Maxwell方程的一般性討論
本文總結(jié)一下Maxwell方程general的推論，沒有對(duì)材料/介質(zhì)/穩(wěn)恒性等給出特殊的假定。以后看到Maxwell方程，不管是哪種特殊情況，下面的理論都是適用的。
下面的內(nèi)容，要么記住，要么能現(xiàn)推。
【1】一般形式的Maxwell方程和Lorentz力（矢量場表述）。
平時(shí)都用微分形式，最直觀。積分形式通常用來處理delta函數(shù)，比如介質(zhì)界面上。
四個(gè)式子的物理意義都是很明顯的：電荷產(chǎn)生電場；沒有磁單極子；電磁感應(yīng)；電流產(chǎn)生磁場。
這五條式子具有普遍意義，并且構(gòu)成經(jīng)典電動(dòng)力學(xué)complete的基礎(chǔ)（而且還是independent的）。其它關(guān)于物質(zhì)具體結(jié)構(gòu)的（比如本構(gòu)關(guān)系），原則上可以通過量子力學(xué)和統(tǒng)計(jì)力學(xué)導(dǎo)出，一般具有近似性。
麥克斯韋方程組不是精確規(guī)律，精確的描述需要借助更能顯示背后物理基礎(chǔ)的量子電動(dòng)力學(xué)理論，而麥克斯韋方程組只是它的一種經(jīng)典場論近似。盡管如此，對(duì)于大多數(shù)日常生活中涉及的案例，通過麥克斯韋方程組計(jì)算獲得的解答跟精確解答的分歧甚為微小。而對(duì)于非經(jīng)典光、雙光子散射、量子光學(xué)與許多其它與光子或虛光子相關(guān)的現(xiàn)象，麥克斯韋方程組不能給出接近實(shí)際情況的解答。
Maxwell方程是一階線性PDE，所以解的性質(zhì)比較好，比如唯一性（給定適當(dāng)?shù)某跏紬l件與邊界條件），以及線性疊加性。
用E和B刻畫電磁場，稱為矢量表述。另外一種等價(jià)的表述方式是勢場表述，可以認(rèn)為二者是平行的。我們高中處理靜電場問題的時(shí)候，就習(xí)慣用電場強(qiáng)度或者電勢，二者是平行等價(jià)的，怎么方便怎么來，并沒有誰更根本的說法（在經(jīng)典電動(dòng)力學(xué)的視角下）。這在【6】中會(huì)進(jìn)一步討論。
【2】介質(zhì)中的Maxwell方程。
介質(zhì)的引入會(huì)帶來新的電荷和電流（極化和磁化），原先的Maxwell方程仍然適用（多了三項(xiàng)），只不過為了方便（只考察free部分的電荷和電流），會(huì)把原先的Maxwell方程做一些歸并：
僅此而已。如果偏不用這種歸并，就要用原來的Maxwell方程求解，當(dāng)然也沒問題。
【3】電磁場能。
值得注意的是：能量的絕對(duì)值大小沒有意義，有意義的是變化了多少。所以介質(zhì)中電磁場能并不是真正的“電磁場的能量”，而是包括了電偶極子和磁偶極子在極化/磁化狀態(tài)改變的時(shí)候吸收/釋放出來的能量。歸進(jìn)來之后，就不用再重復(fù)考慮極化和磁化的能量了；若不然，就得額外考慮。
形式上，介質(zhì)中的形式更簡單，很容易記，只要記住這個(gè)就完事了。
能量這個(gè)表達(dá)式本身的意義并不在于給出了“電磁場有多少能量”，而在于“能量是如何轉(zhuǎn)化的”。所以要理解這個(gè)能量密度表達(dá)式，就必須回到這樣一個(gè)連續(xù)性方程：
能量的消失，一部分是因?yàn)榱鞒?，一部分是轉(zhuǎn)化成了電荷的動(dòng)能。如果我們思考能量的問題的時(shí)候遇到什么含糊不清的事，切記回到這個(gè)連續(xù)性方程，這才是能量守恒的本源形式。
【4】電磁場的動(dòng)量（力學(xué)性質(zhì)）。真空中的動(dòng)量密度和動(dòng)量流密度為：
電磁場也有動(dòng)量，這個(gè)動(dòng)量不像粒子的動(dòng)量那么明顯，很容易被忽略。所以電荷之間的相互作用力未必滿足牛頓第三定律。牛頓第三定律不是什么金科玉律，它單純是動(dòng)量守恒的推論罷了。動(dòng)量守恒永遠(yuǎn)是成立的，牛頓第三定律則未必。現(xiàn)在包括了電磁場的動(dòng)量，牛頓第三定律當(dāng)然未必成立。電磁學(xué)中會(huì)出現(xiàn)很多佯謬性質(zhì)的東西，這就是很經(jīng)典的一個(gè)：運(yùn)動(dòng)電荷之間的作用力與反作用力并不是等大反向的。這些佯謬在電動(dòng)力學(xué)之前都只能含混過去，禁不住細(xì)想。這么說來高中教電磁學(xué)其實(shí)不是很穩(wěn)，指不定就落入佯謬?yán)锩?，只能按格式做做題。
