Bk%7D))%EF%BC%8Ck%3D1%2C2%2C...$

隱式歐拉法是隱式方法，遞推公式的右端包含未知量 $y_%7Bk%7D$ ，故隱式歐拉法需要求解方程，得出 $y_%7Bk%7D$ 。

為避免求解方程，常用顯式歐拉法的計(jì)算結(jié)果作為迭代的初值 $y_%7Bk%7D%5E%7B(0)%7D$ ，把隱式歐拉法的遞推公式作為迭代公式反復(fù)迭代，得到迭代序列 $y_%7Bk%7D%5E%7B(0)%7D%2C%20y_%7Bk%7D%5E%7B(1)%7D%2C%20y_%7Bk%7D%5E%7B(2)%7D%2C%20...$ 。如果步長(zhǎng) $h$ 足夠小，那么迭代序列收斂于 $y_%7Bk%7D$ 。

$y(x%5E%7B(i)%7D_%7Bk%7D)%3Dy(x_%7Bk-1%7D)%2Bhf(x%20_%7Bk%7D%2C%20y(x%5E%7Bi-1%7D_%7Bk%7D))%EF%BC%8Ck%3D1%2C2%2C...$

隱式歐拉法具有1階精度。

(3)梯形公式法

梯形公式法把 $y'(%5Cxi%20_%7Bk%7D)$ 近似為區(qū)間 $%5Bx_%7Bk-1%7D%2Cx_%7Bk%7D%5D$ 的起點(diǎn)和終點(diǎn)導(dǎo)數(shù)的平均值。遞推公式為：

$y(x_%7Bk%7D)%3Dy(x_%7Bk-1%7D)%2B%5Cfrac%7Bh%7D%7B2%7D%20(f(x%20_%7Bk-1%7D%2C%20y(x_%7Bk-1%7D))%2Bf(x%20_%7Bk%7D%2C%20y(x_%7Bk%7D)))%EF%BC%8Ck%3D1%2C2%2C...$

顯然，梯形公式法是隱式方法，需要求解方程。為避免解方程，常用顯式歐拉法的計(jì)算結(jié)果作為迭代的初值 $y_%7Bk%7D%5E%7B(0)%7D$ ，把梯形公式法的遞推公式作為迭代公式反復(fù)迭代，得到迭代序列 $y_%7Bk%7D%5E%7B(0)%7D%2C%20y_%7Bk%7D%5E%7B(1)%7D%2C%20y_%7Bk%7D%5E%7B(2)%7D%2C%20...$ 。如果步長(zhǎng) $h$ 足夠小，那么迭代序列收斂于 $y_%7Bk%7D$ 。

$y(x%5E%7B(i)%7D_%7Bk%7D)%3Dy(x_%7Bk-1%7D)%2B%5Cfrac%7Bh%7D%7B2%7D%20(f(x%20_%7Bk-1%7D%2C%20y(x_%7Bk-1%7D))%2Bf(x%20_%7Bk%7D%2C%20y(x%5E%7Bi-1%7D_%7Bk%7D)))%EF%BC%8Ck%3D1%2C2%2C...$

梯形公式法具有2階精度。

(4)中點(diǎn)歐拉法

中點(diǎn)歐拉法把 $%5Cxi%20_%7Bk%7D$ 近似為區(qū)間 $%5Bx_%7Bk-1%7D%2Cx_%7Bk%2B1%7D%5D$ 的中點(diǎn) $x_%7Bk%7D$ ，即

$y(x_%7Bk%2B1%7D)%3Dy(x_%7Bk-1%7D)%2B2hf(x%20_%7Bk%7D%2C%20y(x_%7Bk%7D))%EF%BC%8Ck%3D1%2C2%2C...$

中點(diǎn)歐拉方法是雙步法，需要2個(gè)初值 $y_%7B0%7D$ 和 $y_%7B1%7D$ 才能啟動(dòng)遞推過(guò)程。一般先用單步法由點(diǎn) $(x_%7B0%7D%2Cy_%7B0%7D)$ 計(jì)算出 $(x_%7B1%7D%2Cy_%7B1%7D)$ ，再用中點(diǎn)歐拉方法反復(fù)地遞推。

中點(diǎn)歐拉方法具有2階精度。

(5)改進(jìn)的歐拉法

改進(jìn)的歐拉法是一種預(yù)測(cè)—校正方法，它的每一輪遞推包括預(yù)測(cè)和校正這2個(gè)步驟：

（1）先用顯式歐拉公式計(jì)算出 $y_%7Bk%7D%5E*%20$ ， $y%5E%7B*%7D_%7Bk%7D%3Dy(x_%7Bk-1%7D)%2Bhf(x%20_%7Bk-1%7D%2C%20y(x_%7Bk-1%7D))$ ，即預(yù)測(cè)；

（2）再用梯形公式迭代一次 $y(x_%7Bk%7D)%3Dy(x_%7Bk-1%7D)%2B%5Cfrac%7Bh%7D%7B2%7D%20(f(x%20_%7Bk-1%7D%2C%20y(x_%7Bk-1%7D))%2Bf(x%20_%7Bk%7D%2C%20y%5E%7B*%7D_%7Bk%7D))$ ，即校正。

改進(jìn)的歐拉法精度比顯式歐拉法高，不需要解方程，是一種更實(shí)用的方法。

2. 歐拉法MATLAB算法實(shí)現(xiàn)

如下算法實(shí)現(xiàn)五種形式的歐拉法，根據(jù)用戶選擇ode_method的方法，采用不同的歐拉法求解。

3. 歐拉法算法測(cè)試

例1：采用五種歐拉法求解一階微分方程，已知解析解為 $y%3D%5Csqrt%7B1%2B2x%7D%20$ 。

$y'%3Dy-%5Cfrac%7B2x%7D%7By%7D%20%EF%BC%8C%20y(0)%3D1%EF%BC%8Cx%5Cin%20%5B0%2C1%5D$

測(cè)試代碼如下：

測(cè)試結(jié)果：輸出參數(shù)為結(jié)構(gòu)體，如顯式歐拉法的輸出結(jié)果：

可視化圖像如圖1和圖2所示，可見(jiàn)較小的步長(zhǎng)可獲得較高的精度，但注意計(jì)算時(shí)的舍入誤差和誤差累積。

圖1 步長(zhǎng)為0.05時(shí)的歐拉法數(shù)值解曲線與誤差曲線

圖2 步長(zhǎng)為0.001時(shí)的歐拉法數(shù)值解曲線與誤差曲線

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