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微積分（八十二）——平面點(diǎn)集的拓?fù)湫再|(zhì)

2023-06-12 18:18 作者:Mark-McCutcheon 0人讀過 | 我要投稿

為了為后續(xù)的討論提供方便，先討論一下平面點(diǎn)集的一些拓?fù)涓拍睢?/p>

至于學(xué)習(xí)復(fù)變函數(shù)論所需要的基本的復(fù)數(shù)（complex number）的知識(shí)，我在此處假定讀者已經(jīng)接受過高中數(shù)學(xué)教育，能夠掌握復(fù)數(shù)的一般形式、共軛復(fù)數(shù)、復(fù)數(shù)的加減乘除運(yùn)算與其幾何解釋、復(fù)數(shù)的三角形式的基本概念。這里唯一需要多一句嘴的部分是關(guān)于復(fù)數(shù)的輻角。我們?cè)诤罄m(xù)的內(nèi)容中認(rèn)為復(fù)數(shù)的輻角主值的范圍為 $-%5Cpi%3C%5Carg%20z%5Cleq%20%5Cpi$ 而非高中的 $0%3C%5Carg%20z%5Cleq%202%5Cpi$ 。至于復(fù)數(shù)的指數(shù)形式的內(nèi)容讀者可以在本系列第三十七節(jié)了解到，不再贅述。與一般教科書不同，我將在本章后期才講述指數(shù)的乘冪與方根以及各類具體的復(fù)變函數(shù)的內(nèi)容。本節(jié)概念眾多，內(nèi)容不要求完全掌握，閱讀后續(xù)內(nèi)容時(shí)可以隨時(shí)回來明確概念。提示：配合腦內(nèi)想象食用風(fēng)味更佳。

平面點(diǎn)集的基本拓?fù)涓拍?/span>

我們始終考慮復(fù)數(shù)域 $C$ （同時(shí)也代表復(fù)平面）：

（定義）? ?由不等式 $%5Cvert%20z-z_0%20%5Cvert%20%3C%5Crho%20$ 所確定的點(diǎn)集就是以 $z_0$ 為圓心，半徑為 $%5Crho%20$ 的圓的內(nèi)部，稱為 $z_0$ 的 $%5Crho%20$ 鄰域 $N_%5Crho%20(z_0)$ 。當(dāng)不等式成為 $0%3C%5Cvert%20z-z_0%20%5Cvert%20%3C%5Crho%20$ 時(shí)，即去掉了圓內(nèi)部的圓心，稱為 $z_0$ 的去心 $%5Crho%20$ 鄰域 $N_%5Crho%20(z_0)%5Csetminus%20%5C%7Bz_0%5C%7D$ 。

（定義）? ?若對(duì)于某點(diǎn)集 $E$ ，有 $z_0$ 使得它的任意鄰域內(nèi)都包含其無數(shù)個(gè)點(diǎn)，則稱 $z_0$ 為 $E$ 的聚點(diǎn)。若 $z_0$ 屬于 $E$ 但不是它的聚點(diǎn)，則稱 $z_0$ 為 $E$ 的孤立點(diǎn)，若 $z_0$ 不屬于 $E$ 且非其聚點(diǎn)，則稱其為 $E$ 的外點(diǎn)。 $E$ 的全體聚點(diǎn)所成的集合記作 $E'$ ，稱為 $E$ 的導(dǎo)集。

（定義）? ?若 $E'%5Csubseteq%20E$ ，則稱 $E$ 為閉集。特別地，若 $E$ 沒有聚點(diǎn)，則它顯然是閉集。若 $E$ 的點(diǎn) $z_0$ 存在一鄰域全含于 $E$ 內(nèi)，則稱其為 $E$ 的內(nèi)點(diǎn)。若一個(gè)集合的點(diǎn)全為自身的內(nèi)點(diǎn)，則稱其為開集。顯然 $C$ 既是開集又是閉集。同時(shí)規(guī)定空集既是開集又是閉集。當(dāng)補(bǔ)集運(yùn)算是以 $C$ 為全集時(shí)，由于開集顯然不能包含其自身補(bǔ)集的聚點(diǎn)，故開集的補(bǔ)集補(bǔ)集一定是閉集。相反，對(duì)于一個(gè)閉集來說，若它的補(bǔ)集中有一個(gè)點(diǎn)不是內(nèi)點(diǎn)，則這個(gè)點(diǎn)的任意鄰域內(nèi)均含有這個(gè)閉集的點(diǎn)，也就是說它的任意鄰域含有無窮多該閉集的點(diǎn)，即它為該閉集的聚點(diǎn)，然而它屬于閉集的補(bǔ)集而非閉集，這與閉集是閉集相矛盾，因此閉集的補(bǔ)集一定是開集。若 $z_0$ 的任意鄰域內(nèi)同時(shí)有屬于和不屬于 $E$ 的點(diǎn)，則稱其為 $E$ 的邊界點(diǎn)。孤立點(diǎn)必然是邊界點(diǎn)。全體邊界點(diǎn)組成的點(diǎn)集叫做邊界，記作 $%5Cpartial%20E$ ?？梢宰C明邊界一定是閉集。

（定義）? ?若集合中的復(fù)數(shù)的模有上界，則稱集合為有界集，否則為無界集。

（定義）? ?設(shè)有非空點(diǎn)集 $D$ 為開集且滿足其中任意兩點(diǎn)都可以用全含于 $D$ 內(nèi)的折線連接，則稱其為一個(gè)區(qū)域。 $D$ 和它的邊界的并稱為閉域，記為 $%5Cbar%7BD%7D%20%3DD%5Ccup%20%5Cpartial%20D$ ?。