動(dòng)量密度和能流密度是成比例的。所以很好記，用量綱推導(dǎo)一下比例就行了。
和能量一樣，這個(gè)式子必須通過連續(xù)性方程才能理解：
即：少掉的動(dòng)量，一部分是流走了，另一部分是通過洛倫茲力傳遞給了電荷（力就是動(dòng)量轉(zhuǎn)移的速率）。
我們把這個(gè)式子寫成積分形式?？疾煲粋€(gè)區(qū)域，它包括了電荷和電磁場：
這是什么意思？一個(gè)區(qū)域內(nèi)總的動(dòng)量有變化，這個(gè)變化一定是對(duì)外有作用力實(shí)現(xiàn)的動(dòng)量交換。這個(gè)作用力由T刻畫。這說明-T的物理意義是電磁場的應(yīng)力，所以-T也叫做Maxwell應(yīng)力張量。
4.光的動(dòng)量不需要量子力學(xué)，在經(jīng)典理論中就存在。
為了更加嚴(yán)格地分析電磁場中的應(yīng)力（把電磁場想像成一塊固體），我們需要知道應(yīng)力到底是什么。
【4.5】應(yīng)力。這是連續(xù)介質(zhì)力學(xué)的內(nèi)容。
應(yīng)力由一個(gè)對(duì)稱的二階張量\sigma刻畫。
假設(shè)固體中有一個(gè)面積元dA，被這個(gè)面積元分開的兩個(gè)部分有互相的作用力?！巴鈧?cè)”對(duì)“內(nèi)側(cè)”的作用力為：
（所以我們看到-T才是應(yīng)力張量）
應(yīng)力張量可以分解為壓強(qiáng)和剪應(yīng)力：
\tau是無跡部分。所以壓強(qiáng)p=1/3*Tr \sigma。
根據(jù)上面的討論，-T就是電磁場的應(yīng)力張量。電磁場本身是實(shí)打?qū)嵉奈镔|(zhì)，可以想象成一塊固體，固體內(nèi)部當(dāng)然有應(yīng)力，那么電磁場也有應(yīng)力。同時(shí)看到，電磁場的壓強(qiáng)為p=u/3。
這是我們之前沒有的物理圖像。
【5】電荷守恒。
電荷守恒是Maxwell方程的推論，而不是一條獨(dú)立的定律。推導(dǎo)很簡單：
【6】電磁勢（勢場表述）。
前面說了，電磁場有場能表述，也有平行并且等價(jià)的勢場表述。之前的靜電勢和磁矢勢是特例。
還是從靜電勢和磁矢勢的兩個(gè)Maxwell方程來構(gòu)建：
這樣電磁場的刻畫就被簡化為四個(gè)變量(A,\phi)。在數(shù)學(xué)上更加簡單。
勢場需要規(guī)定“零點(diǎn)”。常用的兩種規(guī)范是：
需要注意：是Lorenz gauge而不是Lorentz gauge。亨德里克·洛倫茲（Hendrik?Lorentz），荷蘭物理學(xué)家（1853-1928），就是洛倫茲變換、洛倫茲力的那個(gè)。路德維?！ぢ鍌?strong>茨（Ludvig?Lorenz），丹麥物理學(xué)家（1829-1891），洛倫茨規(guī)范。
我們一般用的都是后一種規(guī)范（它的好處在于Lorentz不變）。在Lorenz規(guī)范下，剩下的兩個(gè)Maxwell方程變成波動(dòng)方程：
方塊是d'Alembert算子。形式非常簡單，就是Poisson方程加上時(shí)間項(xiàng)而已。
對(duì)于靜電場，波動(dòng)方程退化成Poisson方程，解就是Coulumb定律。
對(duì)于靜磁場，波動(dòng)方程退化成Poisson方程，解就是Biot-Savart定律。
這樣所有理論都串起來了；也不會(huì)再覺得Biot-Savart定律形式奇怪了（就是Poisson方程解的形式）。
綜上，電磁場的勢場描述就是：兩個(gè)波動(dòng)方程+Lorenz規(guī)范。形式上比Maxwell方程要簡單，當(dāng)然掩蓋了一些在Maxwell方程中明顯的物理意義。
平時(shí)腦子里想一個(gè)電磁場，就可以從矢量圖像+Maxwell方程去思考，也可以用勢場圖像+波動(dòng)方程去思考。
對(duì)于前者，物理圖像是：電荷產(chǎn)生電場，電流產(chǎn)生磁場，變化的電場產(chǎn)生磁場，變化的磁場產(chǎn)生電場。對(duì)于后者，物理圖像只留下前兩個(gè)，后兩個(gè)并沒有明顯地顯露出來。
最后，把本文的理論全部自己手推一遍。