注意，區(qū)域作為重要的概念將貫穿全章內(nèi)容。

（定義）? ?有界集 $E$ 的直徑定義為

$%5C%5Cdiam(E)%3D%5Csup%5C%7B%5Cvert%20z-z'%20%5Cvert%20%EF%BC%8Cz%E3%80%81z'%5Cin%20E%5C%7D$

（定義）? ?設(shè)有兩實(shí)函數(shù) $x(t)%E3%80%81y(t)$ ，均在閉區(qū)間 $%5B%5Calpha%2C%5Cbeta%5D$ 連續(xù)。則稱

$%5C%5Cz(t)%3Dx(t)%2Biy(t)%2Ct%5Cin%20%5B%5Calpha%2C%5Cbeta%5D$

所確定的點(diǎn)集為復(fù)平面上一條連續(xù)曲線。當(dāng)連續(xù)曲線沒有自身重合的點(diǎn)（即重點(diǎn)）時(shí)，即不存在 $t_1%5Cneq%20t_2$ 使得 $z(t_1)%3Dz(t_2)$ （ $z(%5Calpha)%3Dz(%5Cbeta)$ 不算），則稱其為簡(jiǎn)單曲線。特別地，若簡(jiǎn)單曲線還滿足 $z(%5Calpha)%3Dz(%5Cbeta)$ ，則稱為簡(jiǎn)單閉曲線。滿足 $x(t)%E3%80%81y(t)$ 的導(dǎo)數(shù)均存在、連續(xù)且不為零的簡(jiǎn)單曲線，稱為光滑曲線，它具有連續(xù)轉(zhuǎn)動(dòng)的切線。由有限條光滑曲線銜接而成的連續(xù)曲線稱為逐段光滑曲線。

不加證明地引入下列定理：（我也不會(huì)證）

（Jordan曲線定理）? ?任一簡(jiǎn)單閉曲線 $C$ 將平面唯一地分為 $C%E3%80%81I(C)%E3%80%81E(C)$ 三個(gè)點(diǎn)集，它們滿足：

三者彼此不交
$I(C)$ 是一個(gè)有界區(qū)域（稱為 $C$ 的內(nèi)部）
$E(C)$ 是一個(gè)無界區(qū)域（稱為 $C$ 的外部）
若簡(jiǎn)單折線的一個(gè)端點(diǎn)屬于 $I(C)$ ，另一個(gè)屬于 $E(C)$ ，則它和 $C$ 必有交點(diǎn)。

由此可以引申出定義：

（定義）? ?沿著一條簡(jiǎn)單閉曲線 $C$ 有兩個(gè)相反的方向。當(dāng)觀察者按某個(gè)方向沿 $C$ 前進(jìn)一周時(shí)， $C$ 的內(nèi)部一直在左方，則稱此方向?yàn)?strong>逆時(shí)針方向或正方向。反之為順時(shí)針方向或負(fù)方向。

（定義）? ?設(shè)有區(qū)域 $D$ ，若在其內(nèi)部無論怎樣畫簡(jiǎn)單閉曲線，該曲線內(nèi)部都全含于區(qū)域內(nèi)，則稱 $D$ 為單連通區(qū)域，否則為多連通區(qū)域。

簡(jiǎn)單閉曲線的內(nèi)部顯然就是一個(gè)單連通區(qū)域。

此外，與實(shí)數(shù)類似，復(fù)數(shù)也可以有其完備性定理，證明方式與n維歐式空間完備性定理可以說完全一致。這屬于額外內(nèi)容，有興趣的讀者可以看我的文集“雜談”。

擴(kuò)充復(fù)平面

在復(fù)平面的基礎(chǔ)上引入無窮遠(yuǎn)元素 $%E2%88%9E%0A$ ，記 $C_%E2%88%9E%3DC%5Ccup%20%5C%7B%E2%88%9E%5C%7D$ 為擴(kuò)充復(fù)平面，這個(gè)新元素可以理解為模長(zhǎng)為正無窮的新“復(fù)數(shù)”。從某一個(gè)有限復(fù)數(shù)出發(fā)，從任何方向前進(jìn)均可到達(dá)無窮遠(yuǎn)元素處，無窮遠(yuǎn)元素也稱無窮遠(yuǎn)點(diǎn)。

無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的鄰域看作是以原點(diǎn)為圓心的某圓周的外部，記

$%5C%5CN_%5Cvarepsilon%20(%E2%88%9E)%3D%5C%7Bz%2C%5Cvert%20z%20%5Cvert%20%3E%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Cvarepsilon%20%7D%20%5C%7D$

$%5C%5CN_%5Cvarepsilon%20(%E2%88%9E)%5Csetminus%5C%7B%E2%88%9E%5C%7D%3D%5C%7Bz%2C%2B%E2%88%9E%3E%5Cvert%20z%20%5Cvert%20%3E%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Cvarepsilon%20%7D%20%5C%7D$

在引入無窮遠(yuǎn)元素的情況下，無窮遠(yuǎn)點(diǎn)成為復(fù)平面唯一的邊界點(diǎn)。無窮遠(yuǎn)點(diǎn)是擴(kuò)充復(fù)平面的內(nèi)點(diǎn)。此時(shí)擴(kuò)充復(fù)平面成為唯一無邊界的區(qū)域。Jordan定理仍成立。對(duì)于單連通區(qū)域的定義要修改為“……無論怎么畫簡(jiǎn)單閉曲線，該曲線內(nèi)部或外部都全含于該區(qū)域內(nèi)，……”

今后未強(qiáng)調(diào)“擴(kuò)充”時(shí)，一律認(rèn)為是在通常的復(fù)平面上討論。

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